基于非下采样Brushlet和马尔可夫随机场的图像分割

刘雪娜，侯宝明，崔红霞

(渤海大学信息科学与技术学院，辽宁 锦州 121013)

0 引言

纹理图像分割一直是图像分割领域中的一类难题，探索能有效检测方向信息和边缘一致性的纹理图像分割方法是图像处理工作者的共同目标。它的核心工作是特征提取和区域分割［1］。

基于马尔可夫随机场(Markov Random Field，MRF)模型［2］的分割方法是理论基础比较完善的统计学方法，它是一个很好的区域分割工具。在基于MRF的图像分割中，首先基于随机场模型提取特征参数，构造图像的特征场;然后在已知特征场的前提下通过最大标记场概率得到图像的分割结果。在计算标记场的概率时，通常假设标记场的概率具有马尔可夫性，即每个像素的标记仅会受到空间邻近像素标记的影响。这样，有效考虑了像素间的空间拓扑关系，保证分割区域的一致性。基于这样的优点，MRF模型在图像分割中得到了广泛应用［3-4］。

特征提取的有效性是解决纹理分割性能的关键。近十几年来，基于马尔可夫随机场模型图像分割的一个比较热门的方法就是将小波与马尔可夫随机场相结合［5-7］。对某些纹理信息，小波域上的分割比原始像素域分割的效果确实会好很多。可是，研究中也发现小波在分割近似的纹理时会出现严重的混淆。这主要是由于小波只有有限的方向性，只适合逼近一维点奇异特征的纹理，不能最优地非线性逼近线奇异和面奇异函数，因此很难刻画复杂纹理图像的方向信息。在特征提取时，要求所要提取的特征既要反应纹理图像的整体特征，又要反映图像的各向异性的特点，小波显然不适用。梳状波(Brushlet)是基于纹理方向信息提出的一种多尺度几何分析的新工具，它具有较强的角度分辨率和多层分解结构，在捕获方向纹理信息上有较好的特性［8］，用它来提取图像的纹理特征会收到更好的效果。由它发展而来的非下采样梳状波具有和梳状波一样的特征，同时可以简化运算，提高变换效率。先对原始图像进行非下采样梳状波变换，提取图像的纹理特征，再进行分割操作势必会大大提高分割效果。颜学颖在文献［9］中使用了非下采样梳状波变换提高图像分割性能，然而，她在图像分割时没有考虑到像素点的空间关联关系的影响，区域一致性不容易保证;同时Brushlet变换在亮度方面的处理不是很理想，这一点文献［9］中没有做相应研究。

为了克服上述缺点，本文将非下采样Brushlet变换和马尔可夫随机场相结合，探索出了能有效检测方向信息和区域一致性的纹理图像分割方法。实验验证了本方法的有效性。

1 非下采样Brushlet变换

非下采样 Brushlet变换［9-10］是在文献［8］提出梳状波(Brushlet)正交基的基础上发展而来的。为了得到较好的角度分辨率，François G.Meyer和 Ronald R.Coifman在文献［8］中用一个光滑的窗函数将信号分为相邻的区间，然后在每一个区间内进行局部傅里叶分析，从而构造了梳状波基，它在频域中为单一峰值，具有较好的局部化功能。梳状波是复值函数，其方向信息能极好地反映在二维梳状波变换中，且具有和小波包类似的多层分解结构，可以在Fourier平面使用越来越小的瓦片对其进行极佳的分解。如图1(a)所示，Brushlet一层变换将Fourier平面分成4个象限，Brushlet系数被分为4个子带，对应的方向分别为π/4+kπ/2，k=0，1，2，3。如图 1(b)所示，Brushlet二层变换是在一层变换的基础上又进一步把每个象限分解成4个部分，共分为12个方向，分别为π/12+kπ/6，k=0，1，…，11，得到16个系数子带，其中环绕中心的4个子带是低频分量，其余为高频分量。随着分解层数的增加，能够获得更加丰富而精细的方向信息，这样的结构使得梳状波在捕获方向纹理信息上十分有效。

图1 梳状波分解方向

每进行一层Brushlet变换后，子带的分辨率就减小为原来的1/4，这样子带会越来越小。为了确保对于每个中心点的特征选取有着足够的邻域范围，Meyer等人在Brushlet变换之前使用了光滑局部周期化技术，但这会影响图像的边界效果。为了消除这种负面影响，可以不使用滑动窗，而是通过插值方法对每个划分块在折叠之前进行补零处理，使得每个子带的大小都与原图像的大小相同，从而增加局部快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)频域的分辨率［7］。此时，原图像上的点与每个子带上的点在位置上有很好的对应关系，由此得到的梳状波就是非下采样梳状波。图2显示了非下采样梳状波变换的实现过程:先对图像进行FFT变换;根据分解的层数进行频域平面的划分，对划分后的子块进行插值补零操作，使其与原图像大小相同;然后对划分边缘处进行列折叠和行折叠操作;最后对划分后的每个子块单独做FFT变换，得到图像的一次非下采样梳状波分解。

非下采样梳状波有着和下采样梳状波一样的性质，即子带平面关于原点共轭对称且实部和虚部有着很大的相似性，所以本文只提取实部上半面部分的子带特征。

图2 非下采样梳状波变换实现框图

2 图像的观测场模型

2.1 高斯马尔可夫模型

其中，es=［，，…，］T为零均值的高斯噪声向量，多光谱影像中像素的空间相关性表示如下:

其中，μ=［μ(1)，μ(2)，…，μ(D)］T为区域R内所有像素的均值向量;ηs为位置s处的邻域距离s的偏移量的集合，此处采用位置s的二阶邻域;θji为GMRF模型中第j个波段与第i个波段的邻域交互系数;Σ是条件协方差矩阵，它是一个对称矩阵，用来描述波段间两两相互关系的数字特征［14］，数学表示如下:

其中，vij是e(i)与e(j)的数学期望。

2.2 参数估计

本文采用文献［15］中提出的最小二乘参数估计方法来估计GMRF模型中的参数。参数估计式为:

其中，qs=col［ys+r-ys-r］。

3 图像的标记场模型

设图像的标记场集合为x，且x={xs|s∈S}，S是图像的位置集合，类标记xs的值集为{1，2，…，K}，其中K是图像的分类数。对于图像的标记场模型，本文用MRF的二阶邻域系统来描述。根据Hammersley-Clifford定理，先验概率 P(x)服从 Gibbs分布［16］:

由此，MLL模型的局部概率为:

其中，ni(xi)是位置i的邻域中标记不等于xi的位置数。

4 本文分割算法

4.1 分割准则

基于MRF的图像分割，通常采用MAP准则［17］，即最大后验概率(Maximum A Posteriori Probability，MAP)分割准则，在已知特征场的前提下通过最大标记场概率得到图像的分割结果。基于贝叶斯理论的MAP准则是最常用的一种最优分割准则，该准则用公式表示为:

设E、Ef、El分别表示图像的总能量、特征场能量和标记场能量，且Ef=-∑logP(y|x)，El=-∑logP(x)。图像总能量E为:

则MAP准则可以用能量法等价表示成:

4.2 分割过程

本文图像分割过程如下:

Step1 设定图像分类数和迭代次数。

Step2 提取图像的纹理特征。对原始图像进行二层非下采样Brushlet变换，得到实部上面8个子带的特征矩阵。

Step3 将Step2中得到的系数矩阵作为观测场的现实，使用最小二乘参数估计方法来估计GMRF模型中的参数，参见公式(4)和(5)，并结合高斯马尔可夫模型(公式(1)～(3))计算出观测场各位置的能量Ef。

Step4 用公式(8)计算标记场各位置能量El。

Step5 使用公式(10)计算每个像素点的能量分量，用最小能量对应的分类标记作为新标记。

Step6 使用ICM算法，迭代求解分割结果。重复Step3、Step4和Step5，直到满足结束条件为止。

最后得到的各像素点的标记即为所求，由此得到分割结果。

5 实验结果及分析

在Matlab 7.0环境中，分别使用小波域马尔可夫随机场算法(WMRF算法)、Brushlet域马尔可夫随机场算法(BMRF算法)、本文提出的非下采样Brushlet域马尔可夫随机场算法(NBMRF算法)对多种合成纹理图像进行对比实验。图3～图5中给出了2类图像的分割实验截图，表1中给出了3种算法对2幅图片分割的质量评价，包括整体分类精度和Kappa系数。

图3 将图片1视为2类合成图像分割结果

图4 将图片1视为3类合成图像分割结果

对比图3和图4，当把图3(a)所示的图片1看成2类纹理时，使用WMRF算法分割得到的结果效果很好，但如果把图片1看成3类纹理，WMRF算法无法正确区分图4(a)中标准的纹理1和纹理2。这说明小波仅能识别图像中的点奇异性，而对含有线奇异性、曲线奇异性的纹理信息识别能力很差。

图5(a)所示的图片2中有4类纹理，用WMRF去分割它，出现了较为严重的混淆，用BMRF分割有了一定程度的改善，而用NBMRF算法分割效果有了明显的提高。

实验结果表明，对于纹理图像，本文方法在分割错误率、区域一致性以及边缘的准确性方面都比传统小波变换的方法有明显的改善，在一定程度上也说明了使用马尔可夫随机场分割图像时，选观测场为图像的非下采样Brushlet变换比Brushlet得到的分割效果好一些。

图5 对图片2分割结果

表1 实验对比

6 结束语

本文提出了一种结合非下采样Brushlet和MRF的纹理图像分割方法。非下采样Brushlet作为一种新的图像多尺度几何分析工具能有效表示图像的纹理特征，而MRF模型促进了图像的区域一致性及准确的边缘定位，两者的结合取得了很好的分割效果。实验结果也表明了本文算法的有效性。

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