一类不等式猜想的精彩证明

【摘要】2011年某数学杂志上有一篇文章中提出了两个不等式猜想至今未得到证明，本文首先给出了这两个不等式的更一般的形式，将其归为同一类，然后抓住问题的具体特点和规律，巧妙地运用数学思想方法进行分析，同时使用“条件配凑”和“解析式配凑”的解题方法，给出了这类不等式猜想的一个非常精彩的证明.

【关键词】不等式猜想;推广;证明;“条件配凑”;“解析式配凑”

江西师范大学《中学数学研究》2011年第1期上的一篇文章《若干代数不等式的思考》（作者：宋庆）中提出了两个不等式猜想：

若a，b，c为非负实数（至多一个为0），则：

a2+49bcb2+c2+b2+49cac2+a2+c2+49aba2+b2≥33494;

a2+256bcb2+c2+b2+256cac2+a2+c2+256aba2+b2≥12.

这两个不等式猜想至今没有人给出证明.下面先给出这两个不等式的更一般的形式，然后再作分析和证明.

【推广命题】若a，b，c为非负实数（至多一个为0），k≥274，则：

a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2≥33k24

（当一个变量为0，另两个变量的平方和除以它们的积所得商等于原不等式右边的三分之一时取等号）.

【分析】这是一个对称不等式，对于对称不等式，有两个特殊情况，一是对称的几个变量相等，另一个是几个对称变量中的某一个或若干个为零.考虑到不等式中的几个变量是对称的，不妨设c≥b≥a≥0.先考虑三个变量之间的差距最小即a=b=c这一特殊情况，这时不等式的左边=15，远大于33494，所以放弃对这一情况的讨论.再考虑三个变量中有为零的情况，根据条件和假设，这里只可能是a=0，这时

不等式的左边=k2bcb2+c2+bc+cb

=k2bcb2+c2+k2bcb2+c2+b2+c2bc（据原不等式右式的特点配凑数学式子）

≥33k2bcb2+c2·k2bcb2+c2·b2+c2bc=33k24.

有戏！但问题是需要a=0.此时能证明不等式的关键是，由a=0，我们得到了k2bcb2+c2+bc+cb.除了a=0，还有其他情况能得到k2bcb2+c2+bc+cb吗？由于a2+k2bcb2+c2≥k2bcb2+c2是显然的，所以我们考虑在什么条件下有：

b2+k2cac2+a2≥bc，c2+k2aba2+b2≥cb.

分析这两个不等式，并考慮到c≥b≥a≥0，不难发现，配上条件a≤k2b3c2就可以了，至于a>k2b3c2的情况可另行证明.到此，本不等式的证明思路基本明了.

【证明】不妨设c≥b≥a.分两个情况讨论：

（1）若a>k2b3c2（条件配凑），则

a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2>c2+k2aba2+b2>c2+k2·k2b3c2·bb2+b2≥2k2b22b2=k>33k24（因为k≥274）.

（2）若0≤a≤k2b3c2，

则再由c≥b≥a知：k2b3c2≤k2c3b2，所以a≤k2c3b2.

由a≤k2b3c2得k2ab≥c2a2b2，

将c2+k2aba2+b2中的k2ab换成c2a2b2可得：

c2+k2aba2+b2≥cb（当且仅当a=k2b3c2或a=0时取“=”）.

由a≤k2c3b2，用类似的方法可得：

b2+k2cac2+a2≥bc（当且仅当a=k2c3b2或a=0时取“=”），

又a2+k2bcb2+c2≥k2bcb2+c2（当且仅当a=0时取“=”）.

∴a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2≥k2bcb2+c2+bc+cb

=k2bcb2+c2+k2bcb2+c2+b2+c2bc（解析式配凑）

≥33k2bcb2+c2·k2bcb2+c2·b2+c2bc

=33k24（当k2bcb2+c2=b2+c2bc，即b2+c2bc=3k24，且a=0时取“=”）.

在上面的证明过程中，主要用到以下几种数学思想方法和技巧：一是抓住问题的特征和规律.二是从特殊情况入手寻找解题途径.三是充分利用条件和假设放大不等式.四是瞄准目标进行条件配凑和解析式配凑来证明结论.对于对称不等式，根据数学式子的特点和不等式成立的条件，尤其是证明过程中的变式目标，用“配凑法”证明常可以使问题得到快捷而美妙的解决.

【参考文献】

[1]宋庆.若干代数不等式的思考[J].中学数学研究，2011（1）.

[2]张家骥.用“配凑法”证明不等式[J].中学生数学（中国科协），2004（7）.