高中物理有关“天体运动”的解题剖析

李兴

摘 要 万有引力定律的发现，是自然科学最伟大的成就之一。本文从实际例子出发，总结了万有引力定律在实际应用中的几种类型和解决这些问题的基本方法，阐述了“化整为零”等物理思想。

关键词 质心间距 轨道半径 星球半径 自转周期

中图分类号：G424 文献标识码：A

High School Physics Related to "Celestial Movement"

Problem-solving Analysis

LI Xing

（Lanzhou No.58 Middle School， Lanzhou， Gansu 730000）

Abstract Discovery of the law of gravity is one of the greatest achievements of natural science. In this paper， starting from the practical examples， summarized the law of gravity several types and basic methods to solve these problems in practical application， describes the "piecemeal" and other physical ideas.

Key words centroid spacing； orbital radius； planet radius； rotation period

万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行的计算方面有着广泛的应用。学生在这一章节的学习中，由于公式较为繁杂，解法灵活多变，对一些相近的概念容易混淆，从而出现解题失误。在多年从事高中物理一线教学的过程中，笔者整理总结了两类相近的物理量，加以对比剖析，以求能帮助学生走出误区，正确地掌握解题方法。

1 三个距离的联系与区别

在这一章中，很多题目要求根据一些环绕天体（如人造卫星等）来解决中心天体的某些参数。在这一类问题中，有关星球半径、轨道半径和质心间距这三个长度物理量的处理，往往成为了一些学生解题中的困惑之处。不能正确处理这三个长度关系，是学生在解决这类问题中常常出现的一个易错点。

首先我们来对三种长度物理量来进行区分。

（1）质心间距：万有引力定律告诉我们：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量乘积成正比，与它们距离的二次方成反比。从公式 = 可看出，这里的指的是两物体质心间的间距。

（2）轨道半径：本章内容有很多问题就是让环绕天体仅在中心天体的万有引力下做匀速圆周运动，由向心力公式 = 可看出，这里的是指物体做匀速圆周运动的轨道半径。

（3）星球半径：在求解某一未知天体的密度问题中，由球体体积公式 = 引出第三个长度，此处的是指星球半径。同时，在有些问题中由于已知条件里包含了某一星球表面的重力加速度，往往要利用黄金代换 = （注：该等式并非一级公式，应用时应写出原始公式）将未知量用已知量表示，也就要求引入星球半径。

综上，只有正确理解了这三个距离的关系，才不会在解题时出现约分错误。

应注意到：双星问题模型中，三者皆不相等；环绕天体绕中心天体在高轨道上做匀速圆周运动时，圆周运动的轨道半径等于环绕天体和中心天体质心间距；在近地卫星模型中，三者相等。下面我们通过几个具体事例来分析。

例1：（2010年全国卷Ⅰ）如图1，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

图1

（1）求两星球做圆周运动的周期；

（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98？024 kg和7.35？022 kg。求T2与T1两者平方之比（结果保留3位小数）。

【解析】：（1）这是一道典型的双星问题。该类问题的特点是两星球的周期相等，并在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，故而向心力也相等。但解题易错点在于两星球的质心间距并不等于各自做匀速圆周运动运动的轨道半径。即上文提到的 ≠ 。

设星球A、B各自做圆周运动的半径分别为、，周期为T，则根据万有引力定律对A卫星分析可知： = ，式中 = （ + ）；又∵ = ，联立解得： = 。

（2）T2的求解方法中，就涉及到了环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动这类模型，其中两星球的质心间距等于环绕天体做匀速圆周运动的轨道半径，即上文提到的 = 。

设地球和月球的球心间距为，地球和月球质量分别为、则由第一问可知： = ；当月球绕地球做匀速圆周运动时，地球对月球的万有引力提供了月球绕地球做匀速圆周运动的向心力，即有： = ，解得： = ；代入数据解得：（）2 = 1.012。

【点评】：通过比对不难发现，该题涉及的问题即为上文中提到的质心间距以及轨道半径这两种不同的距离之间的差别。在解题时应格外谨慎，不能盲目套用公式。

例2：在某行星上以初速度自地面竖直向上弹射一个小球，用秒表测得小球经时间落回地面，已知该行星的半径为，如果在该行星上发射一颗卫星，则卫星在该行星表面附近环绕的周期为多少？（行星表面无空气）

【解析】：分析题目可知，该卫星是近地卫星模型。在上文中提到过，对近地卫星模型而言，卫星和星球的质心间距等于该卫星的轨道半径，也等于该星球的半径。即 = = 。

设该行星表面的重力加速度为，质量为，卫星质量为。则由运动学规律： = ；在星球表面，有： = ；卫星做匀速圆周运动的向心力由行星对其的万有引力提供，故有： = ；又由题意： = = ，联立解得： = = = 。

【点评】：在这道题中，所涉及的长度关系是上文中提到的质心间距、星球半径、轨道半径三者相等的情况。这类问题的解决过程中，要特别注意黄金代换式的合理应用。

2 两个周期的区别

（1）公转周期：公转周期是行星绕恒星或是卫星绕行星转动一周所用的时间。卫星的公转周期一般都由万有引力提供向心力这条思路求解，即由 = 解得，又由于公转周期一般比较容易测得，有时候也可通过反向代入，解出有关中心天体的一些具体参数。

（2）自转周期：自转周期是一个天体沿自转轴自转一周所需的时间。

要注意到二者一般并不相等，比如地球的公转周期约为365天，但自转周期仅有24小时。某星球自转周期求解是学生的一大难点，很多学生在解题过程中也容易混淆二者。以下面为例：

例3：已知地球质量为，半径为，地球表面赤道处重力加速度为，万有引力常量为。试根据以上数据求出地球自转周期。

【解析】：很多同学会直接由 = 得出错解 = ；实际上这里解出的T并非地球自转周期，而是近地卫星贴着地球表面在飞行时的公转周期。事实上，题目中给的条件“赤道处的重力加速度”是解决本题的关键。我们知道，在地球表面，万有引力分为了两个分力，其一是重力，其二是物体随地球自转的自转向心力。应有，仅仅在地球的赤道处，由于这三个力都指向地心，所以可以将该矢量式写成标量式。其中，利用自转向心力可以求解地球自转周期。

设地球自转周期为，赤道处有一质量为的物体正随地球自转，则应有 = + ，即 = + ，解得： = 。

【点评】：这道题目是一道典型的自转周期的求法的题目。通过这道题目的讲解，力求能让学生对两种不同的运动周期加以区分，在解题时能够选择正确合理的方法进行求解。

练习：质量为的物体在某星球“赤道”的重力比“两极”小10%，该星球的自转周期为，则当该行星的自转角速度为多少时，物体能在“赤道”上飘起来？

【解析】：在星球上，两极处的万有引力完全等于重力，赤道处的万有引力等于重力和自转向心力的代数和。已知自转周期，即可以表示出自转向心力，从而解出近地轨道上的万有引力，由该万有引力提供向心力，即可解出需要飘起来所对应的角速度了。

= + ，∴ = 10 ，又∵物体漂浮，即有 = ； = ，即10 = ，解得： = 。

【点评】：这道题目很充分地利用了自转周期的特点，注意到赤道和两极处的自转向心力的不同，从而引出了万有引力和自转向心力的联系，进而解出了自转角速度。

总之，解物理习题的关键是弄清定律、公式中关键物理量的含义，寻找正确的解题思路，即看懂题意，就是要明确找准适合的定律，并注意题目中所叙述的物理现象，挖掘“隐含条件”，弄清物理量适用范围，若条件较多，涉及量较多，就应“化整为零”，逐项分析每一过程所遵循的物理规律，然后一一列出方程。（不要急于代入数据）搞清相近物理量之间的区别与联系，恰当运用物理公式和数学方法就每一过程组成的方程联立求解，问题便迎刃而解。

参考文献

[1] 王成洋，王正标.万有引力教学中应分清的几个概念[J].中学物理教学参考，1999（Z1）.