高考数学新题型特征分析

帅敏

高考数学新题型包括很多种类，其中主要包括高考新型选择题和高考新型解答题等，所以我们应对高考数学新题型的走向进行分析.只有对高考数学新题型的走向分析透彻，才能有利于学生解答高考数学问题，提高答题效率和拓宽解题思路等.数学数列不等式的题型以解答题为主，而解答题则是以中档高考数学数列不等式形式和压轴高考数学数列不等式形式二者交汇出现的，在此过程中还有可能出现高中数学导数知识、高中数学解析几何知识以及高中数学三角函数知识等的考查.数列不等式被具体应用在高考数学的抽象数列中.高考数学中，数列不等式题型会涉及递推数列和抽象数列等相关知识，其最主要的考查方式是数列不等式方程转化.

一、高考数学数列不等式题型考试要求概述

我们要对高考数学数列的概念进行了解和掌握，之后要对高考数学数列的通项公式及其具体意义有所熟知，在求解数列的方法中，递推公式是其中一项重要方法，要根据相应的公式计算出高考数学数列的前几项.需要强调的是，要熟悉高考数学等差数列概念，并掌握等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式.之后在对上述内容进行了解的基础上，解决实际高考数学数列不等式新题型问题.另外，还要熟悉高考数学等比数列的概念、高考数学等比数列通项公式、前n项和公式等.要求学生熟悉掌握│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│公式，并熟练掌握高考数学数列不等式分析法、不等式综合法以及数列不等式比较法等.

二、高考数学新题型中数列不等式出题走向分析

1.信息关系转化

如果函数在f（x）在对应的定域值为D，当x∈D时，此时f（x）≥M就恒成立，有f（x）min≥M，那么此时f（x）≤M恒成立，有f（x）max≤M，之后在此基础上利用高考数学等差数列、等比数列的知识简化不等式，这样就能解出公式.

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，而a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*）.

（1）求当bn=Sn-3n时，{bn}的通项公式.

（2）求当an+1≥an（n∈N+）时，a的取值范围.

解析：根据上述题意可以得出：Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n.根据上式可以算出Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）.所以此时可以算出{bn}的通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1（n∈N*）.第二问的解答方法可以以第一问为基础，Sn=3n+（a-3）2n-1（n∈N*），于是，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n+（a-3）2n-1-3n-1-（a-3）·2n-2=2×3n-1+（a-3）2n-2，an+1-an=4×3n-1+（a-3）·2n-2=2n-2·[12·（312）n-2+a-3]，当n≥2时，an+1≥an，即2n-2·[12·（312）n-2+a-3]≥0，12·（312）n-2+a-3≥0，所以此时a≥-9.综上可知：a的取值范围是[-9，+∞）.

点评：我们要根据已知题意内容进行分析，利用Sn与an之间的关系去进行公式推导，而当我们对第二小问进行思考时应将条件an+1≥an转化为a与n之间的具体关系，在此基础上再利用a≥f（n）恒成立等价于a≥f（n）max进行相应公式求解.

2.设问阶梯型

学生通过数列不等式的相关性质，由浅及深，逐步推进.

【例2】数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：

112，113，213，114，214，314，115，215，315，415，116，…

若存在整数k，使Sk<10，Sk+1≥10，则ak=.

解析：数列的构成规律是分母为2的有一项，分母为3的有两项，分母为4的有三项等，故这个数列的和可以分段求解.

S1=112，S3=112+1+213=312，S6=312+1+2+314=3，S10=3+1+2+3+415=5，S15=5+1+2+3+4+516=1512，分母为7的项的和为：1+2+3+4+5+617=3，

故S21=2112>10，

而S20=1512+1+2+3+4+517=1512+1517<1512+512=10，所以ak=517.最后答案为517.

3.结论开放型endprint

高考数学新题型包括很多种类，其中主要包括高考新型选择题和高考新型解答题等，所以我们应对高考数学新题型的走向进行分析.只有对高考数学新题型的走向分析透彻，才能有利于学生解答高考数学问题，提高答题效率和拓宽解题思路等.数学数列不等式的题型以解答题为主，而解答题则是以中档高考数学数列不等式形式和压轴高考数学数列不等式形式二者交汇出现的，在此过程中还有可能出现高中数学导数知识、高中数学解析几何知识以及高中数学三角函数知识等的考查.数列不等式被具体应用在高考数学的抽象数列中.高考数学中，数列不等式题型会涉及递推数列和抽象数列等相关知识，其最主要的考查方式是数列不等式方程转化.

一、高考数学数列不等式题型考试要求概述

我们要对高考数学数列的概念进行了解和掌握，之后要对高考数学数列的通项公式及其具体意义有所熟知，在求解数列的方法中，递推公式是其中一项重要方法，要根据相应的公式计算出高考数学数列的前几项.需要强调的是，要熟悉高考数学等差数列概念，并掌握等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式.之后在对上述内容进行了解的基础上，解决实际高考数学数列不等式新题型问题.另外，还要熟悉高考数学等比数列的概念、高考数学等比数列通项公式、前n项和公式等.要求学生熟悉掌握│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│公式，并熟练掌握高考数学数列不等式分析法、不等式综合法以及数列不等式比较法等.

二、高考数学新题型中数列不等式出题走向分析

1.信息关系转化

如果函数在f（x）在对应的定域值为D，当x∈D时，此时f（x）≥M就恒成立，有f（x）min≥M，那么此时f（x）≤M恒成立，有f（x）max≤M，之后在此基础上利用高考数学等差数列、等比数列的知识简化不等式，这样就能解出公式.

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，而a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*）.

（1）求当bn=Sn-3n时，{bn}的通项公式.

（2）求当an+1≥an（n∈N+）时，a的取值范围.

解析：根据上述题意可以得出：Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n.根据上式可以算出Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）.所以此时可以算出{bn}的通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1（n∈N*）.第二问的解答方法可以以第一问为基础，Sn=3n+（a-3）2n-1（n∈N*），于是，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n+（a-3）2n-1-3n-1-（a-3）·2n-2=2×3n-1+（a-3）2n-2，an+1-an=4×3n-1+（a-3）·2n-2=2n-2·[12·（312）n-2+a-3]，当n≥2时，an+1≥an，即2n-2·[12·（312）n-2+a-3]≥0，12·（312）n-2+a-3≥0，所以此时a≥-9.综上可知：a的取值范围是[-9，+∞）.

点评：我们要根据已知题意内容进行分析，利用Sn与an之间的关系去进行公式推导，而当我们对第二小问进行思考时应将条件an+1≥an转化为a与n之间的具体关系，在此基础上再利用a≥f（n）恒成立等价于a≥f（n）max进行相应公式求解.

2.设问阶梯型

学生通过数列不等式的相关性质，由浅及深，逐步推进.

【例2】数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：

112，113，213，114，214，314，115，215，315，415，116，…

若存在整数k，使Sk<10，Sk+1≥10，则ak=.

解析：数列的构成规律是分母为2的有一项，分母为3的有两项，分母为4的有三项等，故这个数列的和可以分段求解.

S1=112，S3=112+1+213=312，S6=312+1+2+314=3，S10=3+1+2+3+415=5，S15=5+1+2+3+4+516=1512，分母为7的项的和为：1+2+3+4+5+617=3，

故S21=2112>10，

而S20=1512+1+2+3+4+517=1512+1517<1512+512=10，所以ak=517.最后答案为517.

3.结论开放型endprint

高考数学新题型包括很多种类，其中主要包括高考新型选择题和高考新型解答题等，所以我们应对高考数学新题型的走向进行分析.只有对高考数学新题型的走向分析透彻，才能有利于学生解答高考数学问题，提高答题效率和拓宽解题思路等.数学数列不等式的题型以解答题为主，而解答题则是以中档高考数学数列不等式形式和压轴高考数学数列不等式形式二者交汇出现的，在此过程中还有可能出现高中数学导数知识、高中数学解析几何知识以及高中数学三角函数知识等的考查.数列不等式被具体应用在高考数学的抽象数列中.高考数学中，数列不等式题型会涉及递推数列和抽象数列等相关知识，其最主要的考查方式是数列不等式方程转化.

一、高考数学数列不等式题型考试要求概述

我们要对高考数学数列的概念进行了解和掌握，之后要对高考数学数列的通项公式及其具体意义有所熟知，在求解数列的方法中，递推公式是其中一项重要方法，要根据相应的公式计算出高考数学数列的前几项.需要强调的是，要熟悉高考数学等差数列概念，并掌握等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式.之后在对上述内容进行了解的基础上，解决实际高考数学数列不等式新题型问题.另外，还要熟悉高考数学等比数列的概念、高考数学等比数列通项公式、前n项和公式等.要求学生熟悉掌握│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│公式，并熟练掌握高考数学数列不等式分析法、不等式综合法以及数列不等式比较法等.

二、高考数学新题型中数列不等式出题走向分析

1.信息关系转化

如果函数在f（x）在对应的定域值为D，当x∈D时，此时f（x）≥M就恒成立，有f（x）min≥M，那么此时f（x）≤M恒成立，有f（x）max≤M，之后在此基础上利用高考数学等差数列、等比数列的知识简化不等式，这样就能解出公式.

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，而a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*）.

（1）求当bn=Sn-3n时，{bn}的通项公式.

（2）求当an+1≥an（n∈N+）时，a的取值范围.

解析：根据上述题意可以得出：Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n.根据上式可以算出Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）.所以此时可以算出{bn}的通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1（n∈N*）.第二问的解答方法可以以第一问为基础，Sn=3n+（a-3）2n-1（n∈N*），于是，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n+（a-3）2n-1-3n-1-（a-3）·2n-2=2×3n-1+（a-3）2n-2，an+1-an=4×3n-1+（a-3）·2n-2=2n-2·[12·（312）n-2+a-3]，当n≥2时，an+1≥an，即2n-2·[12·（312）n-2+a-3]≥0，12·（312）n-2+a-3≥0，所以此时a≥-9.综上可知：a的取值范围是[-9，+∞）.

点评：我们要根据已知题意内容进行分析，利用Sn与an之间的关系去进行公式推导，而当我们对第二小问进行思考时应将条件an+1≥an转化为a与n之间的具体关系，在此基础上再利用a≥f（n）恒成立等价于a≥f（n）max进行相应公式求解.

2.设问阶梯型

学生通过数列不等式的相关性质，由浅及深，逐步推进.

【例2】数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：

112，113，213，114，214，314，115，215，315，415，116，…

若存在整数k，使Sk<10，Sk+1≥10，则ak=.

解析：数列的构成规律是分母为2的有一项，分母为3的有两项，分母为4的有三项等，故这个数列的和可以分段求解.

S1=112，S3=112+1+213=312，S6=312+1+2+314=3，S10=3+1+2+3+415=5，S15=5+1+2+3+4+516=1512，分母为7的项的和为：1+2+3+4+5+617=3，

故S21=2112>10，

而S20=1512+1+2+3+4+517=1512+1517<1512+512=10，所以ak=517.最后答案为517.

3.结论开放型endprint