浅谈初中数学的整体思想

康承伟

【摘 要】整体思想是重要的数学思想，本文从多角度阐述整体思想在初中数学中的作用和地位，目的在于建议学生牢固地树立起整体意识。

【关键词】初中数学 数学思想 整体思想

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.05.072

整体思想就是考虑数学问题时着眼于问题的整体结构，善于把一些彼此独立而又相互紧密联系的量进行整体处理的思想方法，整体代入、整体换元等都是整体思想的表现形式，这种思想在初中数学中有广泛应用。

在有理数的相关概念中，只有符号不同的两个数称互为相反数，比如-3与3互为相反数，一般地a与-a互为相反数。a-b的相反数如何表示，这是初学者的一个难点，究其原因，刚刚步入初中生活的孩子们还没有完善的整体处理的意识。a-b的相反数应当把a-b当成整体并把它用括号括起来，然后根据定义在括号前添“-”即-（a-b）再去括号化简。换言之，a与-a互为相反数，其中a可以是单项式，可以是多项式，当a为多项式时，要用整体思想求它的相反数。倒数、绝对值亦如此，学习过程中除了基本知识的学习外，还要学习基本的思想方法。

在整式的运算中，同类项的合并法则：系数相加，字母及其指数不变。计算-3x2y+5x2y就应把x2y当成整体并保持不变，运算结果的系数为-3与5之和。整式的乘法教学中，先让学生掌握单项式与单项式的乘法、单项式与多项式的乘法，在此认知结构上再来推导多项式的乘法法则，这时需把其中一个多项式当成整体，具体地说，（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b，然后运用单项式与多项式的乘法法则完成展开。教材还给出了矩形面积予以说明，最后给出结论：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加。运用a0=1（a≠0）时，把底数当成整体，我们并不在乎底数的具体数值，而只关心它是否为0，如（2014-π）0中2014-π≠0，所以（2014-π）0=1。我们再看一个幂的运算问题：已知10m=2，10n=3，则103m+2n=_______。解这题时，初中学生无法分别求出m、n的值，需将要求值的代数式先用公式am·an=am+n和（am）n=amn变形为（10m）3·（10n）2然后整体代入。

学习提公因式法因式分解时，公因式指多项式里每一项都含有的因式，它可以是单项式，也可以是多项式。如因式分解（x-y）（3x+y）+（x-y）时，不宜用多项式的乘法法则去各个括号，而应把x-y作为整体提出来，特别强调两个相同的非零数相除商为1。公式法因式分解仍然要求学生灵活运用整体思想，如因式分解（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，解题中要考虑括号间的组合，组合展开后要求含x的二次项和一次项对应相等，以便整体换元，最后运用a2+2ab+b2=（a+b）2达到分解目的。

学习同分母分式加减法后，能力要求远远不会停留在分子分母只为单独的字母的简单问题上，如计算 ，两个分母互为相反数，可将分母都变为x-2，此时加法变为减法，需要注意的是分子整体相减时符号的正确处理，同时需化简运算结果。分式除法法则：将除式的分子分母颠倒位置，与被除式相乘，学生在计算（m+n）÷（ ）时容易错解为（m+n）·（m+n），这是学生把除式的倒数理解为除式里各部分的倒数了，实际上，这里的除式是一个整体，应先将除式计算成 后再颠倒分子分母。

解方程组的基本思想是消元，其中加减消元法就是把每一个方程当成整体进行整体的相加或相减。在问题“已知3a+2b=-2，2a+3b=2，则a-b=_______”中，我们只需将两方程相减便能求得a-b的值，这堪称整体思想的典型问题。解高次方程的基本思想是降次，比如解方程（x+1）2=4时，先运用平方根的定义求出整体x+1的值，这样二次方程化为了两个一次方程。另外，关于的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根满足x1+x2= ，x1x2= ，在计算有关两根的对称式时通常整体代入，问题：方程2x2-x-7=0的两根为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）=_______。解题时应先整理为x1x2-（x1+x2）+1，然后把x1x2= ，x1+x2= 整体代入，这样能避免解方程后分情况代值计算，节约时间又避免繁琐计算出错。

下面看看整体思想在函数中的运用，如图1，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和B都在双曲线y= 的图象上，则图中阴影部分的面积等于____。在初中阶段学生根本无法分别计算每块阴影的面积，但这不影响解题，根据双曲线关于原点对称的特征知道，两块阴影可以拼成一个半径为1的圆。再看一个函数问题，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc>0，②2a+b=0，③b2-4ac<0，④4a+2b+c>0，其中正确的是____。②的判断需结合对称轴得到关于a与b的关系，③的判断需要结合抛物线与轴交点个数，它考查二次函数与二次方程之间的关系，④的判断就需看x=2时的函数值。

研究图形也离不开整体思想。我们研究图形时，要求学生熟练掌握基本图形的性质，并能在解题时从复杂图形中顺利分解出常见图形。如在解决直角三角形为背景的问题时要迅速想起直角三角形的边角关系，如果直角三角形给出斜边上的高，则其中有多组等角、多组相似三角形以及由相似三角形推导得到的多个重要等积式。同学们胸中有“图”，就能迅速找到解题的突破口，这种整体着眼的研究方法能有效地将复杂陌生的问题转化为简单熟悉的问题。整体思想在图形研究的一种重要体现形式是整体代入，例如“已知△ABC中，AB=5，BC=6，AC的中垂线交边BC于D，则△ABD的周长是____。”周长是三边之和，但本题中AD和BD的长不可求，不过根据中垂线的性质知AD=CD，于是AD+BD=BC，从而可以运用整体代入求周长。

初中统计知识里，方差衡量一组数据的稳定性，它是整组数据共同作用的结果。平均数衡量一组数据的平均水平，我们看看整体思想在计算平均数的应用：一个学习小组有甲乙丙丁四名同学，在一次数学检测里，甲乙两名同学的平均成绩是92分，乙丙两名同学的平均成绩是95分，丙丁两名同学的平均成绩是91分，甲丁两名同学的平均成绩是83分，求这个小组的平均成绩。要求四数的平均数，按习惯先求出甲乙丙丁各位的成绩再求平均数，但这不是最理想的方法，实际上，整体求出甲乙丙丁的成绩之和再除以4，问题即得解决。

大量事实充分说明，整体思想渗透到了初中数学的各个领域，只有学生牢固树立整体意识才能在学习基本概念后举一反三，触类旁通，形成能力，才能将数学学习提高到一个新的水平！