采样率及数值积分算法对数字化电能计量误差影响分析*

穆小星 张 健 段梅梅

（1.江苏省电力公司电力科学研究院，南京 211103；2.国家电网公司电能计量重点实验室，南京 211103）

0 引言

数字化变电站电能计量系统有一次电子式互感器、合并单元及后端数字化电能表组成。数字化电能表相当于传统模拟电能表把前端模拟信号处理及A/D转换器部分植人电子互感器或合并单元中，而仅留下数字处理部分。其计量电能的原理就是不断读取合并单元输出电压、电流采样值报文，然后解析出相应电压、电流采样值，再通过相应功率算法计算电能，同时输出相应电能脉冲。电子式互感器或合并单元的采样率及数字化电能表自身采用的数值积分算法是变电站电能计量系统中数字系统计量误差主要来源。数字化电能表计算有功功率时可看作是对信号周期内的电压、电流采样点乘积积分后的平均值，电能则可以看作是对功率的累积和。本文对功率三种典型数值积分算法及不同采样率条件下误差进行分析，并通过验证系统进行实验对比，以了解数字化电能计量误差来源。

1 数值积分算法分析

1.1 功率计算数学模型

本文在分析过程中电压、电流模型采用式（1）所示的一次暂态信号模型[1]：

式中，IPsc为一次电流对称分量方均根值（暂态的一次短路电流）；UPsc为对应于IPsc的一次电压方均根值；f为基波频率；τ 为一次时间常数；φ为一次相移；t为时间瞬时值；uPres（t）/iPres（t）为一次剩余电压/电流，包含直流谐波及次谐波。

为简化分析，取uPres（t）＝iPres（t）＝0，由式（1）得到：

式（2）离散化后得到[2]：

τ＝，离散化后为τ＝。

测量对象的瞬时功率为：p（t）＝uP（t）×iP（t），有功功率，即平均功率为：

1.2 点积和积分算法分析

根据式（4）点积和计算有功功率数学模型为：

式中，p（tk）＝u（tk）×i（tk），P为p（t）在区间[0，T]（信号周期整数倍）上的积分平均值，即有功功率。

点积和算法的计算误差分析可借用复化梯形公式的算法误差分析，其误差数学表达式为[3]：

式中，p″（η）为p（t）在[0，T]的2 阶导数值；T为点积和算法采用的时间周期；N为积分区间采样点数。由于实际电网波形的复杂性，对功率函数求导并不容易，在此采用“事后估计误差法”[3]进行计算误差分析。设定式（6）中N为偶数，采用“事后估计误差法”估算点积和算法的相对误差，则可用下式表达其误差：

式中，Pn、P2n分别为将区间[0，T]进行n 和2n 等分时利用点积和计算得到的功率的积分值。

1.3 复化SimPson 积分算法分析

复化SimPson 求积算法是高阶的数值积分算法，由复化SimPson 求积公式[3，5]可得：

式中：tk+1/2＝＝u（tk）×i（tk），tk∈[a，b]；Pn为p（t）在区间[a，b]上的复化SimPson 算法积分值。当[a，b]取[0，T]（信号周期整数倍）时，则有功功率。

复化SimPson 积分算法的计算误差可表示为[3]：

式中，T为复化SimPson 积分算法采用的积分周期；p（4）（η）为p（t）在[0，T]的4 阶导数值。

采用“事后估计误差法”评估误差，则复化SimPson 积分算法引起的计算误差大小约为：

式中：Pn、P2n分别为将区间[0，T]进行n 和2n 等分时，利用复化SimPson 积分公式得到的积分结果。

1.4 复化Cotes积分算法分析

复化Cotes求积算法也属于高阶的数值积分算法，同理，若将功率函数p（t）在区间[a，b]上进行积分，把[a，b]分为n 等分，取间隔点tk＝a +kh（k＝0，1，…，n），h＝。在每个小区间[tk，tk+1]上通过复化Cotes求积公式[3～9]可得：

式中：tk+1/4＝tk+、tk+1/2＝tk+、tk+3/4＝tk+h；p（tk）＝u（tk）×i（tk），tk∈[a，b]；Pn为p（t）在区间[a，b]上的复化Cotes算法积分值。当[a，b]取[0，T]（信号周期整数倍）时，则有功功率P≈。

复化Cotes积分算法的计算误差可用式（12）表达[3]：

式中，T为复化Cotes积分算法采用的积分周期；p（6）（η）为p（t）在[0，T]的6 阶导数值。

采用“事后估计误差法”评估误差，则复化Cotes积分算法引起的计算误差约为：

式中，Pn、P2n分别为将区间[0，T]进行n 和2n 等分时，用复化Cotes积分公式计算的值。

2 不同算法及不同采样率对数字化电能误差影响分析

通过MATLAB计算软件编制相应计算模块、对暂态波形条件下采用上述三种算法的“电能表”误差进行仿真，取IPse＝1000A，UPse＝220 ×103V，分别设置4kHz、9.6kHz、10kHz、12.8kHz四种典型采样率进行仿真并采用“事后估计误差法”进行误差分析，三种算法仿真参数分别设置如下：

1）点积和算法：取n＝（4000，9600，10000，12800）、φ＝π/2；

2）复化SimPson 算法：取n＝（2000，4800，5000，6400）、T＝1s、h＝T/n，a＝0、b＝1，φ＝π/2；

3）复化Cotes算法：取n＝（1000，2400，2500，3200）、T＝1s、h＝T/n、a＝0、b＝1，φ＝π/2。

通过仿真计算模块得到三种算法的理论计算误差，见表1 和图1。

表1 不同采样频率下算法仿真误差

图1 不同采样率下数值积分算法的误差

图2 数字化电能表误差测试原理框图

从表1 及图1 示可以看出，在相同的采样频率下，采用点积和算法误差最大，采用Cotes积分算法时误差最小；在同一算法条件下，4kHz采样频率对应的计算误差最大，12.8kHz的采样频率对应的计算误差最小。

为证明理论误差分析的正确性，同时设计对应的实验对各数值积分算法的误差进行验证，实验系统见图2。本验证系统中的IEC61850 协议转换模块利用实时性高的FPGA处理器作为主控芯片，将PC机下载的单个周期的离散电压、电流值根据IEC618509-2 协议格式打包，并按照严格的时序向被测“数字化电能表”进行数据包的循环发送，同时设计了误差计算模块，误差计算通过电能脉冲法。为了减小脉冲影响，本文设计的脉冲采集模块采用FPGA作为主控芯片，其程序具有并行运行的优势，可以减小因程序执行延时造成的误差，从而保证数字化电能表误差测试结果的可靠性。

通过上述验证系统，在PC上位机，仿真模块对一个周波的暂态电压、电流进行数值采样、离散，并通过串口发往IEC61850 协议发包仿真装置，按照不同的采样率，每秒发送与采样率相同的数据包数，即对于50Hz的基频电压、基频电流波形按采样率为4kHz、9.6kHz、10kHz、12.8kHz时，每秒分别发送4k、9.6k、10k、12.8k 数量数据包给“点积和”、“复化SimPson 算法”、“复化Cotes算法”三个“数字化电能表”，计算的电能分别为E1、E2、E3，与通过原始波形直接变换、计算出的电能量E进行比较，计算各自相对误差：

用上述公式计算得到的其误差结果见表2。

表2 不同采样频率下算法的实验误差

比较表1、表2 可以看到数值积分算法理论误差和实验误差结果一致。

3 结语

采用不同采样率及数值积分算法对数字化电能计量将产生不同的误差。从前面的分析中可以得到：

1）在同一采样频率条件下，电能计算采用复化SimPson、复化Cotes算法要比采用简单的点积和算法误差小。复化SimPson 算法的计算误差约为点积和算法误差的65.5%～66.7%左右，复化Cotes算法的计算误差约为点积和算法误差的61.15%～61.88%左右。而复化SimPson 算法的计算误差约为复化Cotes算法误差的93.33%左右。可以得出采用高阶的数值积分算法能有效的降低数字化电能表计算误差。

2）当采样率从4kHz提高到12.8kHz时，误差降低效果明显，尤其对简单的点积和算法。对每种算法，12.8kHz采样率对应的计算误差约为4kHz采样率时的30.881%。但考虑到数字化电能表硬件条件和经济条件的限制，如果采用高采样率、高阶积分算法可能会降低数字化电能表的稳定性和可靠性，故可采用高采样率、一阶代数精度的点积和算法或采用正常采样率、高阶数值积分算法来确定电能表计量方案。