解数学规律题中函数思想方法

马宪武

【摘要】 函数思想是一种很重要的数学思想方法，本文从什么是函数思想，用函数思想解决规律问题的基本条件，利用函数思想解决探索规律问题的方法三个方面探讨了解数学规律题中函数思想方法问题.

【关键词】 函数；规律；应用；思维

新的课程标准下，学生学习数学学科，一方面要掌握新课程标准所规定的数学知识和技能，更重要的是掌握数学思维方法，促进思维能力的提高. 函数这一数学概念有着丰富的内涵和外延，在初中数学教学过程中，教师通过对函数的学习，培养学生的思维能力，函数思想和许多实际问题的数量关系和变化规律有着相通内涵，用函数思想解数学规律题成为提高学生数学素养的重要教学内容.

一、什么是函数思想

函数思想是一种很重要的数学思想方法，指利用函数的概念、性质和图像去分析问题和解决问题，用运动变化的观点来研究两个变量之间的相互联系. 函数研究的是变量之间的变化规律，利用函数思想来解决变量问题，一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质等知识是利用函数思想解决数学问题的基础，而应用函数思想解决数学问题的关键是善于观察问题，挖掘内在的隐含条件，揭示条件之间的内在联系，恰当地构造函数. 新课标中提出：学生要具备“探索具体问题中的数量关系和变化规律”的能力，初中数学教学要求学生能够发现数学对象所具有的规律性，能够依据题目给出条件，通过观察与分析、综合与归纳、概括与推理等探索活动，逐步确定需求的结论. 让学生经历观察、比较、归纳、猜想，培养学生的探究创新能力.

二、用函数思想解决规律问题的基本条件

探索规律领域的题型很多，函数思想解决规律问题是有条件的，并不适合所有的题型，这是由函数的定义决定的. 在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，每确定一个变量x的值就有唯一的变量y 值与之对应，对于这样有两个变量的题型，函数规律才能通过求解和图像的方法诠释出来. 而对于具有三个或者三个以上的变量时，就不适合用函数思想解决问题. 所以，在使用函数思想解决问题时，应该保证使用的基本条件是两个变量. 一次函数关系的规律题也能用函数思想，当二次函数解析式中二次项系数求解为零时，二次函数就成了一次函数关系了. 数学知识是一个内涵丰富、联系紧密的有机体，知识点之间有着千丝万缕的联系，各个知识点不是孤立存在的，相辅相成，环环紧扣，构成一个有机的统一体. 函数题型形式多种多样，往往会和圆形、三角形内容进行知识的综合，形成复杂的综合试题，老师教学时，要融合多种知识，培养学生的发散思维，帮助学生找到知识之间的關联，有效地把所学的知识融合在一起，提高对知识的综合归纳能力. 教师在教学中，要帮助学生找到解答这类题目的思路，培养学生的思维能力. 抽象的数学学科知识，在现实生活都有具体的反映，服务生活是学科知识的最终作用. 抽象的函数知识有着浓厚的生活趣味，与人们的生活实际密切相联. 教师在进行数学教学时，渗透函数思想的培养，以函数与生活问题的联系为切入点，设置生动有趣的问题情境，激发学生的能动性，学生主动参与意识加强，为探究活动创造了条件.

三、利用函数思想解决探索规律问题的方法

具有代表性的探索规律题型中，需要学生通过观察、类比、归纳得出普遍规律，对于绝大多数的学生来说比较困难. 把函数思想用于解决这一类探索规律题，会收到显著的教学效果. 例如，二次函数的解析式为：y = ax2 + bx + c，求解该解析式的方法是通过图像上的三个点代入二次函数的解析式，转化为三元一次方程组，解得待定系数a，b，c；如果反向思考这个问题，在平面直角坐标系中，任意三个点都能确定一个二次函数解析式，通过求解二次函数解析式，就能得到在该二次函数图像中满足该函数图像规律的所有点的坐标. 例如，已知一列数2，5，10，17…，那么第10个数为几？第n个数是什么？ 该数列列出了前四个数字，如果用函数思想来思考，可将自变量 x 定义为从 1 开始的自然数的集合，因变量 y 为每一个对应位置上的数字，如果该数列具有一定的规律，从函数角度分析，这些对应的数字可以看作点的坐标，这些点一定在一条函数图像上. 初中阶段，函数类型中，二次函数是最重要的领域，也是教学的重点和难点，依据这个思路，可以把前三项数字看作点的坐标即为（1，2）（2，5）（3，10），将三点代入y = ax2 + bx + c得到：a + b + c = 2，4a + 2b + c = 5， 9a + 4b + c = 10，解得： a = 1，b = 0，c = 1，解析式为： y = x2 + 1，第n个数为n2 + 1. 规律探索试题是根据若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的本质规律的一类探索性问题. 规律探究题是一种重要的研究问题的方法，也是探索发现新知识的重要手段，有利于学生创造性思维能力的培养，给数学题的形式和内容注入了新的活力，给课堂学习带来了重大影响. 这种题目是在特定的背景或条件下，通过仔细观察，认真分析，提取相关的数据信息，综合归纳，作出大胆猜想，得出结论，验证结论. 有一类题目，要求学生利用给定的图示或说明性材料，寻找两个变量间关系的问题，这类问题设计新颖，解题时渗透了特殊与一般的数学思想，从通项规律上来看，问题的关系往往是一次关系或二次关系，如果能从函数角度来研究，这类问题就可以迎刃而解. 利用函数思想解决问题的基本思路是：转型三点坐标——求解二次函数解析式——得到固定规律，解决任意位置对应的对象.

总之，函数数学是整个初中数学教学的组成部分，初中数学教学过程中，教师通过对函数的学习，培养学生的函数思想与思维能力，挖掘函数应用因素，培养学生用函数思想解规律题的能力，提高学生思维的主动性，加强解题训练，发展创新思维.

【参考文献】

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