求二次函数在闭区间上的最值问题

赵霞

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中学数学中的地位非常重要，它的单调性由a、b决定，即当a>0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递减，在[-b12a，+∞）上单调递增；当a<0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递增，在[-b12a，+∞）上单调递减.它的单调性比较复杂，因此对于求二次函数闭区间上的最值问题，特别是含参数的最值问题较麻烦，一直是高中数学中的难点.下面笔者分三种类型进行分析.

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.

（责任编辑钟伟芳）

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中学数学中的地位非常重要，它的单调性由a、b决定，即当a>0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递减，在[-b12a，+∞）上单调递增；当a<0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递增，在[-b12a，+∞）上单调递减.它的单调性比较复杂，因此对于求二次函数闭区间上的最值问题，特别是含参数的最值问题较麻烦，一直是高中数学中的难点.下面笔者分三种类型进行分析.

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

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当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.

（责任编辑钟伟芳）

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中学数学中的地位非常重要，它的单调性由a、b决定，即当a>0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递减，在[-b12a，+∞）上单调递增；当a<0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递增，在[-b12a，+∞）上单调递减.它的单调性比较复杂，因此对于求二次函数闭区间上的最值问题，特别是含参数的最值问题较麻烦，一直是高中数学中的难点.下面笔者分三种类型进行分析.

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

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当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.

（责任编辑钟伟芳）