高考中的线性规划交汇试题解析

方秦金

线性规划的内涵及思想方法已渗透到高中数学的各知识模块中，是实现高考试题交汇命制的良好载体，近年的高考试题呈现了对线性规划交汇考查的趋势.本文例举高考试题中线性规划交汇试题的类型与解法，供参考.

1.与面积交汇

例1（2009安徽理）若不等式组x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）.

A.73 B.37 C.43 D. 34

解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分△ABC，

由x+3y=4，3x+y=4得A（1，1）.又B（0，4），C（0，43），

所以S△ABC=12（4-43）×1=43.设y=kx+43与3x+y=4的交点为D，则由S△BCD=12S△ABC=23=14BC·xD知xD=12，所以yD=52.

所以52=k×12+43，k=73选A.

评注本题把线性规划与面积交汇在一起，综合考查了线性规划与三角形面积的知识.

2.与基本不等式交汇

例2（2009山东理）设x，y满足约束条件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（ ）.

A.256 B. 83 C.113 D. 4

解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，

而2a+3b=（2a+3b）2a+3b6=136+（ba+ab）≥136+2=256，故选A.

评注本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够利用基本不等式求最值.这是一种常见的交汇方式，如2010年安徽高考理科试题：设x，y满足约束条件2x-y+2≥0，8x-y-4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z=abx+y（a>0，b>0）的最大值为8，则a+b的最小值为.

3.与平面向量交汇

例3（2011福建理）已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域x+y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则

OA·OM的取值范围是（ ）.

A.[-1，0] B.[0，1] C.

[0，2] D.[-1，2]

解析作出可行域（略），设可行域上任意一点为M（x，y），z=OA·OM=（-1，1）·（x，y）=-x+y.作直线-x+y=0并平移，当直线-x+y=z过可行域时，z的最大值为2，最小值为0，故选C.

评注本题是线性规划与数量积的交汇.无独有偶，2011年广东高考理科试题：已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，

y≤2，x≤2y给定.若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则z=OM·OA的最大值为（ ）.

A.42B.32C.4D.3

4.与斜率交汇

例4（2013山东理）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）.

A.2 B.1

C.-13 D. -12

解析作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由x+2y-1=0，3x+y-8=0得x=3，y=-1，即D（3，-1）.此时OM的斜率为-13，选C.

评注与几何概念，如斜率、两点间的距离交汇是线性规划交汇的形式之一.

5.与集合交汇

例5（2013广东理）给定区域D∶x+4y≥4，x+y≤4，x≥0.令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定

条不同的直线.

解析画出可行域，其中z=x+y取得最小值时的整点为（0，1），取得最大值时的整点为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1）及（4，0）共5个整点.故可确定5+1=6条不同的直线.

评注这题本质是线性规划中目标函数最值问题的求法，只不过用集合的形式表达而已.

6.与抛物线交汇

例6.（ 2013江苏）抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 （包含三角形内部与边界）.若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是__________.

解析：易知切线方程为： ，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 ，当直线 过C点时有最小值 ，过B点时有最大值0.5，故所求范围是

评注：本题借用抛物线的切线与坐标轴构成可行域，是线性规划与圆锥曲线交汇的一种形式.

7.与函数交汇

例7.（2012陕西理）设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为 .

解析：函数 在点 处的切线为 ，即 .所以D表示的平面区域如图，当目标函数所表示的直线经过点M时 有最大值，最大值为 .

评注：利用函数图象的切线构成可行域是实现线性规划与函数交汇的基本途径.

8.与概率交汇

例8.（2013四川理）节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）

A. B. C. D.

解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，

由图可知所求的概率为： = .故选C.

评注：两个变量的几何概型常可利用线性规划方法解决.

总之，高考中对线性规划的考查已从显性转向隐性、从单一转向综合，线性规划交汇题型是高考考查的必然趋势.

线性规划的内涵及思想方法已渗透到高中数学的各知识模块中，是实现高考试题交汇命制的良好载体，近年的高考试题呈现了对线性规划交汇考查的趋势.本文例举高考试题中线性规划交汇试题的类型与解法，供参考.

1.与面积交汇

例1（2009安徽理）若不等式组x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）.

A.73 B.37 C.43 D. 34

解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分△ABC，

由x+3y=4，3x+y=4得A（1，1）.又B（0，4），C（0，43），

所以S△ABC=12（4-43）×1=43.设y=kx+43与3x+y=4的交点为D，则由S△BCD=12S△ABC=23=14BC·xD知xD=12，所以yD=52.

所以52=k×12+43，k=73选A.

评注本题把线性规划与面积交汇在一起，综合考查了线性规划与三角形面积的知识.

2.与基本不等式交汇

例2（2009山东理）设x，y满足约束条件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（ ）.

A.256 B. 83 C.113 D. 4

解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，

而2a+3b=（2a+3b）2a+3b6=136+（ba+ab）≥136+2=256，故选A.

评注本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够利用基本不等式求最值.这是一种常见的交汇方式，如2010年安徽高考理科试题：设x，y满足约束条件2x-y+2≥0，8x-y-4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z=abx+y（a>0，b>0）的最大值为8，则a+b的最小值为.

3.与平面向量交汇

例3（2011福建理）已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域x+y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则

OA·OM的取值范围是（ ）.

A.[-1，0] B.[0，1] C.

[0，2] D.[-1，2]

解析作出可行域（略），设可行域上任意一点为M（x，y），z=OA·OM=（-1，1）·（x，y）=-x+y.作直线-x+y=0并平移，当直线-x+y=z过可行域时，z的最大值为2，最小值为0，故选C.

评注本题是线性规划与数量积的交汇.无独有偶，2011年广东高考理科试题：已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，

y≤2，x≤2y给定.若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则z=OM·OA的最大值为（ ）.

A.42B.32C.4D.3

4.与斜率交汇

例4（2013山东理）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）.

A.2 B.1

C.-13 D. -12

解析作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由x+2y-1=0，3x+y-8=0得x=3，y=-1，即D（3，-1）.此时OM的斜率为-13，选C.

评注与几何概念，如斜率、两点间的距离交汇是线性规划交汇的形式之一.

5.与集合交汇

例5（2013广东理）给定区域D∶x+4y≥4，x+y≤4，x≥0.令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定

条不同的直线.

解析画出可行域，其中z=x+y取得最小值时的整点为（0，1），取得最大值时的整点为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1）及（4，0）共5个整点.故可确定5+1=6条不同的直线.

评注这题本质是线性规划中目标函数最值问题的求法，只不过用集合的形式表达而已.

6.与抛物线交汇

例6.（ 2013江苏）抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 （包含三角形内部与边界）.若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是__________.

解析：易知切线方程为： ，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 ，当直线 过C点时有最小值 ，过B点时有最大值0.5，故所求范围是

评注：本题借用抛物线的切线与坐标轴构成可行域，是线性规划与圆锥曲线交汇的一种形式.

7.与函数交汇

例7.（2012陕西理）设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为 .

解析：函数 在点 处的切线为 ，即 .所以D表示的平面区域如图，当目标函数所表示的直线经过点M时 有最大值，最大值为 .

评注：利用函数图象的切线构成可行域是实现线性规划与函数交汇的基本途径.

8.与概率交汇

例8.（2013四川理）节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）

A. B. C. D.

解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，

由图可知所求的概率为： = .故选C.

评注：两个变量的几何概型常可利用线性规划方法解决.

总之，高考中对线性规划的考查已从显性转向隐性、从单一转向综合，线性规划交汇题型是高考考查的必然趋势.

线性规划的内涵及思想方法已渗透到高中数学的各知识模块中，是实现高考试题交汇命制的良好载体，近年的高考试题呈现了对线性规划交汇考查的趋势.本文例举高考试题中线性规划交汇试题的类型与解法，供参考.

1.与面积交汇

例1（2009安徽理）若不等式组x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）.

A.73 B.37 C.43 D. 34

解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分△ABC，

由x+3y=4，3x+y=4得A（1，1）.又B（0，4），C（0，43），

所以S△ABC=12（4-43）×1=43.设y=kx+43与3x+y=4的交点为D，则由S△BCD=12S△ABC=23=14BC·xD知xD=12，所以yD=52.

所以52=k×12+43，k=73选A.

评注本题把线性规划与面积交汇在一起，综合考查了线性规划与三角形面积的知识.

2.与基本不等式交汇

例2（2009山东理）设x，y满足约束条件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（ ）.

A.256 B. 83 C.113 D. 4

解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，

而2a+3b=（2a+3b）2a+3b6=136+（ba+ab）≥136+2=256，故选A.

评注本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够利用基本不等式求最值.这是一种常见的交汇方式，如2010年安徽高考理科试题：设x，y满足约束条件2x-y+2≥0，8x-y-4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z=abx+y（a>0，b>0）的最大值为8，则a+b的最小值为.

3.与平面向量交汇

例3（2011福建理）已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域x+y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则

OA·OM的取值范围是（ ）.

A.[-1，0] B.[0，1] C.

[0，2] D.[-1，2]

解析作出可行域（略），设可行域上任意一点为M（x，y），z=OA·OM=（-1，1）·（x，y）=-x+y.作直线-x+y=0并平移，当直线-x+y=z过可行域时，z的最大值为2，最小值为0，故选C.

评注本题是线性规划与数量积的交汇.无独有偶，2011年广东高考理科试题：已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，

y≤2，x≤2y给定.若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则z=OM·OA的最大值为（ ）.

A.42B.32C.4D.3

4.与斜率交汇

例4（2013山东理）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）.

A.2 B.1

C.-13 D. -12

解析作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由x+2y-1=0，3x+y-8=0得x=3，y=-1，即D（3，-1）.此时OM的斜率为-13，选C.

评注与几何概念，如斜率、两点间的距离交汇是线性规划交汇的形式之一.

5.与集合交汇

例5（2013广东理）给定区域D∶x+4y≥4，x+y≤4，x≥0.令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定

条不同的直线.

解析画出可行域，其中z=x+y取得最小值时的整点为（0，1），取得最大值时的整点为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1）及（4，0）共5个整点.故可确定5+1=6条不同的直线.

评注这题本质是线性规划中目标函数最值问题的求法，只不过用集合的形式表达而已.

6.与抛物线交汇

例6.（ 2013江苏）抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 （包含三角形内部与边界）.若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是__________.

解析：易知切线方程为： ，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 ，当直线 过C点时有最小值 ，过B点时有最大值0.5，故所求范围是

评注：本题借用抛物线的切线与坐标轴构成可行域，是线性规划与圆锥曲线交汇的一种形式.

7.与函数交汇

例7.（2012陕西理）设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为 .

解析：函数 在点 处的切线为 ，即 .所以D表示的平面区域如图，当目标函数所表示的直线经过点M时 有最大值，最大值为 .

评注：利用函数图象的切线构成可行域是实现线性规划与函数交汇的基本途径.

8.与概率交汇

例8.（2013四川理）节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）

A. B. C. D.

解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，

由图可知所求的概率为： = .故选C.

评注：两个变量的几何概型常可利用线性规划方法解决.

总之，高考中对线性规划的考查已从显性转向隐性、从单一转向综合，线性规划交汇题型是高考考查的必然趋势.