一种新型球面并联分选机构运动学研究

赵晓龙+赫东锋+张君安+林琳

摘要： 提出一种新型3自由度并联机构来解决LED分选机的高速分选问题。首先研究了该机构自由度，该机构能提供3个方向上的纯转动；再结合自由度性质分析，建立了约束方程，进行运动学的正反解分析；使用Newton迭代的方法求得各位置点具体的运动参数，并分析了求解过程中的多解问题，及相关处理方法，最后给出相应的算例。通过实例分析数据可知：随着执行机构目标位置的变化，能实时求解出个各曲柄相对于基座的转角，且当2个曲柄转角增大时，第3个曲柄转角一定减小，符合实际的运动规律。

关键词： 并联机构； 并联机器人； 3自由度； 运动学分析

中图分类号： TN911⁃34； TH112文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2014）08⁃0005⁃04

Kinematics research of new spherical parallel sorting mechanism

ZHAO Xiao⁃long1， HE Dong⁃feng1， ZHANG Jun⁃an1， LIN Lin2

（1. College of Mechanical and Electrical Engineering， Xian Technological University， Xian 710000， China；

2. Shenzhen Hi⁃Text of semiconductor equipment co.， Ltd， Shenzhen 518000， China）

Abstract： A new 3⁃DOF （degrees of freedom） parallel mechanism is proposed in this paper to solve the sorting problem of LED high⁃speed sorter. DOF of the parallel mechanism is studied first in this paper. The parallel mechanism can provide pure rotation in three directions. In combination with DOF properties analysis， a constraint equation is established to analyze the kinematics pros and cons solutions. The Newton iteration method is used to solve the motion parameters at each location point， and analyze the problem of multiple solutions and the related treatment methods in the actual motion control. The corresponding numerical examples are offered. The example analysis data shows that， with the change of executive body target position， the each crank turning angle relative to the base can be calculated， and when the turning angles of two cranks increase， the turning angle of the third crank must decreases. It is in line with the actual motion law.

Keywords： parallel mechanism； parallel robot； three degrees of freedom； kinematic analysis

目前，常用的分选机构大多采用串联方式，串联机器人因其具有构型简单、工作空间大、操作性好、正向运动学易求解等优点在工业得到了广泛应用[1]，但针对LED分选机而言，高速，高稳定性，高刚度是工业应用的必然要求。串联机器人刚性差、存在误差积累、刚度和负载驱动能力差等系列不足[2]，进一步制约了串联机器人的工业应用，故提出一种并联机构（又称并联机器人）来解决LED分选机高速分选的问题。

并联机构的研究从提出，一直是一个研究热点，比较著名的有Stewart机构，Stewart机构是用作飞行器仿真器的六自由度的并联机构[3]。在国内，燕山大学黄真教授等于 1991 年研制出了我国第一台6自由度并联机器人[4]。3自由度并联机器人是少自由度并联机器人研究的主要对象，在现有的3自由度并联机器人中，有著名的DELTA和STAR并联机器人，3⁃RPS并联机器人等。

本文提出的3⁃RSS⁃1⁃S并联机构结构简单对称，刚度大，且分支中不含移动副，便于使用维护。该并联机构具备提供纯转动、运动学较简单、可直观预测动平台运动等特点，本文在分析其自由度性质的基础上，建立并求解其位姿矩阵方程，设计出了约束其三条运动支链曲柄相对基座转角的运动学逆解模型；同时给出了针对该机构的运动学正解方程，为推动此类机构的应用起到了重要作用。

1机构描述

如图1所示。该并联机构可称为3⁃RSS⁃1⁃S并联机构（S代表球铰，R代表转动副），它由3个对称分布的支链和通过机构中心的摆杆构成。A1，A2，A3构成此机构的静平台，并且绕O点均匀分布，各点和O点连线，相互夹角为120°；B1，B2，B3构成动平台，其分布情况和静平台相同；（A1，C1，B1），（A2，C2，B2），（A3，C3，B3）三组支链分别与动平台和静平台相连，三组支链长度，材料完全相同；机构中间摆杆和动平台固连。图1中，A1，A2，A3点用转动副连接，其他O，B1，B2，B3，C1，C2，C3各点用球铰链连接。

图1 并联机构简图

图2 并联机构三维模型

2自由度分析

3⁃RSS⁃1⁃S并联机构的自由度可以通过空间机构的自由度计算公式求解[5]。在三维空间中，如果有n个完全不受约束的构件，任选其中一个作为参照物，每个物体都有6个自由度，则n个物体相对参照物共有6（n-1）个运动自由度；若将以上构件用运动副连接起来，则他们每个构件就有不同的约束数。所有的运动自由度减去所有的约束数，就能得到所求空间机构的自由度。[F0=6(n-1)-i=1nui-M] （1）

式中：n为构件的个数；[ui]为各运动副的约束数目； [F0]为总的自由度数；M为冗余自由度。由图1得：该机构有3个转动副，有7个球铰，由于[BiCi]（i=1，2，3）两端都是球铰，[BiCi]杆各有一个绕自身转动的冗余自由度，[n=8]，[F0=6×(8-1)-(3×5+7×3)-3=3]。

综上所述，该机构具有3个空间自由度，分别是绕x轴转动，绕y轴转动，绕z轴转动。

3 运动学正反解分析

首先建立静坐标系xyz和动坐标系x′y′z′，由于动平台绕静平台在几何中心O点转动，为计算方便，将动坐标系建立在静平台上，与静坐标系重合，如图3所示。过静平台几何中心O点和A3点的方向设为x轴的正方向，过静平台几何中心O点指向动平台几何中心O′点的方向设为z轴的正方向，根据右手法则确定y轴的正方向。

图3 3⁃RSS⁃1⁃S并联机构空间坐标系

3.1运动学反解

设静平台O点到[Ai]点的距离为R，动平台O′点到[Bi]点的距离为r，动平台中心到静平台中心的距离OO′为h，[BiCi]杆的长度为Lbc，[AiCi]杆的长度为Lac。分别可以得到[Ai]点相对静坐标系的位置坐标，[Bi]点相对于动坐标系的位置坐标。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]杆在确定平面内转动，设初始位置[AiCi]杆和静平台夹角为[θi]，可得到[Ci]点相对于静坐标系的位置坐标。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通过齐次变换矩阵来描述[Bi]相对静坐标系的空间位置[6]。然后依次变换可最终推导出末端执行器相对于基坐标系的位姿，从而建立机器人的运动学方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]为动坐标系相对固定坐标系x轴旋转[α]角的旋转矩阵；[R(y,β)]为动坐标系相对固定坐标系y轴旋转[β]角的旋转矩阵；[R(z,γ)]为动坐标系相对固定坐标系z轴旋转[γ]角的旋转矩阵。则动平台在空间中的姿态[Rot]表示为：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

对于并联机构动平台来说，每一个位置对应一组确定的[α,β,γ]，故用齐次变换矩阵的方法能表示动平台的运动姿态。由此得到动平台上各点相对静坐标系的位置坐标：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]为初始杆长，不发生变化，且[AiCi]杆和静平台的夹角[θi]，则

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

结合式（8）建立方程并化简为：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

对于已知定平台姿态[(α,β,γ)]，则式（9）可求出3个驱动支链各曲柄相对基座旋转的角度。

3.2运动学正解

并联机构的运动学正解一般较其反解要困难得多，特别是当运动链增加时，并联机构的运动学正解很难得到封闭解，这往往会给并联机构的进一步研究带来困难。

由于知道3个驱动支链各曲柄相对基座旋转的角度，可得动平台[Ci]点的坐标，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]为正解所要求的未知变量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置点的坐标如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

将式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三个方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9个未知数，再补充6个约束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最终求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法与实例计算

针对式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一个周期内，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出现2次相同值，所以方程就可能出现2个相同的解，或者2个不同的解，则反解能得到2组不同的解。

对于机构而言，一个解就是一个运动状态，考虑到实际控制中输入惟一性，需对方程的根进行选择。常用的方法就是限制机构的运行范围，设置机械限位，在两个限位之间的空间内运动，能满足实际需要的运动状态。在方程的求解中，常用的方法主要有数值法和解析法[7]，在数值法求解中，选择合适的求解方法，对于方程的收敛速度有很大的影响。

本文选择用Newton迭代法计算求解，计算该并联机构运行空间中其中一个位置流程图，如图4所示。

结合表1所给系数，应用Newton迭代法算法求解，当绕z轴不发生转动[(γ=0)]时，给定一组确定的角度[α]、[β]时，所求的各曲柄的转角（即电机的转角）见表2。

表1 RSS⁃1⁃S并联机构实例参数mm

图4 Newton迭代法算法流程图

表2 三电机与基座平台的夹角 （°）

5结语

本文针对3⁃RSS⁃1⁃S这一新构型，分析其自由度，该机构能实现直角坐标内绕三个轴的转动，并建立其运动学逆解数学模型。应用齐次变换矩阵的方法来描述空间坐标下点的位置，研究该机构的正反解方法，这种算法所建立方程的复杂度低，计算效率高。同时针对一个给定几何参数的3⁃RSS⁃1⁃S并联机构，进行逆解的求解运算分析。通过实例计算表明：本文所建立算法方程能快速、准确的计算出各曲柄相对基座的转角；由实例分析所得数据可看出，随着执行机构目标位置的变化，能实时求解出个各曲柄相对基座转角，且当2个曲柄转角增大时，第3个曲柄转角一定减小，符合实际的运动规律。

参考文献

[1] 黄真，孔令富，方跃法.并联机器人机构学理论及控制[M].北京：机械工业出版社，1997.

[2] 张宏涛.3⁃3UPSIS并联机器人运动学分析与仿真[D].无锡：江南大学，2008.

[3] 李琨杰.3⁃PRS并联结构主轴运动学研究与仿真[D].太原：太原理工大学，2007.

[4] 周国义，谢明红，孙友生，等.6自由度解耦机器人运动学逆解优化的研究[J].机电产品开发与创新，2009，22（5）：21⁃23.

[5] 李禽，黄茂林，黄勇刚.基于Matlab的并联机床逆解可视化仿真[J].机械设计与研究，2006（z1）：202⁃204.

[6] 张帆.并联机构特性分析与综合研究[D].上海：东华大学，2008.

[7] 陈文家，陈书宏.一种四自由度并联机构及其运动学建模[J].机械设计，2001（11）：6⁃8.

[8] 王维新.两轮差速机器人运动学分析和控制研究[J].现代电子技术，2012，35（10）：93⁃96.

综上所述，该机构具有3个空间自由度，分别是绕x轴转动，绕y轴转动，绕z轴转动。

3 运动学正反解分析

首先建立静坐标系xyz和动坐标系x′y′z′，由于动平台绕静平台在几何中心O点转动，为计算方便，将动坐标系建立在静平台上，与静坐标系重合，如图3所示。过静平台几何中心O点和A3点的方向设为x轴的正方向，过静平台几何中心O点指向动平台几何中心O′点的方向设为z轴的正方向，根据右手法则确定y轴的正方向。

图3 3⁃RSS⁃1⁃S并联机构空间坐标系

3.1运动学反解

设静平台O点到[Ai]点的距离为R，动平台O′点到[Bi]点的距离为r，动平台中心到静平台中心的距离OO′为h，[BiCi]杆的长度为Lbc，[AiCi]杆的长度为Lac。分别可以得到[Ai]点相对静坐标系的位置坐标，[Bi]点相对于动坐标系的位置坐标。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]杆在确定平面内转动，设初始位置[AiCi]杆和静平台夹角为[θi]，可得到[Ci]点相对于静坐标系的位置坐标。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通过齐次变换矩阵来描述[Bi]相对静坐标系的空间位置[6]。然后依次变换可最终推导出末端执行器相对于基坐标系的位姿，从而建立机器人的运动学方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]为动坐标系相对固定坐标系x轴旋转[α]角的旋转矩阵；[R(y,β)]为动坐标系相对固定坐标系y轴旋转[β]角的旋转矩阵；[R(z,γ)]为动坐标系相对固定坐标系z轴旋转[γ]角的旋转矩阵。则动平台在空间中的姿态[Rot]表示为：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

对于并联机构动平台来说，每一个位置对应一组确定的[α,β,γ]，故用齐次变换矩阵的方法能表示动平台的运动姿态。由此得到动平台上各点相对静坐标系的位置坐标：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]为初始杆长，不发生变化，且[AiCi]杆和静平台的夹角[θi]，则

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

结合式（8）建立方程并化简为：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

对于已知定平台姿态[(α,β,γ)]，则式（9）可求出3个驱动支链各曲柄相对基座旋转的角度。

3.2运动学正解

并联机构的运动学正解一般较其反解要困难得多，特别是当运动链增加时，并联机构的运动学正解很难得到封闭解，这往往会给并联机构的进一步研究带来困难。

由于知道3个驱动支链各曲柄相对基座旋转的角度，可得动平台[Ci]点的坐标，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]为正解所要求的未知变量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置点的坐标如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

将式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三个方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9个未知数，再补充6个约束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最终求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法与实例计算

针对式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一个周期内，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出现2次相同值，所以方程就可能出现2个相同的解，或者2个不同的解，则反解能得到2组不同的解。

对于机构而言，一个解就是一个运动状态，考虑到实际控制中输入惟一性，需对方程的根进行选择。常用的方法就是限制机构的运行范围，设置机械限位，在两个限位之间的空间内运动，能满足实际需要的运动状态。在方程的求解中，常用的方法主要有数值法和解析法[7]，在数值法求解中，选择合适的求解方法，对于方程的收敛速度有很大的影响。

本文选择用Newton迭代法计算求解，计算该并联机构运行空间中其中一个位置流程图，如图4所示。

结合表1所给系数，应用Newton迭代法算法求解，当绕z轴不发生转动[(γ=0)]时，给定一组确定的角度[α]、[β]时，所求的各曲柄的转角（即电机的转角）见表2。

表1 RSS⁃1⁃S并联机构实例参数mm

图4 Newton迭代法算法流程图

表2 三电机与基座平台的夹角 （°）

5结语

本文针对3⁃RSS⁃1⁃S这一新构型，分析其自由度，该机构能实现直角坐标内绕三个轴的转动，并建立其运动学逆解数学模型。应用齐次变换矩阵的方法来描述空间坐标下点的位置，研究该机构的正反解方法，这种算法所建立方程的复杂度低，计算效率高。同时针对一个给定几何参数的3⁃RSS⁃1⁃S并联机构，进行逆解的求解运算分析。通过实例计算表明：本文所建立算法方程能快速、准确的计算出各曲柄相对基座的转角；由实例分析所得数据可看出，随着执行机构目标位置的变化，能实时求解出个各曲柄相对基座转角，且当2个曲柄转角增大时，第3个曲柄转角一定减小，符合实际的运动规律。

参考文献

[1] 黄真，孔令富，方跃法.并联机器人机构学理论及控制[M].北京：机械工业出版社，1997.

[2] 张宏涛.3⁃3UPSIS并联机器人运动学分析与仿真[D].无锡：江南大学，2008.

[3] 李琨杰.3⁃PRS并联结构主轴运动学研究与仿真[D].太原：太原理工大学，2007.

[4] 周国义，谢明红，孙友生，等.6自由度解耦机器人运动学逆解优化的研究[J].机电产品开发与创新，2009，22（5）：21⁃23.

[5] 李禽，黄茂林，黄勇刚.基于Matlab的并联机床逆解可视化仿真[J].机械设计与研究，2006（z1）：202⁃204.

[6] 张帆.并联机构特性分析与综合研究[D].上海：东华大学，2008.

[7] 陈文家，陈书宏.一种四自由度并联机构及其运动学建模[J].机械设计，2001（11）：6⁃8.

[8] 王维新.两轮差速机器人运动学分析和控制研究[J].现代电子技术，2012，35（10）：93⁃96.

综上所述，该机构具有3个空间自由度，分别是绕x轴转动，绕y轴转动，绕z轴转动。

3 运动学正反解分析

首先建立静坐标系xyz和动坐标系x′y′z′，由于动平台绕静平台在几何中心O点转动，为计算方便，将动坐标系建立在静平台上，与静坐标系重合，如图3所示。过静平台几何中心O点和A3点的方向设为x轴的正方向，过静平台几何中心O点指向动平台几何中心O′点的方向设为z轴的正方向，根据右手法则确定y轴的正方向。

图3 3⁃RSS⁃1⁃S并联机构空间坐标系

3.1运动学反解

设静平台O点到[Ai]点的距离为R，动平台O′点到[Bi]点的距离为r，动平台中心到静平台中心的距离OO′为h，[BiCi]杆的长度为Lbc，[AiCi]杆的长度为Lac。分别可以得到[Ai]点相对静坐标系的位置坐标，[Bi]点相对于动坐标系的位置坐标。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]杆在确定平面内转动，设初始位置[AiCi]杆和静平台夹角为[θi]，可得到[Ci]点相对于静坐标系的位置坐标。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通过齐次变换矩阵来描述[Bi]相对静坐标系的空间位置[6]。然后依次变换可最终推导出末端执行器相对于基坐标系的位姿，从而建立机器人的运动学方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]为动坐标系相对固定坐标系x轴旋转[α]角的旋转矩阵；[R(y,β)]为动坐标系相对固定坐标系y轴旋转[β]角的旋转矩阵；[R(z,γ)]为动坐标系相对固定坐标系z轴旋转[γ]角的旋转矩阵。则动平台在空间中的姿态[Rot]表示为：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

对于并联机构动平台来说，每一个位置对应一组确定的[α,β,γ]，故用齐次变换矩阵的方法能表示动平台的运动姿态。由此得到动平台上各点相对静坐标系的位置坐标：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]为初始杆长，不发生变化，且[AiCi]杆和静平台的夹角[θi]，则

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

结合式（8）建立方程并化简为：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

对于已知定平台姿态[(α,β,γ)]，则式（9）可求出3个驱动支链各曲柄相对基座旋转的角度。

3.2运动学正解

并联机构的运动学正解一般较其反解要困难得多，特别是当运动链增加时，并联机构的运动学正解很难得到封闭解，这往往会给并联机构的进一步研究带来困难。

由于知道3个驱动支链各曲柄相对基座旋转的角度，可得动平台[Ci]点的坐标，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]为正解所要求的未知变量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置点的坐标如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

将式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三个方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9个未知数，再补充6个约束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最终求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法与实例计算

针对式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一个周期内，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出现2次相同值，所以方程就可能出现2个相同的解，或者2个不同的解，则反解能得到2组不同的解。

对于机构而言，一个解就是一个运动状态，考虑到实际控制中输入惟一性，需对方程的根进行选择。常用的方法就是限制机构的运行范围，设置机械限位，在两个限位之间的空间内运动，能满足实际需要的运动状态。在方程的求解中，常用的方法主要有数值法和解析法[7]，在数值法求解中，选择合适的求解方法，对于方程的收敛速度有很大的影响。

本文选择用Newton迭代法计算求解，计算该并联机构运行空间中其中一个位置流程图，如图4所示。

结合表1所给系数，应用Newton迭代法算法求解，当绕z轴不发生转动[(γ=0)]时，给定一组确定的角度[α]、[β]时，所求的各曲柄的转角（即电机的转角）见表2。

表1 RSS⁃1⁃S并联机构实例参数mm

图4 Newton迭代法算法流程图

表2 三电机与基座平台的夹角 （°）

5结语

本文针对3⁃RSS⁃1⁃S这一新构型，分析其自由度，该机构能实现直角坐标内绕三个轴的转动，并建立其运动学逆解数学模型。应用齐次变换矩阵的方法来描述空间坐标下点的位置，研究该机构的正反解方法，这种算法所建立方程的复杂度低，计算效率高。同时针对一个给定几何参数的3⁃RSS⁃1⁃S并联机构，进行逆解的求解运算分析。通过实例计算表明：本文所建立算法方程能快速、准确的计算出各曲柄相对基座的转角；由实例分析所得数据可看出，随着执行机构目标位置的变化，能实时求解出个各曲柄相对基座转角，且当2个曲柄转角增大时，第3个曲柄转角一定减小，符合实际的运动规律。

参考文献

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