浅谈三角公式的教学

徐洪丽

摘 要：在三角公式的教学中，要力争使学生做到：深入领会，准确记忆，掌握内涵，认清实质，推敲条件，灵活多变。不论是求值问题、化简问题、还是恒等式证明，都要反复使用这些公式，既要不断强化记忆，又要不断总结公式的应用方法和技巧。

关键词：透彻领会 准确记忆 灵活运用

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）05（b）-0069-02

在三角函数中，三角公式居于核心的地位。因此，教学过程中应让学生做到：了解公式的来龙去脉；熟悉公式的推导过程；把握公式的内在联系；擅于公式的灵活运用。本文在此谈几点看法。

1 透彻领会三角公式

对三角公式的领会可以从以下几个方面。

1.1 公式的普遍价值

这是指三角公式在运用方面具有普遍的指导价值。三角公式作为一种特有的形式结构固定下来，凡是符合公式条件的三角问题，都可以用公式运算。例如，对任意角、，公式、

都成立。三角公式具有普适性，就是因为它是从各种具体问题中抽象出来的一般规律。

1.2 公式的本质内涵

相对于具有外在美的形式而言，三角公式的本质内涵同样重要。例如同角三角函数的基本关系式，揭示了“同角不同名”的三角函数的运算关系，它的关键在“同角”二字上，、等均成立，原因是公式中的角都是“同角”。再如，公式 阐述的事实是：双倍角的正弦等于单角的正弦和余弦乘积的两倍，等式两边的角是双倍关系，，

等都是这一公式的合理变形。准确把握三角公式的内在联系，而不被复杂多变的表面现象所纠结，是掌握三角公式的关键。没有对三角公式的透彻领会，就谈不上对公式的准确应用。

1.3 公式的适用条件

真理都是相对的，三角公式也只能在某些前提条件下成立。例如是在的前提下成立；

成立的條件是：和、、。假如，，求就不能用和角的正切公式，而应该用诱导公式：

1.4 公式的内在联系

三角公式可以分成几个系列，每一系列公式之间存在着高度的内在联系。因此，要善于从总体和联系上去把握某一公式的本质特点。擒贼先擒王，搞定公式系列中的基础公式，就可以起到举一反三的效果。例如，在两角和与差、倍角、半角系列中，、是基础公式，由这两个公式很容易就能推导出两角差、倍角、半角公式。

推导过程：在 公式

（1）

及公式

（2）

中用代替就得两角差的正余弦公式

（3）

和

（4）

在公式（1）和（2）中，令就得二倍角的正余弦公式

（5）

和

（6）

利用上面公式（6），由

就可得出半角公式

（7）

和 （8）

再由公式（7）和公式（8）相除就得正切的半角公式

另外，由公式（1）和公式（2）相除得出正切两角和的公式

（9）

在公式（9）中用代替可得两角差的正切公式

（10）

在公式（9）中令就得二倍角的正切公式

因此，、既是这一系列的基础公式，又是核心公式。

2 准确记忆三角公式

三角公式虽然多，但必须牢记，这是解决三角问题的根本。教师可以通过编口诀、画图形、看结构等方法，帮助学生记忆，下面举例说明。

2.1 部分常用公式通过口诀帮助记忆

例如，在上述系列中占主要地位的两角和与差的正弦公式

可以用“余弦中间，正弦两边，符号受限，前后不变。”作为记忆口诀；两角和与差的余弦公式

可以用“余头正尾，各就各位，符号另类，前后相对。”作为记忆口诀。而三角函数在第一、二、三、四象限值的正负可用“一全正，二正弦，三两切，四余弦”作为记忆口诀。第一类诱导公式 和第二类诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”给出口诀式的概括。这里“奇变偶不变”是指角的形式化为后，当为奇数时函数名称改变（正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切）；当为偶数时函数名称不改变。“符号看象限”是指公式右端三角函数前的正负号，看公式左端的角（把看作锐角）所在象限的三角函数值的符号来确定。例如：

，

，

。

2.2 同角三角函数的基本关系式可用直观图来帮助记忆（见图1）

将、、、、、分别置于正六边形各顶点上，其中心放上数值1。这样正六边形对角线两端的函数之积等于1，例如，，即体现倒数关系；正六边形任意顶点位置上的三角函数值均等于与它相邻的两顶点位置的三角函数值的乘积，例如，，即体现商数关系；在阴影部分的三角形中，三角形上方两顶点位置的三角函数值或数值的平方和，等于下面顶点上三角函数值的平方，例如：，即体现平方关系。

2.3 一些公式可根据其构造形式帮助记忆

例如，积化和差公式：

两个角的不同名函数（限于正弦、余弦）之积化为正弦的和或差；两角的余弦之积化为两余弦之和，两角的正弦之积则化为两余弦之差，而右端角、的相对位置是固定的。

3 灵活运用三角公式

三角公式是解决三角函数问题的基本工具，在准确记忆的基础上，还要灵活运用它们。首先公式本身有各种衍生形式，例如半角公式：是它的基本形式，另外还可以演变为和等形式。其次，如果问题不具备公式的条件和形态，可试着变化形式和条件，然后再套用公式。例如将化为积的形式，可将原式化为然后再套用和差化积公式。解题的趣味就在这些变化之中。除此之外，还要教会学生具备如下几点。

3.1 辩证的思维

某一角或数值可以有多种表达形式，例如：，，，等。又如，整数1在不同的场合可用、、代替，或用、、代替等等。

3.2 逆向的思维

要增强逆用公式的直觉能力，就会有化繁为简、思路开阔的意外收获。例如：

等等。

3.3 转化的观念

三角函数中的求值、化简、恒等式证明等问题千变万化，归根结底是恒等变形，而恒等变形的本质意义就是对角、函数名称的相互转化，其依据是一系列的三角公式。按照公式的作用可做如下分类：同角三角函数关系式——可达成函数名称的转化；诱导公式及和、差、倍角、半角的三角公式——可达成角的形式的转化；和差化积、积化和差可实现运算结构的变化；余弦倍角公式可实现函数式的升幂或降幂的作用。

3.4 方程的观念

在求某些角的三角函数值时，可将该角的函数值作为未知数，然后列出方程解决。例如求的值，由二倍角的正弦及三倍角的余弦公式及，可列出式子：

两边同除得：

化简，得：

，

将看作未知量便可求得。

综上所述，在三角公式的教学中，要力争使学生做到：深入领会，准确记忆，掌握内涵，认清实质，推敲条件，灵活多变。不论是求值问题、化简问题、还是恒等式证明问题，都要反复使用这些公式，既要不断强化记忆，又要不断总结公式的应用方法和技巧。

参考文献

[1] 刘来刚.图解“第七模块三角函数”[J].基础知识手册.

[2] 傅荣强.三角函数的诱导公式[J].三角函数.

[3] 刘锡宝.三角公式及其应用[J].基础知识全解.