巧用圆的思想解数学题目

苏凡文

例1设实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值为（）.

A.12（a+b）B.12a2+b2

C.a2+b22D.ab

解设mx+ny=k，则直线mx+ny=k与圆x2+y2=b有公共点，于是|k|m2+n2≤b，即|k|=|mx+ny|≤ab，所以（mx+ny）max=ab.

例2若实数x，y满足x-4y=2x-y，则x的取值范围是.

解设x-y=X，

y=Y，（X≥0，Y≥0），在坐标系XOY中，圆弧M：X2+Y2=x和直线l：2X+4Y-x=0有公共点，求圆的半径的平方x的范围.如图1，图1当l过原点时，x=0；当l过M上的点B（x，0），即x=4时，开始与圆相交，平行移动到与M相切于T点后相离.由原点到相切直线l的距离公式，得|x|22+42=x，解得x=20，故x∈{0}∪[4，20].

例3（2013年湖北理科13题）设x，y，z∈R，且满足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=.

解设圆C：x2+y2=1-z2，直线l：x+2y+（3z-14）=0，直线l与圆C有公共点，则圆心到直线l的距离小于等于半径1-z2，所以|3z-14|12+22≤1-z2，解得14z2-614z+9≤0，（14z-3）2=0，z=31414，同理解得x=1414，y=147，所以x+y+z=3147.

例4已知x>0，y>0，且x+y=1，求2x+1+2y+1的最大值.

解令u=2x+1，v=2y+1，则u2+v2=4，直线z=u+v与圆有公共点，则|z|2≤2，所以z≤22.

例5函数y=1-x2x-2的值域为.

解设u=x

v=1-x2，则u2+v2=1，-1≤u≤1，0≤v≤1，所以y=vu-2，表示半圆上的动点与点（2，0）连线的斜率k，由图2可知当直线与圆相切时，k=-33，所以k∈-33，0.

图2

例6设不等式m+n≤am+n对任意正实数m，n恒成立，求a的取值范围.

解m+n≤am+n变形可得m+nm+n≤a，则a>0，设圆C：（x-1）2+（y-1）2=a2，m+nm+n≤a的几何意义为圆心（1，1）到动直线l：mx+ny=0的距离小于等于圆的半径a，即动直线l与圆C恒有公共点，动直线l为过原点且斜率为任意的负数的直线系，所以当a≥1+1=2时满足题意.

例7若函数f（x）=10x-x2-21+7x-x2-10-a存在零点，则实数a的取值范围是（）.

A.（0，10]B.[2，3]

C.[2，10]D.[2，10]

图3图4

解由f（x）存在零点可转化为求a=10x-x2-21+7x-x2-10（x∈[3，5]）的值域，设y1=10x-x2-21，y2=7x-x2-10，则（x-5）2+y21=4，x-722+y22=94，分别画出两个半圆如图3，于是可知，x∈[3，5]时，两个圆上的点到x轴距离和的最值.由图象可知x=3时，amin=2.为求a的最大值，我们不妨将y2=7x-x2-10的图象关于x轴对称，如图4，则问题转化为求线段AB的最大值，为求解方便，将图4中x轴下方的圆向上平移使两圆相切如图5，则a=|BC|+|AD|，显然过切点时a最大为EF，即2+322-5-722=10，所以选D.

图5

例8过椭圆x225+y216=1内一定点P（1，0）作弦，求弦中点Q的轨迹方程.

解设中点Q（x，y），令x=5X，y=4Y，则椭圆的方程在新坐标系XOY下转化为圆O的方程X2+Y2=1.定点P（1，0）在新坐标系XOY下的坐标为P′（15，0），中点Q（x，y）在新坐标系XOY下的坐标为Q′x5，y4.则过点P′15，0的弦与OQ′垂直，即OQ′·P′Q′=0.所以x5，y4·x5-15，y4=0，整理得16x2+25y2-16x=0.

例9（2011年全国卷Ⅱ理科12）设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，则|c|的最大值等于（）.

A.2B.3C.2D.1

图6

解由|a|=|b|=1，a·b=-12，得〈a，b〉=23π，设a=OA，b=OB，c=OC，则CA=a-c，CB=b-c，所以∠BOA=2π3，又因为∠ACB=π3，所以O，A，C，B四点共圆如图6，所以当OC为圆的直径时|c|最大.在等腰△ABO中，其外接圆的直径为|a|sin∠ABO=1sinπ6=2，故选A.

例1设实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值为（）.

A.12（a+b）B.12a2+b2

C.a2+b22D.ab

解设mx+ny=k，则直线mx+ny=k与圆x2+y2=b有公共点，于是|k|m2+n2≤b，即|k|=|mx+ny|≤ab，所以（mx+ny）max=ab.

例2若实数x，y满足x-4y=2x-y，则x的取值范围是.

解设x-y=X，

y=Y，（X≥0，Y≥0），在坐标系XOY中，圆弧M：X2+Y2=x和直线l：2X+4Y-x=0有公共点，求圆的半径的平方x的范围.如图1，图1当l过原点时，x=0；当l过M上的点B（x，0），即x=4时，开始与圆相交，平行移动到与M相切于T点后相离.由原点到相切直线l的距离公式，得|x|22+42=x，解得x=20，故x∈{0}∪[4，20].

例3（2013年湖北理科13题）设x，y，z∈R，且满足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=.

解设圆C：x2+y2=1-z2，直线l：x+2y+（3z-14）=0，直线l与圆C有公共点，则圆心到直线l的距离小于等于半径1-z2，所以|3z-14|12+22≤1-z2，解得14z2-614z+9≤0，（14z-3）2=0，z=31414，同理解得x=1414，y=147，所以x+y+z=3147.

例4已知x>0，y>0，且x+y=1，求2x+1+2y+1的最大值.

解令u=2x+1，v=2y+1，则u2+v2=4，直线z=u+v与圆有公共点，则|z|2≤2，所以z≤22.

例5函数y=1-x2x-2的值域为.

解设u=x

v=1-x2，则u2+v2=1，-1≤u≤1，0≤v≤1，所以y=vu-2，表示半圆上的动点与点（2，0）连线的斜率k，由图2可知当直线与圆相切时，k=-33，所以k∈-33，0.

图2

例6设不等式m+n≤am+n对任意正实数m，n恒成立，求a的取值范围.

解m+n≤am+n变形可得m+nm+n≤a，则a>0，设圆C：（x-1）2+（y-1）2=a2，m+nm+n≤a的几何意义为圆心（1，1）到动直线l：mx+ny=0的距离小于等于圆的半径a，即动直线l与圆C恒有公共点，动直线l为过原点且斜率为任意的负数的直线系，所以当a≥1+1=2时满足题意.

例7若函数f（x）=10x-x2-21+7x-x2-10-a存在零点，则实数a的取值范围是（）.

A.（0，10]B.[2，3]

C.[2，10]D.[2，10]

图3图4

解由f（x）存在零点可转化为求a=10x-x2-21+7x-x2-10（x∈[3，5]）的值域，设y1=10x-x2-21，y2=7x-x2-10，则（x-5）2+y21=4，x-722+y22=94，分别画出两个半圆如图3，于是可知，x∈[3，5]时，两个圆上的点到x轴距离和的最值.由图象可知x=3时，amin=2.为求a的最大值，我们不妨将y2=7x-x2-10的图象关于x轴对称，如图4，则问题转化为求线段AB的最大值，为求解方便，将图4中x轴下方的圆向上平移使两圆相切如图5，则a=|BC|+|AD|，显然过切点时a最大为EF，即2+322-5-722=10，所以选D.

图5

例8过椭圆x225+y216=1内一定点P（1，0）作弦，求弦中点Q的轨迹方程.

解设中点Q（x，y），令x=5X，y=4Y，则椭圆的方程在新坐标系XOY下转化为圆O的方程X2+Y2=1.定点P（1，0）在新坐标系XOY下的坐标为P′（15，0），中点Q（x，y）在新坐标系XOY下的坐标为Q′x5，y4.则过点P′15，0的弦与OQ′垂直，即OQ′·P′Q′=0.所以x5，y4·x5-15，y4=0，整理得16x2+25y2-16x=0.

例9（2011年全国卷Ⅱ理科12）设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，则|c|的最大值等于（）.

A.2B.3C.2D.1

图6

解由|a|=|b|=1，a·b=-12，得〈a，b〉=23π，设a=OA，b=OB，c=OC，则CA=a-c，CB=b-c，所以∠BOA=2π3，又因为∠ACB=π3，所以O，A，C，B四点共圆如图6，所以当OC为圆的直径时|c|最大.在等腰△ABO中，其外接圆的直径为|a|sin∠ABO=1sinπ6=2，故选A.

例1设实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值为（）.

A.12（a+b）B.12a2+b2

C.a2+b22D.ab

解设mx+ny=k，则直线mx+ny=k与圆x2+y2=b有公共点，于是|k|m2+n2≤b，即|k|=|mx+ny|≤ab，所以（mx+ny）max=ab.

例2若实数x，y满足x-4y=2x-y，则x的取值范围是.

解设x-y=X，

y=Y，（X≥0，Y≥0），在坐标系XOY中，圆弧M：X2+Y2=x和直线l：2X+4Y-x=0有公共点，求圆的半径的平方x的范围.如图1，图1当l过原点时，x=0；当l过M上的点B（x，0），即x=4时，开始与圆相交，平行移动到与M相切于T点后相离.由原点到相切直线l的距离公式，得|x|22+42=x，解得x=20，故x∈{0}∪[4，20].

例3（2013年湖北理科13题）设x，y，z∈R，且满足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=.

解设圆C：x2+y2=1-z2，直线l：x+2y+（3z-14）=0，直线l与圆C有公共点，则圆心到直线l的距离小于等于半径1-z2，所以|3z-14|12+22≤1-z2，解得14z2-614z+9≤0，（14z-3）2=0，z=31414，同理解得x=1414，y=147，所以x+y+z=3147.

例4已知x>0，y>0，且x+y=1，求2x+1+2y+1的最大值.

解令u=2x+1，v=2y+1，则u2+v2=4，直线z=u+v与圆有公共点，则|z|2≤2，所以z≤22.

例5函数y=1-x2x-2的值域为.

解设u=x

v=1-x2，则u2+v2=1，-1≤u≤1，0≤v≤1，所以y=vu-2，表示半圆上的动点与点（2，0）连线的斜率k，由图2可知当直线与圆相切时，k=-33，所以k∈-33，0.

图2

例6设不等式m+n≤am+n对任意正实数m，n恒成立，求a的取值范围.

解m+n≤am+n变形可得m+nm+n≤a，则a>0，设圆C：（x-1）2+（y-1）2=a2，m+nm+n≤a的几何意义为圆心（1，1）到动直线l：mx+ny=0的距离小于等于圆的半径a，即动直线l与圆C恒有公共点，动直线l为过原点且斜率为任意的负数的直线系，所以当a≥1+1=2时满足题意.

例7若函数f（x）=10x-x2-21+7x-x2-10-a存在零点，则实数a的取值范围是（）.

A.（0，10]B.[2，3]

C.[2，10]D.[2，10]

图3图4

解由f（x）存在零点可转化为求a=10x-x2-21+7x-x2-10（x∈[3，5]）的值域，设y1=10x-x2-21，y2=7x-x2-10，则（x-5）2+y21=4，x-722+y22=94，分别画出两个半圆如图3，于是可知，x∈[3，5]时，两个圆上的点到x轴距离和的最值.由图象可知x=3时，amin=2.为求a的最大值，我们不妨将y2=7x-x2-10的图象关于x轴对称，如图4，则问题转化为求线段AB的最大值，为求解方便，将图4中x轴下方的圆向上平移使两圆相切如图5，则a=|BC|+|AD|，显然过切点时a最大为EF，即2+322-5-722=10，所以选D.

图5

例8过椭圆x225+y216=1内一定点P（1，0）作弦，求弦中点Q的轨迹方程.

解设中点Q（x，y），令x=5X，y=4Y，则椭圆的方程在新坐标系XOY下转化为圆O的方程X2+Y2=1.定点P（1，0）在新坐标系XOY下的坐标为P′（15，0），中点Q（x，y）在新坐标系XOY下的坐标为Q′x5，y4.则过点P′15，0的弦与OQ′垂直，即OQ′·P′Q′=0.所以x5，y4·x5-15，y4=0，整理得16x2+25y2-16x=0.

例9（2011年全国卷Ⅱ理科12）设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，则|c|的最大值等于（）.

A.2B.3C.2D.1

图6

解由|a|=|b|=1，a·b=-12，得〈a，b〉=23π，设a=OA，b=OB，c=OC，则CA=a-c，CB=b-c，所以∠BOA=2π3，又因为∠ACB=π3，所以O，A，C，B四点共圆如图6，所以当OC为圆的直径时|c|最大.在等腰△ABO中，其外接圆的直径为|a|sin∠ABO=1sinπ6=2，故选A.