职高数学“动中学”教学实践

杨增华

职高数学教学借助课堂观察与作业观察了解学生的学习状态，通过作业分层设计与指导实现让不同层次的学生在动手参与的过程中学有所获，在体验式学习中落实“动中学”的教学理念。

一、教学构想

职高数学教学课堂正在从“有效吸引学生参与学习，收获成功体验”，向“吸引更多学生，让各个层次学生学有所获”转变，让学生动起来，在活动与互动中完成对知识的了解学习、对问题的思考，在作业练习中获得切身体验与收获。从这一教学理念出发，《同角三角函数的基本关系式》的教学与作业环节，从课前到课上，再到课后，我始终坚持课堂与作业的有效观察和作业分层设计相结合，注重学生在动中学。

（一）关注不同层次的学生，在动中学

1.课前学案导学，通过“填一填”“猜一猜”“推一推”的环节，让学生及时完成对原有知识的复习，继而对新的问题提出猜想，处于疑问状态，为解决课堂上未知问题做准备。

2.课堂上教师与学生一起依据定义共同推导，解决猜想，明确问题的结论。

3.“动中学”专门培养环节：识、变、辨、练、改。通过对知识点的识别、内涵外延的辨别、公式的变形三个层次从浅入深的学习，完成对知识认识的深化，最后通过综合运用及作业修改，完成自我能力的提高。

4.课后作业分层及时巩固所学。三种层次作业要求：摘记（书本的概念与公式）、例题改写（熟悉与体验）、重点题型练习（模仿与运用）。对有特色与有进步的作业公开展示，及时鼓励。

（二）知识落实，循环式上升

本课涉及的知识点分散，新知识的内涵外延比较丰富，层次分明。为落实知识点采用“螺旋上升式”的教学活动安排，让学生在由浅入深的接触中提高对知识的认识。

课前学生与本课知识进行第一次接触（远距离接触），感受粗浅、零散，体系不完整。

第一步“挖金矿”，学生与本课知识进行第二次接触（近距离接触），师生共同推导结论。

第二步“火眼金睛”，学生与本课知识进行第三次接触（零距离接触），通过“识、变、辨”明确知识的内涵与外延。

第三步“精雕细琢”，学生运用所学知识，练一练、改一改，这是与本课知识的第四次接触（负距离接触）。

课后作业分层，通过摘记、例题改写、练习三个环节实现对新学知识的及时复习与巩固。（最近发展区接触）

通过五次接触，实现学生知识螺旋式上升。

二、学情分析

笔者任教的美术班，学生数学功底相对薄弱，水平相差极大，有各个层次的学生，他们有着较好的绘画基础，感性思维强，理性思维弱，学习自觉性高，学习气氛浓厚，大部分学生已有做笔记的好习惯。教师组织教学的压力减少，教学重点是设计活动与作业，引导更多的学生参与学习，提高学习效果。学生对于用视频方式呈现的信息接收快，对文字语言多的信息反应偏迟缓；不刻意追求逻辑的严密与体系的完整，逻辑的跳跃性极强；更注重的是个性化的感受、体验，喜欢与现实密切联系的东西；好奇心重，愿意探究未知世界。

三、教学目标与教学重难点

【知识与技能】

1.了解同角三角函数基本关系式的推导过程，熟记基本关系式。

2.学会识别、辨析、筛选信息，能找出1～3个变形的新公式。

3.已知一个三角函数值，利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值。

【过程与方法】

1.课前学案导学。

2.课堂上实践以“小故事、大智慧”为主线的互动教学法。

3.课堂上与课后及时完成三种作业，做好总结，为后面学习做准备。

【情感、态度与价值观】

1.培养学生找问题、提问题、解决问题的兴趣。

2.培养学生探究问题内涵、外延的意识。

3.通过对各类问题的解析、定义，培养学生注重实践，勇于创新的意识。

【重点】

1.基本关系式的推导、变形、辨识。

2.已知一个三角函数值，利用基本关系式求其他的三角函数值。

【难点】

利用平方关系求正弦或余弦值时，正负号的确定。

四、教学过程

（一）教学环节一：课前学案导学

【学生活动】学生通过导学案填一填，猜一猜，完成课前准备。

1.列表写了0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°的sinα、cosα、tanα值。

2.计算求值：

sin20°+cos20°=sin230°+cos230°=

sin290°+cos290°=sin2120°+cos2120°=

sin0°cos0°=sin30°cos30°=sin60°cos60°=

sin90°cos90°=sin120°cos120°=

3.猜想sin2α+cos2α=？sinαcosα=？

【教师活动】通过导学案引导学生提早了解本课内容，归纳猜想。

【设计意图】通过学案导学，学生及时复习相关知识，为新课做好准备的同时有助于提高课堂教学效率。

（二）教学环节二：视觉体验

【学生活动】观看视频，截取航母飞行甲板的仰角图片，引出课题。

【教师活动】播放航母舰载机起飞视频。

【设计意图】通过播放视频既吸引学生，又营造学习氛围，增强爱国主义教育。截取短片中的图片，引发学生思考。

（三）教学环节三：课上大智慧

1.挖金矿

（1）新问题老办法

【学生活动】学生围绕问题运用原有的三角函数知识，根据条件列式子解决问题。endprint

【教师活动】

①现场提问学生：结合所学谈谈如何求仰角处甲板高度。

②提取学生回答中的关键词，师生一起探讨解题思路。

③屏幕播放解题过程。

【设计意图】学生在教师示范问题式结论后，产生表达这种结论的兴趣，并产生新的疑问。

（2）新角度新思考

【学生活动】①明确思考的新方向——坐标法。

②推导同角三角函数两个基本关系式。由三角函数定义sinα=yx，cosα=yx，tanα=yx，恒等变形推导基本关系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。③角的限制条件的明确。

【教师活动】①选学生上来板书推导过程。②明确两个基本关系式及其使用条件。③熟悉明确公式内容。

【设计意图】通过问题的推导，得出结论，趁热打铁让学生及时熟悉明确公式，加深对公式的书写与内容的了解记忆。

2.火眼金睛

（1）学生活动之“识”

①判断下列等式正确与否，如果错误，进行订正。

sin230°+cos230°=1sin290°=cos290°-1

sin230°+cos260°=1sin30°cos30°=tan30°

sin110°cos110°=tan110°

②编错题，改正题。

③总结错题中的错误类别。

【教师活动】①抢答互动环节。由学生判断并说明理由，其余学生做裁判。②错题编写与改正相结合，提高理解。③引导归纳两个基本公式中易错、易混淆，需明辨的关键点。

【设计意图】本环节重在使学生理解同角三角函数两个基本关系式的内涵与外延，通过“识别—编题—改正—总结”，四个环节的活动加深学生对知识的理解。

（2）学生活动之“变”

①由同角三角函数两个基本关系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα，写出2个以上的变形式子。

②在黑板上写出两个特殊角的基本关系式与变化式子。

【教师活动】①安排公式变形任务。②鼓励学生到黑板书写自己的变形式子。③引导分析变形的类别，归纳。

【设计意图】公式的变形训练使学生进一步熟悉基本公式，在基本公式基础上进行移动、同乘、平方、开方，是在识别基础上的对同角三角函数的基本关系式认识第一次深化，为后面做练习打好基础。

（3）学生活动之“辨”

①开方运算辨别正负符号。对于sinα=±1-cos2α，当α为第一、二、三、四象限角时，判别函数值的正负，确定开方式的正负。②试写出别的开方式，判别角在各象限时函数值的正负。

【教师活动】①安排开方运算任务。②说明开方书写要求。③由角所在象限确定函数值的正负。

【设计意图】熟悉开方的书写，明确利用角所在象限确定正负号。通过增加的配套练习，进一步熟悉开方过程中正负号的判定，为后面的难点突破做好铺垫，减低难度。

3.精雕细琢

（1）学生活动之“练一练”

独立完成例题分析。

例1：已知sinα=45，且α是第一象限的角，求cosα和tanα。

例2：已知cosα=12，且α是第四象限的角，求sinα和tanα。

（2）学生活动之“变一变”

变式训练1：已知sinα=45，且α是第二象限的角，

求cosα和tanα。

变式训练2：已知sinα=45，求cosα和tanα。

师生共同探讨角所在象限，确定正负号；再由学生独立完善解题思路，撰写解题过程。

【教师活动】①例题分析归纳讲解。②变式训练题目的选配（分两个层次：明确角所在象限；根据条件分类讨论角所在象限）。③规范书写解题过程，熟悉、完善解题思路。

【设计意图】本环节是本课难点所在，通过对例题及配套的变式训练，实现对知识点的分层训练，降低学习难度。在“辨”环节的铺垫为学生的综合运用降低了难度。要求学生做好完整的记录，回去通过复习加强理解。

（3）学生活动之“改一改”

①重温本课基本内容sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。②简化解题步骤，凸显思路，重纠错，规范书写。

【教师活动】①引导复习两个基本关系式及其变形。②各个象限里三角函数值符号的确定。③安排自由时间进行总结。

【设计意图】在加强对知识点的概念理解的基础上，通过对解题步骤的修缮、重整，有助于实现对学生逻辑条理性的培养。

（四）教学环节四：课后作业分层，温故知新

【学生活动】课后作业分层次要求，有摘记、例题改写、练习三个环节，对新学知识及时复习与巩固，在动中学。

【教师活动】分层布置课后作业，及时批改指导。

【设计意图】学生能力的提升源自“习得”，通过动手写、思考，才能将教学的要求转化为学生自身的能力，教师有针对性地布置作业，及时对作业进行评价与指导，能提升学生学习关注度，增强学生学习成就感。

五、教学反思

职高数学课堂加强分层次教学与互动教学，有助于调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。教师通过活动引领，任务分层设计，引导学生参与到学习中来，学生在耳动、眼动、手动、口动、思动与心动中完成了知识的学习。“动中学”有效地缓解了学生对数学学习的畏难情绪，创设出一个更有利于学习的宽松环境，在活动中激发学生学习兴趣，适度发展，综合提高，学生课堂参与程度提高，学习主动性增强，教学效果得到改善。

参考文献

[1]夏雪梅.以学习为中心的课堂观察[M].北京：教育新华出版社，2012.

[2]罗增儒.中学数学颗粒分析[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

（责任编辑陈剑平）endprint

【教师活动】

①现场提问学生：结合所学谈谈如何求仰角处甲板高度。

②提取学生回答中的关键词，师生一起探讨解题思路。

③屏幕播放解题过程。

【设计意图】学生在教师示范问题式结论后，产生表达这种结论的兴趣，并产生新的疑问。

（2）新角度新思考

【学生活动】①明确思考的新方向——坐标法。

②推导同角三角函数两个基本关系式。由三角函数定义sinα=yx，cosα=yx，tanα=yx，恒等变形推导基本关系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。③角的限制条件的明确。

【教师活动】①选学生上来板书推导过程。②明确两个基本关系式及其使用条件。③熟悉明确公式内容。

【设计意图】通过问题的推导，得出结论，趁热打铁让学生及时熟悉明确公式，加深对公式的书写与内容的了解记忆。

2.火眼金睛

（1）学生活动之“识”

①判断下列等式正确与否，如果错误，进行订正。

sin230°+cos230°=1sin290°=cos290°-1

sin230°+cos260°=1sin30°cos30°=tan30°

sin110°cos110°=tan110°

②编错题，改正题。

③总结错题中的错误类别。

【教师活动】①抢答互动环节。由学生判断并说明理由，其余学生做裁判。②错题编写与改正相结合，提高理解。③引导归纳两个基本公式中易错、易混淆，需明辨的关键点。

【设计意图】本环节重在使学生理解同角三角函数两个基本关系式的内涵与外延，通过“识别—编题—改正—总结”，四个环节的活动加深学生对知识的理解。

（2）学生活动之“变”

①由同角三角函数两个基本关系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα，写出2个以上的变形式子。

②在黑板上写出两个特殊角的基本关系式与变化式子。

【教师活动】①安排公式变形任务。②鼓励学生到黑板书写自己的变形式子。③引导分析变形的类别，归纳。

【设计意图】公式的变形训练使学生进一步熟悉基本公式，在基本公式基础上进行移动、同乘、平方、开方，是在识别基础上的对同角三角函数的基本关系式认识第一次深化，为后面做练习打好基础。

（3）学生活动之“辨”

①开方运算辨别正负符号。对于sinα=±1-cos2α，当α为第一、二、三、四象限角时，判别函数值的正负，确定开方式的正负。②试写出别的开方式，判别角在各象限时函数值的正负。

【教师活动】①安排开方运算任务。②说明开方书写要求。③由角所在象限确定函数值的正负。

【设计意图】熟悉开方的书写，明确利用角所在象限确定正负号。通过增加的配套练习，进一步熟悉开方过程中正负号的判定，为后面的难点突破做好铺垫，减低难度。

3.精雕细琢

（1）学生活动之“练一练”

独立完成例题分析。

例1：已知sinα=45，且α是第一象限的角，求cosα和tanα。

例2：已知cosα=12，且α是第四象限的角，求sinα和tanα。

（2）学生活动之“变一变”

变式训练1：已知sinα=45，且α是第二象限的角，

求cosα和tanα。

变式训练2：已知sinα=45，求cosα和tanα。

师生共同探讨角所在象限，确定正负号；再由学生独立完善解题思路，撰写解题过程。

【教师活动】①例题分析归纳讲解。②变式训练题目的选配（分两个层次：明确角所在象限；根据条件分类讨论角所在象限）。③规范书写解题过程，熟悉、完善解题思路。

【设计意图】本环节是本课难点所在，通过对例题及配套的变式训练，实现对知识点的分层训练，降低学习难度。在“辨”环节的铺垫为学生的综合运用降低了难度。要求学生做好完整的记录，回去通过复习加强理解。

（3）学生活动之“改一改”

①重温本课基本内容sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。②简化解题步骤，凸显思路，重纠错，规范书写。

【教师活动】①引导复习两个基本关系式及其变形。②各个象限里三角函数值符号的确定。③安排自由时间进行总结。

【设计意图】在加强对知识点的概念理解的基础上，通过对解题步骤的修缮、重整，有助于实现对学生逻辑条理性的培养。

（四）教学环节四：课后作业分层，温故知新

【学生活动】课后作业分层次要求，有摘记、例题改写、练习三个环节，对新学知识及时复习与巩固，在动中学。

【教师活动】分层布置课后作业，及时批改指导。

【设计意图】学生能力的提升源自“习得”，通过动手写、思考，才能将教学的要求转化为学生自身的能力，教师有针对性地布置作业，及时对作业进行评价与指导，能提升学生学习关注度，增强学生学习成就感。

五、教学反思

职高数学课堂加强分层次教学与互动教学，有助于调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。教师通过活动引领，任务分层设计，引导学生参与到学习中来，学生在耳动、眼动、手动、口动、思动与心动中完成了知识的学习。“动中学”有效地缓解了学生对数学学习的畏难情绪，创设出一个更有利于学习的宽松环境，在活动中激发学生学习兴趣，适度发展，综合提高，学生课堂参与程度提高，学习主动性增强，教学效果得到改善。

参考文献

[1]夏雪梅.以学习为中心的课堂观察[M].北京：教育新华出版社，2012.

[2]罗增儒.中学数学颗粒分析[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

（责任编辑陈剑平）endprint

【教师活动】

①现场提问学生：结合所学谈谈如何求仰角处甲板高度。

②提取学生回答中的关键词，师生一起探讨解题思路。

③屏幕播放解题过程。

【设计意图】学生在教师示范问题式结论后，产生表达这种结论的兴趣，并产生新的疑问。

（2）新角度新思考

【学生活动】①明确思考的新方向——坐标法。

②推导同角三角函数两个基本关系式。由三角函数定义sinα=yx，cosα=yx，tanα=yx，恒等变形推导基本关系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。③角的限制条件的明确。

【教师活动】①选学生上来板书推导过程。②明确两个基本关系式及其使用条件。③熟悉明确公式内容。

【设计意图】通过问题的推导，得出结论，趁热打铁让学生及时熟悉明确公式，加深对公式的书写与内容的了解记忆。

2.火眼金睛

（1）学生活动之“识”

①判断下列等式正确与否，如果错误，进行订正。

sin230°+cos230°=1sin290°=cos290°-1

sin230°+cos260°=1sin30°cos30°=tan30°

sin110°cos110°=tan110°

②编错题，改正题。

③总结错题中的错误类别。

【教师活动】①抢答互动环节。由学生判断并说明理由，其余学生做裁判。②错题编写与改正相结合，提高理解。③引导归纳两个基本公式中易错、易混淆，需明辨的关键点。

【设计意图】本环节重在使学生理解同角三角函数两个基本关系式的内涵与外延，通过“识别—编题—改正—总结”，四个环节的活动加深学生对知识的理解。

（2）学生活动之“变”

①由同角三角函数两个基本关系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα，写出2个以上的变形式子。

②在黑板上写出两个特殊角的基本关系式与变化式子。

【教师活动】①安排公式变形任务。②鼓励学生到黑板书写自己的变形式子。③引导分析变形的类别，归纳。

【设计意图】公式的变形训练使学生进一步熟悉基本公式，在基本公式基础上进行移动、同乘、平方、开方，是在识别基础上的对同角三角函数的基本关系式认识第一次深化，为后面做练习打好基础。

（3）学生活动之“辨”

①开方运算辨别正负符号。对于sinα=±1-cos2α，当α为第一、二、三、四象限角时，判别函数值的正负，确定开方式的正负。②试写出别的开方式，判别角在各象限时函数值的正负。

【教师活动】①安排开方运算任务。②说明开方书写要求。③由角所在象限确定函数值的正负。

【设计意图】熟悉开方的书写，明确利用角所在象限确定正负号。通过增加的配套练习，进一步熟悉开方过程中正负号的判定，为后面的难点突破做好铺垫，减低难度。

3.精雕细琢

（1）学生活动之“练一练”

独立完成例题分析。

例1：已知sinα=45，且α是第一象限的角，求cosα和tanα。

例2：已知cosα=12，且α是第四象限的角，求sinα和tanα。

（2）学生活动之“变一变”

变式训练1：已知sinα=45，且α是第二象限的角，

求cosα和tanα。

变式训练2：已知sinα=45，求cosα和tanα。

师生共同探讨角所在象限，确定正负号；再由学生独立完善解题思路，撰写解题过程。

【教师活动】①例题分析归纳讲解。②变式训练题目的选配（分两个层次：明确角所在象限；根据条件分类讨论角所在象限）。③规范书写解题过程，熟悉、完善解题思路。

【设计意图】本环节是本课难点所在，通过对例题及配套的变式训练，实现对知识点的分层训练，降低学习难度。在“辨”环节的铺垫为学生的综合运用降低了难度。要求学生做好完整的记录，回去通过复习加强理解。

（3）学生活动之“改一改”

①重温本课基本内容sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα。②简化解题步骤，凸显思路，重纠错，规范书写。

【教师活动】①引导复习两个基本关系式及其变形。②各个象限里三角函数值符号的确定。③安排自由时间进行总结。

【设计意图】在加强对知识点的概念理解的基础上，通过对解题步骤的修缮、重整，有助于实现对学生逻辑条理性的培养。

（四）教学环节四：课后作业分层，温故知新

【学生活动】课后作业分层次要求，有摘记、例题改写、练习三个环节，对新学知识及时复习与巩固，在动中学。

【教师活动】分层布置课后作业，及时批改指导。

【设计意图】学生能力的提升源自“习得”，通过动手写、思考，才能将教学的要求转化为学生自身的能力，教师有针对性地布置作业，及时对作业进行评价与指导，能提升学生学习关注度，增强学生学习成就感。

五、教学反思

职高数学课堂加强分层次教学与互动教学，有助于调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。教师通过活动引领，任务分层设计，引导学生参与到学习中来，学生在耳动、眼动、手动、口动、思动与心动中完成了知识的学习。“动中学”有效地缓解了学生对数学学习的畏难情绪，创设出一个更有利于学习的宽松环境，在活动中激发学生学习兴趣，适度发展，综合提高，学生课堂参与程度提高，学习主动性增强，教学效果得到改善。

参考文献

[1]夏雪梅.以学习为中心的课堂观察[M].北京：教育新华出版社，2012.

[2]罗增儒.中学数学颗粒分析[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

（责任编辑陈剑平）endprint