基于随机灰度图的全局Moran’s I 指数的计算与分析

陈丛

摘要：全局Morans I指数反映了空间邻近的区域单元属性值的相似程度。该文主要编程实现了基于各个方向距离的权重矩阵的全局Morans I指数的计算；并基于随机生成的灰度图像设计实验，通过不同属性值的替代和权重距离的变化计算和分析全局Morans I指数，验证其探测聚集性的敏感程度。

关键词：空间自相关；空间权重矩阵；随机灰度图；全局Morans I；聚集

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2014)26-6149-06

Abstract：The global Moran I reflects the similarity of the pixel attribute which were nearby in space. This paper mainly describes the calculation of global Moran I which based on random grayscale.The calculation is completed by the weight matrix based on the distance in all directions.With the replacement of the gray value and changement of the weight interval，the global Moran i is calculated and analyzed ，and verify its sensitivity of detection of clustered.

Key words：spatial autocorrelation；spatial weight matrix；random grayscale；global Moran I; cluster

地理实体之间往往表现出一定的空间关联性。Tobler提出了著名的地理学第一定律（TFL）[1]：”Everything is related to everything else, but near things are more related than distant things”。在此基础上，Cliff提出空间自相关的概念[2]，其定义为“一个空间单元内的信息与其周围单元信息的相似性”[3]。空间自相关针对像元的同一属性而言，反映了一个单元的某一属性值与邻近单元的同一属性值的相关联程度，即其受邻近单元相关属性值的影响程度，并由此来判断图像中是否存在空间结构关系。作为空间统计学中的研究热点，空间自相关分析在区域经济、应用生态、景观分析、医学、人口空间分布等领域已取得较好的研究成果[4~11]。与此同时，关于空间自相关的算法研究在近年来逐渐得到重视。Zhang等人在ArcView中通过Avenue语言实现了Moran I等空间统计运算[12]并完成了与数据库的相关结合[13]；Zhao等基于多尺度的空间自相关展开了城市土地利用方面的研究[14]；毛亮等人在Mapinfo中通过MapBaisc语言实现了基于实体的空间邻接指数和邻接概率矩阵的运算[15]。

空间自相关的指数可以分为全局指数和局部指数。全局指数使用某一属性值来计算获取整个图形区域的相关程度，而局部指数主要着眼于每个像素单元与邻近区域的关联程度。在已有的各类的文献和著作中，Morans I和Getis指数是最常被引用的两种全局自相关指数，但两种指数在应用中各有其特点。该文主要通过设计不同的灰度图来计算和检测全局Morans I指数的变化规律及作用。

1 空间权重矩阵

无论采用哪一种空间自相关指数进行计算与分析，空间权重矩阵（Spatial Weight Matrix）[16]的构建都是不可忽略的环节。针对不同领域的应用特点和不同的实际计算需求，我们需要选择不同的权重矩阵构造方式[17]，从而获得更加准确的计算结果。

从实质上来分析，空间自相关描述的是地理对象与其邻近的地理对象之间的关联度，即该地理对象受到其近邻对象的影响程度。地理学第一定律中描述了一个大致的规律，近处的东西比远处的东西相关性强些。但是，这远近并不能清晰的进行界定[18]。我们倾向于用“空间邻近度”来描述研究对象之间的位置关系，而空间权重矩阵恰恰可以用于表述这种位置上的相互关系。空间权重矩阵通常被定义为一个二元矩阵W，用于表达m×n个区域的邻近关系。矩阵W中第i行第j列的元素值表示区域i和j的邻近关系，元素取值可以根据邻接标准或距离标准来确定。观察图5可发现基于上一节获取的随机分布图像计算所得的全局Morans I指数的值绝对值都小于0.006，且随着距离d的扩大不断减小。同时，当距离d在1至5之间还出现了指数值的正负跳转。从峰值上看，指数在距离d为1、9、33附近出现正向峰值，但总体为递减趋势，逐步趋近于零值。从计算原理上分析，出现峰值的原因为在这几种权重间隔下像元的邻接区域中的灰度值比较接近，相异性较小，类似于聚集效果；且邻接区域中各像元的属性值相对于均值具有相同的变化趋势和变化方向，起到一定程度的聚集增强效果，从而出现相应的正向峰值。图5中我们还可以发现当权重间隔范围在1至4的区间中时，全局Morans I指数的取值从正到负，再变为正值；从自相关的角度，这种数值上的变化体现了图像从空间正相关到空间负相关的跳转。在遥感影像中像元可分为纯像元和混合像元。它们可定义为：“在一个像元内只含一种类型地物称为纯像元，包含两种以上地物的像元称为混合像元” [21]。将这个概念应用至灰度图像中，当研究区域（由权重间隔d值决定的窗口大小）中的像元值均一时认为该区域是纯区域；当研究区域中的像元值包含多种取值时认为该区域是混合区域。随着权重距离的扩大，各个像元的邻接区域逐渐从纯区域向混合区域转变，在此过程中所体现出的是自相关指数值的降低。同时，根据图5的结果显示，无论是空间正相关还是空间负相关，全局Morans I指数的绝对值在不断降低，这表示着空间相关程度的降低。从总体上看，指数的分布与变化没有显示出显著的自相关性，基本体现为图像的随机分布，与前文图像的来源相符。

在此基础上，我们对图4左上角的3行3列单元格区域赋予同一灰度值，形成聚集区域，用来验证全局Morans I指数探测聚集程度的敏锐性。实验依次使用0至255的灰度值来代替左上角3行3列单元格区域的原有属性值，分别计算变化后图像的全局Morans I指数值和图像整体属性均值。随着属性值从0至255的依次代入，图像均值显现增大趋势，符合属性均值的预期变化规律。通过所有不同属性值的代入计算，将结果相互比较我们发现，代入不同属性值时，全局Morans I指数值随着权重间的d扩大的变化基本保持相同的规律，与图5中显示的基于原图的指数变化规律也基本相同。

为了研究代入不同的属性值对于全局Morans I指数值的变化规律影响，该文设计下一步的实验为取固定的权重距离，分别计算代入不同属性值时的指数值并作图（图6) 显示。图6中的水平线表示的是使用127.5作为灰度值代入左上角的3行3列聚集区域计算权重距离为1时的全局Morans I指数值；抛物线代表的是权重间隔为1时，使用从0至255的灰度值代入时计算得到的指数值。图像显示出使用127.5作为灰度值代入时得到的全局Morans I指数值为最小值；而其他灰度值计算结果所呈现的规律为离中值越远，全局Morans I指数值越大。根据这个结果分析可得，无论是“高值聚集”还是“低值聚集”，全局Morans I指数只能判断研究区域内是否存在聚集，而不能断定其聚集类型。因为在同一个权重间隔条件下，随着属性值相对于均值向大小两个方向的偏离，全局Morans I指数值呈现出近似于抛物线的对称扩大趋势；根据全局Morans I指数值无法确定聚集类型。对于进行实验的65行65列的灰度图像，其中心位置的行列编号为第33行第33列。9行9列的聚集区域从左上角向右下角移动的过程呈现出聚集中心从左上角点向中心区域移动而后再移向右下角点的过程。分析此种条件下全局Morans I指数的计算结果可以得出，在此过程中全局Morans I指数的值呈现出震荡的趋势，且震荡的幅值也较小，处于10-3的数量级，无明显的变化规律，无法体现聚集区域位于边缘，位于中心或其他区域的区别。当聚集区域沿着四个边界移动时也体现类似的无规律变化。由此，我们可以得出结论，全局Morans I指数对于聚集中心位置的探测不灵敏。

4 结论

通过上述实验可知，全局Morans I指数能够描述某区域的整体属性分布状况，判断此区域是否有聚集特性存在，同时对于聚集范围的变化趋势比较敏感。另外，结合空间自相关系数图的分析，可以根据全局Morans I指数判断聚集区域的变化规律，并由此获取某区域某种现象的变化趋势。但是，全局Morans I 指数只能从总体上给出了一个指标，无法确定聚集的类型是高值聚集还是低值聚集，也无法确定聚集区域的中心位置。在实际的应用中，需使用全局Moran I指数与其他的自相关指数进行配合分析，着眼于聚集中心的检测和聚集范围的确定；在后续实验设计中，我们将主要着眼于该指数与其他指数的配合使用。

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