数学归纳法在物理问题中的应用

李金凤　李兴

归纳法是一种研究问题的基本方法，它是从认识个别的、特殊的事物推出一般原理和普遍事物.特别是数学归纳法对人的思辨性思维要求较高，要根据已有的前提条件，进行归纳和逻辑推导，进而得到最终的结论.在高中物理的许多问题中，数学归纳法都有着极为重要的作用.现举几例加以说明.

例1如图1所示电路，AB右侧有无穷多个电阻，每个电阻的阻值皆为R，将AB两端接入电路，试计算AB之间的总电阻.

解析设AB之间的总电阻为Rx，通过对电路结构的分析、归纳可得：若将靠近AB端的两个、四个、六个…….偶数个电阻去掉之后剩下的那部分电路，与原来的电路结构完全相同，所以它们的阻值也应该是完全相同的.现在以去掉左侧两个电阻之后的电路为例，该电路电阻也为Rx，故AB之间的等效电路如图2所示.根据电阻的串并联规律可得

（Rx+R）R1（Rx+R）+R=Rx，

解之得Rx=5+112R.

解决本题的主导思想就是在于利用对部分电路进行分析，通过与整个电路的对比进而归纳总结出相应的等效电路，从而将无限变为有限，使问题得以简化.

例2如图3所示，常温常压下，一导热性能良好的密闭容器，容积为V0，内部气体压强为p0，现用容积为ΔV的抽气筒对该容器进行缓慢抽气，试求抽完N次后，容器内剩余气体的压强是多少？

解析抽气问题属于典型的变质量问题.处理这类抽气问题有两点需要明确：一、如何将变质量问题转化成“不变质量”问题，也就是要选取合适的研究对象；二、如何探寻每一次抽气前后，容器内气体的压强变化规律，这就需要用到数学归纳法去总结出带有一般性规律的表达式.

依题意，抽气过程中，气体做等温变化，遵循的是玻意尔定律.每一次抽气时，取容器和被抽气筒抽出的气体这样一个整体作为研究对象.第一次抽气前后有

P0V0=P1（V0+ΔV）（1）

第二次抽气之前容器内剩余气体的压强就是p1，所以第二次抽气前后仍然有

P1V0=P2（V0+ΔV）（2）

第三次抽气之前容器内剩余气体的压强就是p2，亦有

P2V0=P3（V0+ΔV）（3）

……

第N次抽气前后，有

PN-1V0=PN（V0+ΔV）（4）

（4）式的获得就是对（1）、（2）、（3）式进行归纳推导的结果.

由（1）式可得p1=V01V0+ΔV p0（5）

由（2）式可得p2=V01V0+ΔV p1（6）

由（3）式可得p3=V01V0+ΔV p2（7）

（5）、（6）两式联立可得p2=（V01V0+ΔV）2p0（8）

（7）、（8）两式联立可得p3=（V01V0+ΔV）3p0（9）

通过对（5）、（8）、（9）三式再一次进行归纳推理可得：抽完N次后，容器内剩余气体的压强表达式为

pN=（V01V0+ΔV）Np0.

在本题中，方程的建立和解方程的过程都用到了数学归纳法.这里需要特别说明一点，与数学中用数学归纳法证明问题不同的是，物理中不再需要验证结论这一环节，而是将重点放在如何探究从特殊情况到一般结论这一归纳的过程和结果上来.

例3有N个质量均为m的人，站在质量为M的平板车上.开始时，人与车均静止于光滑水平面上，若这N个人都从平板车的后端以相对于平板车为u的水平速度从车上向后跳下，车因此向前反冲前进.

（1）若N个人同时跳车，平板车获得的速度是多大？

（2）若N个人依次跳车，平板车获得的速度又是多大？

解析很显然，本题中，第二种情况要复杂一些，如不仔细加以分析，很容易给人造成两种情况貌似完全相同的错觉.

第一种情况下，N个人同时跳车，设人跳车时车向前的速度大小为v，则此时人對地向后的速度大小为v′=u-v，方向与车速方向相反，跳车过程中人与车系统在水平方向上动量守恒，即Mv-Nmv′=0.故平板车获得的反冲速度为

v=Nmu1M+Nm.

第二种情况下，N个人依次跳车时，在第一个人跳车前后，由系统在水平方向上动量守恒可得

[M+（N-1）m]v1-m（u-v1）=0，

解得v1=mu1M+Nm（1）

其中v1为第一个人跳车后的车速.在第二个人跳车前，新系统已经具有了一定的初动量

p1=[M+（N-1）m]v1，

故在第二个人跳车前后，根据新系统动量守恒可得

[M+（N-2）m]v2-m（u-v2）=[M+（N-1）m]v1，

解之得v2-v1=mu1M+（N-1）m（2）

其中v2为第二个人跳车后的车速.同理，在第三个人跳车前后，有

[M+（N-3）m]v3-m（u-v3）=[M+（N-2）m]v2，

解之得v3-v2=mu1M+（N-2）m（3）

其中v3为第三个人跳车后的车速.同理依次类推有

v4-v3=mu1M+（N-3）m（4）

……

vN-vN-1=mu1M+[N-（N-1）]m，

即vN-vN-1=mu1M+m（5）

将以上所有表达式左边相加有

v1+（v2-v1）+（v3-v2）+（v4-v3）+…+（vN-1-vN-2）+（vN-vN-1）=vN，

右边相加即为vN的最终表达式，故

vN=mu1M+Nm+mu1M+（N-1）m+mu1M+（N-2）m+…

+mu1M+m.

由于vN表达式中的分子都是相同的，而分母越来越小，故这N项之和大于第一项mu1M+Nm的N倍，即vN>Nmu1M+Nm，也即vN>v，说明平板车在第二种情况下获得的速度大于第一种情况.

这个结论同时也告诉我们一个事实：在发射人造航天器时，为什么要采取多级火箭依次点火加速，而不是采用多级火箭同时点火加速的方式，因为在这种情况下航天器可以获得更大的推进速度.

本例巧妙的对条件进行归纳总结，从而将依次跳车过程中的那些中间过渡速度给抵消了，只保留了车最终的速度，尽管最终的表达式略显复杂，但是里面暗含的规律是显而易见的.可以说本例是数学归纳法在物理问题中应用的典范.具有很强的参考和借鉴意义.