聚焦导数应用的五大特点

樊宏标

纵观近几年高考，以导数为工具的试题，可谓亮点纷呈，尤其是利用导数解决函数的单调性、极值、闭区间上的最值以及参数的取值范围等问题，越来越受到命题者的青睐.本文归纳了导数应用的五大特点，与同学们分享.

一、研究函数的单调性——导数应用的基本点

例1. 已知可导函数f（x）（x∈R）满足f '（x）>f（x），则当a>0时，f（a）与eaf（0）之间的大小关系为（ ）

A. f（a）eaf（0）

C. f（a）=eaf（0） D. 不能确定，与或有关

解析：作函数F（x）=（x∈R），有F '（x）=>0因此F（x）是R上的单调增函数.

从而，对a>0，由F（a）>F（0），得>，得f（a）>eaf（0）.故选B.

评注：此题首先构造函数F（x），再利用导数来研究F（x）的单调性，从而根据单调性来比较函数值的大小.一般地，若f（x）在（a，b）上满足f '（x）>0，则f（x）在（a，b）上单调递增；若f（x）在（a，b）上满足f '（x）<0，则f（x）在（a，b）上单调递减.

例2. 直角坐标平面bOa上的点集S={（b，a）|f（x）=ax3+bx2-3x为R上的单调函数}，求a，b所满足的关系式.

解析：当a=0时，由f（x）在R上单调，知b=0.

当a≠0时，f（x）在R上单调圳f '（x）在R上不变号.

因为f '（x）=3ax2+2bx-3，所以，由驻=4b2+36a≤0，得a≤-b2.

综上可知，a，b所满足的关系式为a≤-b2.

评注：函数的单调性可由导数值的符号反映出来，若f（x）在（a，b）上单调，则f '（x）在（a，b）上恒有f '（x）≥0或f '（x）≤0.

二、求函数的解析式——导数应用的亮点

例3. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则实数对（a，b）为 .

解析：f '（x）=3x2+2ax+b，由函数在x=1处取得极值10，得f '（1）=0，f（1）=10，即3+2a+b=0，1+a+b+a2=10，解得a1=4，b1=-11，a2-3，b2=3.

把（a，b）=（4，-11）代入，有f（x）=x3+4x2-11x+16，f '（x）=3x2+8x-11=（x-1）（3x+11），可得f（x）在x=1时有最小值10.

把（a，b）=（-3，3）代入，有f（x）=x3-3x2+3x+9，f '（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0.

知f（x）在R上恒单调递增，故x=1不是f（x）的极值点.

综上，实数对（a，b）的值为（4，-11）.

评注：从此题可以看出，f '（x）=0的值只是极值点的必要条件，而非充分条件，也即导数为零的点不一定是极值点.

三、求极值与最值——导数应用的重点

例4. 设函数f（x）=x-k（x≥1，为给定的实数，0

解析：当x>1时，f（x）的导数是f '（x）=1-.

令f '（t）=0，当t>1时，解得t=.

于是，f（t）=f（）=，f（1）=1.

对f（x）的取值列表如下：

∴f（x）极小值=f（t）=<1，∴f（x）min=.

评注：求可导函数在给定区间上的最值，一般先求该区间上的极值，再与区间端点值比较即可.

例5.已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）.（2014年高考浙江理科数学试题）

解析：因为f（x）=x3+3x-3a，（x≥a）x3-3x+3a，（x≤a）所以f '（x）=3x2+3，（x>a）3x2-3.（x

由于-1≤x≤1，所以：

（1）当a≤-1时，有x≥a，故f（x）=x3+3x-3a，此时f（x）在（-1，1）上是增函数，因此，M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，故M（a）-m（a）=（4-3a）-（-4-3a）=8.

（2）当-1

若x∈（-1，a），f（x）=x3-3x+3a，在（-1，a）上是减函数，

所以M（a）=max{f（1），f（-1）}，m（a）=a3.

由于f（1）-f（-1）=-6a+2，因此，

当-1

当

（3）当a≥1时，有x≤a，故f（x）=x3-3x+3a，此时f（x）在（-1，1）上是减函数，

因此，M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

故M（a）-m（a）=（2+3a）-（-2+3a）=4.

综上，M（a）-m（a）=8，（a≤-1）-a3-3a+4，（-1

评注：此题主要考查了函数最值的概念，利用导数研究函数的单调性等知识，同时考查了同学们推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力.

四、与不等式的交汇——导数应用的焦点

例6. 已知关于x的不等式ax≥x≥logax在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.

解析：显然，使不等式成立的一个必要条件是a>1.

令f（x）=ax-x，则f '（x）=axlna-1≥0圳x≥-，

f '（x）≤0圳x≤-.

因此，x=-是f（x）的唯一极小值点，也是最小值点.

由x=-得lnax=ln圯ax=.

代入f（x）=ax-x得fmin（x）==.

故ax≥在（0，+∞）上恒成立圳f（x）≥0圳fmin（x）=≥0圳ln（lna）≥-1圳a≥e.

又因为x≥logax圳ax≥x，所以x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

从而，ax≥x≥logax x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

评注：由此可知，有关不等式恒成立问题，我们的解决策略通常是先构造函数，然后利用导数作为工具，转化为求函数的最值问题.

五、切线问题——导数应用的热点

例7. 三次函数y=x3+bx2+cx+d的图像如图1所示，直线BD∥AC，且直线BD与三次函数的图像切于点B、交于点D，直线AC与三次函数的图像切于点C、交于点A.点A、B、C、D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD.求证：（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

证明：设三次函数y=f（x）在点B（xB，f（xB））的展开式为y=（x-xB）3+b1（x-xB）2+c1（x-xB）+f（xB）……①

则f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，得f '（xB）=c1.

所以，切线BD的解析式为y=c1（x-xB）+f（xB）.……②

由式①②解得x=xB或x=xB-b1.因此，xD=xB-b1.

设三次函数y=f（x）在点C（xC，f（xC））的展开式为y=（x-xC）3+b2（x-xC）2+c2（x-xC）+f（xC）……③

则f '（x）=3（x-xC）2+2b2（x-xC）+c2，得f '（xC）=c2.

所以，切线AC的解析式为y=c2（x-xC）+f（xC）……④

由式③④解得x=xC或x=xC-b2因此，xA=xC-b2……⑤

因为AC∥BD，所以f '（xB）=f '（xC），

又因f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，

故f '（xC）=3（xC-xB）2+2b1（x-xB）+c1=f '（xB）=c1.

所以，3（xC-xB）2+2b1（x-xB）=0.注意到xC≠xB，则有3（xC-xB）+2b1=0.

所以xB-xC=b1，……⑥

因此，xC=xB-b1同理，xB=xC-b2，故b1=-b2……⑦

由⑤⑥⑦得xA-xB=xC-b2-xB=xB-b1+b1-xB=b1，即xA-xB=b1……⑧

已证xD=xB-b1，xC=xB-b1，所以，xC-xD=b1……⑨

由⑥⑧⑨，得（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

评注：本题以导数为切入点，涉及函数、方程等众多知识点.解决此题，要求同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力和一定的探索、推理能力，并将数形结合思想、函数与方程的思想、化归思想等数学思想方法有机地交融在一起，可谓是利用导数解决三次函数切线问题的典范.

笔者认为，品味高考经典题，同学们既要提炼解决问题的方法和策略，又要提升自己的智慧技能，培养自己良好的解题习惯和严谨科学的学习态度.尤其在高考复习的冲刺阶段，针对性地选择一些经典的高考真题，从中鉴赏新情景，推敲新热点，体会蕴含的命题思路，无疑比机械操练克隆题更有意义，有助于同学们跳出题海，把握数学思维的本质特征.

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区教师发展中心）

责任编校 徐国坚endprint

解析：显然，使不等式成立的一个必要条件是a>1.

令f（x）=ax-x，则f '（x）=axlna-1≥0圳x≥-，

f '（x）≤0圳x≤-.

因此，x=-是f（x）的唯一极小值点，也是最小值点.

由x=-得lnax=ln圯ax=.

代入f（x）=ax-x得fmin（x）==.

故ax≥在（0，+∞）上恒成立圳f（x）≥0圳fmin（x）=≥0圳ln（lna）≥-1圳a≥e.

又因为x≥logax圳ax≥x，所以x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

从而，ax≥x≥logax x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

评注：由此可知，有关不等式恒成立问题，我们的解决策略通常是先构造函数，然后利用导数作为工具，转化为求函数的最值问题.

五、切线问题——导数应用的热点

例7. 三次函数y=x3+bx2+cx+d的图像如图1所示，直线BD∥AC，且直线BD与三次函数的图像切于点B、交于点D，直线AC与三次函数的图像切于点C、交于点A.点A、B、C、D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD.求证：（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

证明：设三次函数y=f（x）在点B（xB，f（xB））的展开式为y=（x-xB）3+b1（x-xB）2+c1（x-xB）+f（xB）……①

则f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，得f '（xB）=c1.

所以，切线BD的解析式为y=c1（x-xB）+f（xB）.……②

由式①②解得x=xB或x=xB-b1.因此，xD=xB-b1.

设三次函数y=f（x）在点C（xC，f（xC））的展开式为y=（x-xC）3+b2（x-xC）2+c2（x-xC）+f（xC）……③

则f '（x）=3（x-xC）2+2b2（x-xC）+c2，得f '（xC）=c2.

所以，切线AC的解析式为y=c2（x-xC）+f（xC）……④

由式③④解得x=xC或x=xC-b2因此，xA=xC-b2……⑤

因为AC∥BD，所以f '（xB）=f '（xC），

又因f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，

故f '（xC）=3（xC-xB）2+2b1（x-xB）+c1=f '（xB）=c1.

所以，3（xC-xB）2+2b1（x-xB）=0.注意到xC≠xB，则有3（xC-xB）+2b1=0.

所以xB-xC=b1，……⑥

因此，xC=xB-b1同理，xB=xC-b2，故b1=-b2……⑦

由⑤⑥⑦得xA-xB=xC-b2-xB=xB-b1+b1-xB=b1，即xA-xB=b1……⑧

已证xD=xB-b1，xC=xB-b1，所以，xC-xD=b1……⑨

由⑥⑧⑨，得（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

评注：本题以导数为切入点，涉及函数、方程等众多知识点.解决此题，要求同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力和一定的探索、推理能力，并将数形结合思想、函数与方程的思想、化归思想等数学思想方法有机地交融在一起，可谓是利用导数解决三次函数切线问题的典范.

笔者认为，品味高考经典题，同学们既要提炼解决问题的方法和策略，又要提升自己的智慧技能，培养自己良好的解题习惯和严谨科学的学习态度.尤其在高考复习的冲刺阶段，针对性地选择一些经典的高考真题，从中鉴赏新情景，推敲新热点，体会蕴含的命题思路，无疑比机械操练克隆题更有意义，有助于同学们跳出题海，把握数学思维的本质特征.

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区教师发展中心）

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解析：显然，使不等式成立的一个必要条件是a>1.

令f（x）=ax-x，则f '（x）=axlna-1≥0圳x≥-，

f '（x）≤0圳x≤-.

因此，x=-是f（x）的唯一极小值点，也是最小值点.

由x=-得lnax=ln圯ax=.

代入f（x）=ax-x得fmin（x）==.

故ax≥在（0，+∞）上恒成立圳f（x）≥0圳fmin（x）=≥0圳ln（lna）≥-1圳a≥e.

又因为x≥logax圳ax≥x，所以x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

从而，ax≥x≥logax x≥logax在（0，+∞）上恒成立圳a≥e.

评注：由此可知，有关不等式恒成立问题，我们的解决策略通常是先构造函数，然后利用导数作为工具，转化为求函数的最值问题.

五、切线问题——导数应用的热点

例7. 三次函数y=x3+bx2+cx+d的图像如图1所示，直线BD∥AC，且直线BD与三次函数的图像切于点B、交于点D，直线AC与三次函数的图像切于点C、交于点A.点A、B、C、D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD.求证：（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

证明：设三次函数y=f（x）在点B（xB，f（xB））的展开式为y=（x-xB）3+b1（x-xB）2+c1（x-xB）+f（xB）……①

则f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，得f '（xB）=c1.

所以，切线BD的解析式为y=c1（x-xB）+f（xB）.……②

由式①②解得x=xB或x=xB-b1.因此，xD=xB-b1.

设三次函数y=f（x）在点C（xC，f（xC））的展开式为y=（x-xC）3+b2（x-xC）2+c2（x-xC）+f（xC）……③

则f '（x）=3（x-xC）2+2b2（x-xC）+c2，得f '（xC）=c2.

所以，切线AC的解析式为y=c2（x-xC）+f（xC）……④

由式③④解得x=xC或x=xC-b2因此，xA=xC-b2……⑤

因为AC∥BD，所以f '（xB）=f '（xC），

又因f '（x）=3（x-xB）2+2b1（x-xB）+c1，

故f '（xC）=3（xC-xB）2+2b1（x-xB）+c1=f '（xB）=c1.

所以，3（xC-xB）2+2b1（x-xB）=0.注意到xC≠xB，则有3（xC-xB）+2b1=0.

所以xB-xC=b1，……⑥

因此，xC=xB-b1同理，xB=xC-b2，故b1=-b2……⑦

由⑤⑥⑦得xA-xB=xC-b2-xB=xB-b1+b1-xB=b1，即xA-xB=b1……⑧

已证xD=xB-b1，xC=xB-b1，所以，xC-xD=b1……⑨

由⑥⑧⑨，得（xA-xB）∶（xB-xC）∶（xC-xD）=1∶2∶1.

评注：本题以导数为切入点，涉及函数、方程等众多知识点.解决此题，要求同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力和一定的探索、推理能力，并将数形结合思想、函数与方程的思想、化归思想等数学思想方法有机地交融在一起，可谓是利用导数解决三次函数切线问题的典范.

笔者认为，品味高考经典题，同学们既要提炼解决问题的方法和策略，又要提升自己的智慧技能，培养自己良好的解题习惯和严谨科学的学习态度.尤其在高考复习的冲刺阶段，针对性地选择一些经典的高考真题，从中鉴赏新情景，推敲新热点，体会蕴含的命题思路，无疑比机械操练克隆题更有意义，有助于同学们跳出题海，把握数学思维的本质特征.

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区教师发展中心）

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