数值级数法求解薛定谔方程

孙建英， 蹇玲玲， 高发玲

（青岛理工大学琴岛学院，山东 青岛 266106）

0 引 言

在工程领域和物理科学中，大量的现象可以用薛定谔偏微分方程来刻画，也产生一些求解薛定谔偏微分方程的数值解法［1－7］，文中将结合非标准有限差分格式的特点，给出一种计算此类方程的新方法——数值级数法，该方法简洁、有效、精度高。其特点是可以将每个网格点（xm，tn）处的数值解unm以级数的形式给出

文中考虑如下初边值一维薛定谔方程：

式中：T，L——非负常数；

φ（x），g0（t），g1（t）——连续函数。

1 差分格式的构造

对式（2）半离散得到差分方程

设

则有

则数值解记为

当m＝0，m＝M时，由边界条件得：

则取

当m＝0，1，2，…，M－1时，将式（5）代入式（4）得：

比较上式两端得到递推计算公式：

进一步整理得：

2 收敛性的证明

定理1 差分格式（13）无条件收敛。

3 稳定性的证明

定理2 差分格式（13）无条件稳定。

证明 对式（13）两端求和得：

令

所以

则写成矩阵方程为：

则易得：

其中：

所以差分格式无条件稳定的。

4 数值算例

这个问题的精确解为u（x，t）＝xeit。取时间步长为0.05，空间步长为0.1，进行数值计算，结果见表1。

从表1可以看出，文中给出的数值解法解决此类问题是一个有效的方法。

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