太阳能小屋的设计

（重庆工商大学经济学院，重庆 400067）

（重庆工商大学经济学院，重庆 400067）

针对提高太阳能光伏能源系统的发电效率问题,参考2012年全国大学生数学建模比赛B题部分数据,利用面积约束对各表面光伏电池的组合铺设及逆变器的选取建立数学模型并进行简化分析处理,通过多元优化对影响目标函数的变量进行合理赋值得到最优解,从而实现光伏能源的高效利用。

光伏电池；逆变化率；优化系数；太阳能小屋

太阳能光伏电池是目前使用最为普遍的一种利用半导体光伏效应将太阳能直接转化为电能的光伏产品。太阳能小屋即是利用光伏电池发电实现家居环保与低碳的新型住宅。在设计太阳能小屋时，在设计太阳能小屋时，需综合考量不同条件下各因素对发电的影响。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式等。因此，在太阳能小屋的设计过程中，其首要问题是在小屋外表面实现光伏电池的优化铺设。

通过建立数学模型，对不同型号光伏电池及逆变器在贴附模式下的不同排列进行研究，并由建模定量计算出满足发电总量尽可能大而所耗费用尽可能小的最优方案。经由对光伏电池工作原理的探究，分析得出影响建模结果的因素，并为各因素在其限定条件下建立适当的数学模型，计算得到在贴附模式下的铺设最优解。进一步利用多目标规划法，综合考量各影响因素的权重，由此为大同市规划设计出满足其用电需求的太阳能光伏小屋。

1 发电效率最高的光伏电池组的选择

1.1 最高发电效率的光伏电池组件的选择

根据光伏电池工作原理可知，通常单块太阳能电池组件无法满足家居负载电压或功率的要求，为了用电的稳定，必须将其可靠地固定在太阳能电池板上（跟踪系统除外）。因此，在大多数情况下，不同型号的光伏电池在自身参数允许范围内进行合理的连接，从而构成太阳能电池方阵结构（若干个太阳电池组件在机械和电气上按一定方式组装在一起，并且有固定的支撑结构而构成的直流发电单元）。再通过选取适当规格的逆变器，将电池方阵产生的直流电转化为交流电。

实验中选用市面上应用较多的3种不同类型的光伏电池组件（A-单晶硅、B-多晶硅、C-非晶硅薄膜）进行评估。在不考虑其他因素的前提下，根据不同类型光伏电池的有关数据，比较不同类型光伏电池的单位贴附面积的发电功率和单位贴附面积的电池成本。初选出单位贴附面积的发电功率高且单位贴附面积的电池成本相对较低的3种类型的光伏电池以备铺设中择优选取，尽可能使全年光伏发电总量最大化。

单位面积发电效率ξ等于组件发电效率P于组件总面积S的比值，即：

将A、B、C三类光伏电池的发电效率的技术参数代入模型，由数据可知，A类中的A1，B类中的B2，C类中的C13种型号的光伏电池组件在其所在组别中具有最大的单位面积发电功率，在铺设时应优先考虑。现将此3种光伏电池的参数特性汇于表1中。

表1 光伏电池的参数特性

1.2 建筑物表面太阳辐射模型的建立

根据给定的小屋各外表面参数，结合当地日照时长及强度，通过建立模型，求解得到各方向总辐射强度。

2.2.1 垂直面模型

当光伏电池铺设面为东、南、西、北4个面的时，电池仅受来自法向的太阳光照射。以南面为例受光面为南面面积S，其他各面情况相同。

2.2.2 倾斜面模型

当光伏电池铺设在顶面时，不仅受到垂直面光照照射，也同时受到水平面光照照射，即所受光源来自两个方向，则总受光面积为S1+S2。则顶偏南面（TS面）与顶偏北面（TN面）受光照情况如图1、2所示。

图2 顶偏北面光照模型

朝南屋顶全年接收各方向总辐射强度：

其中：HT为水平面总辐射强度，HS为南向总辐射强度，HN为北向总辐射强度。

1.3 铺设电池方案的优化模型

根据计算所得出每个屋顶在一年中接受太阳辐射强度，分别以东、南、西、北、屋顶（偏南面和偏北面）全

以TS面为例：设∠BAO=α，∠BCO=β：年的总发电量为目标函数，由铺设面积小于铺设面总面积作为约束条件，以A1，B2，C13种初选的光伏电池铺设在每个表面的电池个数为决策变量，以各个面铺设后全年产生的直流电总量最大化为追求目标。对设计方案进行建模，故目标函数为：

式中，ηi表示电池组件转换效率；EA1，EB2，EC1分别表示A1，B2，C1型号电池每块能够利用的辐射量；SA1，SB2，SC1分别表示A1，B2，C1型号电池的面积；XA1，XB2，XC1分别表示A1，B2，C1型号电池的个数。

根据各表面实际尺寸，利用式（6）所示的整数规划，分别求解得到全年最大发电总量：

分别将函数中Se带入不同铺设面面积进行对各个面对应的整数规划求解，可以得到每个面初略的优选光伏电池的铺设方案。

1.4 计算结果分析与讨论

以山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度数据进行分析，因为光伏电池主要将太阳能转化为电能所以首先考虑光照因素。太阳光光照强度为太阳投射到单位面积上的辐射功率（辐射通量）称为辐射度或辐照度，单位是W/m2，在一段时间内（如每小时、日、月、年等）太阳投射到单位面积上的辐射能量称为辐射量或辐照量，单位是kW/m2·d。

在模型建立时，假设太阳能光伏电池组件的转换率不变，逆变器的逆变效率不变。

根据设计要求，使用Matlab进行编程，根据不同光伏电池有效光照强度要求，将有效数据加总求和，得到A类单晶硅光伏电池、B类多晶硅光伏电池和C类薄膜光伏电池全年总辐射强度。利用式（7），计算各表面全年总辐射强度H，其中l表示光伏电池全年接受有效光照的天数。

利用Lingo软件对光伏电池铺设方案进行优化求解。所得数据如表2：

表2 每个面铺设电阻方案

1.5 各立面有效的光伏电池铺设方案的二次优化

在进行太阳能小屋的设计时，一般要求每面铺设的光伏电池组件的类型尽可能少（不超过三类）。同时，由于光伏电池的几何形状一定，而各铺设面尺寸也固定且有些平面存在门窗等非有效铺设面积，故在上文所求得的铺设方案不一定适用于各外立面的实际几何尺寸。因此，需要对实际铺设进行验证，以得到适用于小屋实际的光伏电池铺设方式。

1.5.1 铺设原则

（1）实际铺设方案最大限度靠近所求的优化解；

（2）由于铺设面积限制而无法进行安装时，可使用其它较小面积的光伏电池替代C类电池进行铺设。

1.5.2 实际铺设方案

根据铺设原则，运用SmartDraw软件得出各表面铺设结果见图3-图7。

南面实际铺设：A1为8块，C7为56块；北面实际铺设：C1为12块，C6为73块；东面实际铺设：B2为9块，C6为37块；屋顶朝南实际铺设：B2为25块，C6为91块；屋顶朝北实际铺设：B2为5块，C6为34块。

图3 南面实际铺设

图4 北面实际铺设

图5 东面实际铺设

图6 屋顶朝南实际铺设

图7 屋顶朝北实际铺设

1.6 各立面已优选的每种光伏电池的组件阵列的确定和逆变器选取优化模型

由于光伏电池产生的直流电不能直接并入电网中使用，故要使用逆变器（可以把直流电能转变成交流电的一种变压器）将产生直流电能转变成交流电。根据可能选用逆变器的额定工作电压（V）范围和功率容量（W）等参数进行分组设计。光伏电池经过串、并联组成光伏组阵列接入逆变器的直流侧，通过对各个铺设面的二次优化，可以得到各平面实际的光伏电池架设方案。在确定最终优化方案后，进一步考虑逆变器的选配问题。由表3所给出的每个外立面各类光伏电池的最优铺设数，对每种光伏电池如何组件成阵列及如何选配其逆变器，建立相应的优化模型，这里简化问题起见，只考虑每个外立面的每种电池构成的组件阵列不超过两个，设第一组件阵列是由Y2个含Y1个电池的电池串并起来的阵列，设第二组件阵列是由Z2个含Z1个电池的电池串并起来的阵列。

1.6.1 逆变器选取原则

光伏电池与逆变器进行串并联连接时，电池组的总电压应小于逆变器的最大限制电压；电流应小于逆变器的额定电流；在同一表面采用两种及以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联；在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接；选用的逆变器转换率应尽可能高，所耗费的总成本应尽可能低。

1.6.2 建立模型

根据逆变器选取原则，运用Lingo软件对逆变器的选取进行编程求解，其优化模型如下：

其中，Xj表示第一组件阵列能否接入第j个逆变器，Xj为0时表示能接入，Xj为1时表示不能接入，j=1，2，…，18；Wk表示第二组件阵列能否接入第k个逆变器，Wk为0时表示能接入，Wk为1时表示不能接入，k= 1，2，...，18；dk、dj分别对应第k和第j个逆变器的转换效率；Pj，Pk分别为第j个、第k个逆变器的价格，Vj，Vk分别为第j个、第k个逆变器的直流输入额定电压，Ij，Ik分别为第j个、第k个逆变器的直流输入额定电流，Bj，Bk分别为第j个、第k个逆变器所能接受的电压最小值，Cj，Ck分别为第j个、第k个逆变器所能接受的电压最大值。

1.6.3 不同光伏电池铺设串并联方案

（1）南面铺设方案：选用A1型号8个，分别为：5个并联接SN3，3个并联接SN3；选用C7型号56个，先两两串联再将电池组并联28组，再串联SN1。以南面为例如图8所示：

图8 南面电池、逆变器连接方案

（2）北面铺设方案：选用C6为73个，73个并联接于SN1；选用C1为12个，12个并联接于SN7。

（3）西面铺设方案：选用B2为12个，10个并联接于SN3，2两个并联接于SN5；选用C7为24个，先两两串联12组再并联于SN1。

（4）东面铺设方案：选用B2为6个，3个并联接于SN3，6个并联接于SN4；选用C6为37个，37个并联接于SN1。

（5）顶偏北面铺设方案：选B2为5个，3个并联接于SN3，2个并联接于SN3；选C6为34个，34个并联接于SN1。

（6）顶偏南面铺设方案：选B2为25个，先三三串联再3组并联接SN7，16个并联接SN6；选C1为91个，91个并联接SN1。

综上所述，在不考虑因光照方向变化而产生的非直流电对发电量的影响以及不考虑连接电池或逆变器等元件费用的前提下，各平面的最优铺设方案如表3所示：

表3 各个面年发电量比较

1.7 贴附安装的经济效益

使用贴附安装方式时，需将各光伏电池产生的年发电量加总。根据元件性能参数，假定电池和逆变器35年内不会损坏，且在不考虑铺设时的耗材费用以及货币的时间价值等条件下得到了小屋的全年太阳能光伏发电总量等于18 926.23 kW·h，根据当前民用电价按0.5元/kW·h计算，小屋光伏电池的年经济效益为9 463.12元。

光伏电池的光电转换效率会受到温度、灰尘、太阳辐射不均匀等因素的影响，随着光伏电池的老化，其发电效率在0～10年效率按100%，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算。所以小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量为596 176.25 kW·h，小屋光伏电池35年寿命期内的总经济效益η为298 088元。铺设光伏电池所花费的总成本等于光伏电池的成本加上对应逆变器的成本，光伏电池的总成本等于各类电池价格之和87 124元；逆变器的总成本C1为107 100元；铺设光伏电池所耗费的总成本C2为194 224元。

表4 使用各个光伏电池的总价格

投资回收期即为总经济效益等于所耗费总成本需要的年限，即：

解得X=20.5，故小屋光伏电池35年寿命期内的投资回收年限为20.5年。

2 太阳能小屋的重新设计

2.1 太阳能小屋外表面的优化设计

根据设计标准，对太阳能小屋外形设计如图9，相关尺寸如式（12）要求：建筑屋顶最高点距地面高度≤5.4 m，室内使用空间最低净空高度距地面高度为≥2.8 m；建筑总投影面积（包括挑檐、挑雨棚的投影面积）为≤74 m2；建筑平面体型长边应≤15 m，最短边应≥3 m。建筑设计朝向可以根据需要设计，允许偏离正南朝向。

根据上述建筑要求建立出房屋尺寸模型：

图9 房屋外形设计

由式（13）模型，故可求解出小屋各方向全年总辐射强度，见表5。

表5 各方向全年总辐射强度

用lingo算法求解得到最优解为：χ1=4.933，χ2=0，χ3=15，χ4=5.4，α=β=0，即当小屋顶边与地面平行时，建筑小屋外表面面积的加权和最大。

2.2 开窗方位及面积的优化设计

由于在整年度中水平和南向总辐射强度较其它几个面更高，为使全年发电效率尽可能大，首要考虑在北墙、东墙及西墙开窗。设在北墙、东墙及西墙的开窗面积分别为S1、S2、S3，则小屋全年太阳能光伏发电总量目标函数为：

根据国家标准，建筑采光要求应满足窗地比（开窗面积与房间地板面积的比值，可不分朝向）≥0.2的要求，建筑节能要求应满足窗墙比（开窗面积与所在朝向墙面积的比值）南墙≤0.50、东西墙≤0.35、北墙≤0.30。由约束条件结合和设计标准，可知全年北向总辐射强度最低，为使建筑小屋全年太阳能光伏发电总量尽可能大，考虑在总辐射强度最低的北立面构造窗户，以满足建筑采光要求。

开窗面积S≥0.2×房间地板面积，S=14.7 m2；北墙的最大开窗面积≤0.3×北墙面积，S1=7.938 m2。其次，考虑对总辐射强度仅高于北墙的东墙构造窗户：东窗的开窗面积S2=6.762 m2，小于建筑节能要求应该满足的东窗窗墙比。故设计北墙的开窗面积为S1=7.938 m2，东窗的开窗面积S2=6.762 m2.

2.3 光伏电池铺设方案

根据求解得到的小屋尺寸，运用式（14）、（15）的优化建模结果，得到各个面电池板铺设方案如表6所示，同时绘制各面铺设图（图10）。

表6 光伏电池铺设方案

图10 各面铺设

2.4 结果分析与检验

对于最佳经济效益方案的取舍，应从总经济效益，单位面积经济效益，投资回收年限等方面进行评价。首先以单位面积发电量为评定标准选出使各项效益最大的光伏电池，再通过接受光照条件优化模型，得到最佳铺设方案，然后又以外形尺寸为约束条件，并以密铺算法进行二次优化，从而得出铺设光伏电阻的方案。进一步用层次分析法对逆变器的种类和型号做出优选，从而确定最终优化方案。

表7 发电经济效益比较

根据表7数据可知，经过一系列的建模求解，并在考虑了屋顶倾斜角度、开窗方位等具体问题的条件下，得到了较为理想的铺设方案，从而更好地满足了设计要求中所寻求的经济效益最大化这一目的。

2.5 结果合理性分析

由安装方式下的数据可知总发电量达到18 000多万kW时，其回收成本需要20年左右的时间，符合实际经验值。

在太阳能小屋建设问题中，除了用表中数据的期望值来求解，还随机选取了600个会员的数据作为一组随机变量验证模型的正确性，结果是令人满意的。

致谢：衷心感谢数统学院陈修素老师对文章的指导和修改。

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［2］刘振宇，冯华，杨仁刚.山西不同地区太阳辐射量及最佳倾角分析［J］.山西农业大学学报，2011，31（3）：272-276

［3］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型［M］.北京：高等教育出版社，2004

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［5］李继成.数学实验［M］.西安：西安交通大学出版社，2003

［6］全国大学生数学建模大赛［EB/OL］.http：//www.mcm.edu.cn/

太阳能小屋的设计

崔 静

Optimal Design Model of Solar House

CUI Jing

（School of Economics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

With the aim to improve the efficiency of electricity generating of photovoltaic energy systems，this paper referred to the statistics of problem B of 2012 National College Mathematical Modeling Contest，used area constraint method to build a model of solar panel installation and the selection of inverters，and simplified and analyzed the process.Finally，this paper obtained the optimal solution by assigning proper values to the variables according tomultivariate optimization，and achieved efficient utilization of photovoltaic energy.

photovoltaic cell；inverting efficiency；optimization coefficient；Solar House

田 静

O59

A

1672-058X(2014)02-0077-09

2013-08-06;

2013-09-10.

崔静（1991-），女，河南洛阳人，从事贸易经济研究.