一道经典例题的解法探究及拓展

叶景辉　吴伟朝

一、例题赏析

在一次购物抽奖活动中，假设某20张券中有一等奖券1张，可获价值100元的奖品；有二等奖券2张，每张可获价值50元的奖品；有三等奖券5张，每张可获价值20元的奖品.某顾客从20张券中任抽2张，求该顾客获得的奖品总价值的数学期望.

解析：如果顾客从20张券中任抽2张，则x的所有可能取值为0，20，40，50，70，100，120，150.由于顾客获得的奖品总价值x服从超几何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列为

从而顾客获得的奖品总价值的数学期望为

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

点评：以上解题思路是先求出X的所有可能取值，再根据离散型随机变量X服从超几何分布，并结合离散型随机变量X的数学期望的求解方式得出相应结果，整个计算过程的复杂程度适中.

二、例题拓展

如果将以上例题的条件“某顾客从20张券中任抽2张”改为“某顾客从20张券中任抽3张”，其他条件不变，这时该顾客获得的奖品总价值X的数学期望是多少？

解析：如果顾客从20张券中任抽3张，那么此时X的所有可能取值为0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列为

从而顾客获得的奖品总价值X的数学期望为

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

点评：通过以上对比分析，我们可以得知：若顾客从20张券中任抽2张，获得的奖品总价值X的所有可能取值有8种；若顾客从20张券中任抽3张，获得的奖品总价值X的所有可能取值有13种.同时，离散型随机变量在这两种情况下都服从超几何分布，所以，我们都可以根据X的不同分布列求出相应的数学期望.随着抽取张数的增加，我们可以发现：获得的奖品总价值X的所有可能取值种数也随着增加，计算量也越来越大，X的分布列也变得越来越复杂，从而使计算X的数学期望的难度也逐渐增加.

三、例题反思

在离散型随机变量X服从超几何分布的条件下，当X的所有可能取值种数较少时，计算X的数学期望相对比较容易；而当X的所有可能取值种数较多时，计算X的数学期望相对比较复杂.对此，我们可以提出这样的问题：是否有一种比较简单的方法能解决这样的问题？

解析：离散型随机变量X的数学期望所表示的意义，在于反映离散型随机变量X取值的平均水平，由此我们产生一种新的思路，建立一种新的解法.因为20张券总的价值为100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每张券的奖品平均价值为300120=15（元）.因此，当顾客从20张券中任抽2张，获得的奖品总价值X的数学期望为E（X）=15×2=30（元）；当顾客从20张券中任抽3张，获得的奖品总价值X的数学期望为E（X）=15×3=45（元）.

点评：根据离散型随机变量X的数学期望所表示的意义，分别求解顾客从20张券中任抽2张、任抽3张获得的奖品总价值X的数学期望，所得的结果与前面利用超几何分布求出的数学期望是相符的.利用这种思路去探究类似的问题，有助于简化解题过程.在解答一些选择题、填空题时，这种解法也有助于为考生节省更多的时间.

参考文献

[1]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中学数学大全[M].北京：外文出版社，2010.

（责任编辑钟伟芳）endprint

一、例题赏析

在一次购物抽奖活动中，假设某20张券中有一等奖券1张，可获价值100元的奖品；有二等奖券2张，每张可获价值50元的奖品；有三等奖券5张，每张可获价值20元的奖品.某顾客从20张券中任抽2张，求该顾客获得的奖品总价值的数学期望.

解析：如果顾客从20张券中任抽2张，则x的所有可能取值为0，20，40，50，70，100，120，150.由于顾客获得的奖品总价值x服从超几何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列为

从而顾客获得的奖品总价值的数学期望为

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

点评：以上解题思路是先求出X的所有可能取值，再根据离散型随机变量X服从超几何分布，并结合离散型随机变量X的数学期望的求解方式得出相应结果，整个计算过程的复杂程度适中.

二、例题拓展

如果将以上例题的条件“某顾客从20张券中任抽2张”改为“某顾客从20张券中任抽3张”，其他条件不变，这时该顾客获得的奖品总价值X的数学期望是多少？

解析：如果顾客从20张券中任抽3张，那么此时X的所有可能取值为0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列为

从而顾客获得的奖品总价值X的数学期望为

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

点评：通过以上对比分析，我们可以得知：若顾客从20张券中任抽2张，获得的奖品总价值X的所有可能取值有8种；若顾客从20张券中任抽3张，获得的奖品总价值X的所有可能取值有13种.同时，离散型随机变量在这两种情况下都服从超几何分布，所以，我们都可以根据X的不同分布列求出相应的数学期望.随着抽取张数的增加，我们可以发现：获得的奖品总价值X的所有可能取值种数也随着增加，计算量也越来越大，X的分布列也变得越来越复杂，从而使计算X的数学期望的难度也逐渐增加.

三、例题反思

在离散型随机变量X服从超几何分布的条件下，当X的所有可能取值种数较少时，计算X的数学期望相对比较容易；而当X的所有可能取值种数较多时，计算X的数学期望相对比较复杂.对此，我们可以提出这样的问题：是否有一种比较简单的方法能解决这样的问题？

解析：离散型随机变量X的数学期望所表示的意义，在于反映离散型随机变量X取值的平均水平，由此我们产生一种新的思路，建立一种新的解法.因为20张券总的价值为100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每张券的奖品平均价值为300120=15（元）.因此，当顾客从20张券中任抽2张，获得的奖品总价值X的数学期望为E（X）=15×2=30（元）；当顾客从20张券中任抽3张，获得的奖品总价值X的数学期望为E（X）=15×3=45（元）.

点评：根据离散型随机变量X的数学期望所表示的意义，分别求解顾客从20张券中任抽2张、任抽3张获得的奖品总价值X的数学期望，所得的结果与前面利用超几何分布求出的数学期望是相符的.利用这种思路去探究类似的问题，有助于简化解题过程.在解答一些选择题、填空题时，这种解法也有助于为考生节省更多的时间.

参考文献

[1]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中学数学大全[M].北京：外文出版社，2010.

（责任编辑钟伟芳）endprint

一、例题赏析

在一次购物抽奖活动中，假设某20张券中有一等奖券1张，可获价值100元的奖品；有二等奖券2张，每张可获价值50元的奖品；有三等奖券5张，每张可获价值20元的奖品.某顾客从20张券中任抽2张，求该顾客获得的奖品总价值的数学期望.

解析：如果顾客从20张券中任抽2张，则x的所有可能取值为0，20，40，50，70，100，120，150.由于顾客获得的奖品总价值x服从超几何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列为

从而顾客获得的奖品总价值的数学期望为

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

点评：以上解题思路是先求出X的所有可能取值，再根据离散型随机变量X服从超几何分布，并结合离散型随机变量X的数学期望的求解方式得出相应结果，整个计算过程的复杂程度适中.

二、例题拓展

如果将以上例题的条件“某顾客从20张券中任抽2张”改为“某顾客从20张券中任抽3张”，其他条件不变，这时该顾客获得的奖品总价值X的数学期望是多少？

解析：如果顾客从20张券中任抽3张，那么此时X的所有可能取值为0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列为

从而顾客获得的奖品总价值X的数学期望为

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

点评：通过以上对比分析，我们可以得知：若顾客从20张券中任抽2张，获得的奖品总价值X的所有可能取值有8种；若顾客从20张券中任抽3张，获得的奖品总价值X的所有可能取值有13种.同时，离散型随机变量在这两种情况下都服从超几何分布，所以，我们都可以根据X的不同分布列求出相应的数学期望.随着抽取张数的增加，我们可以发现：获得的奖品总价值X的所有可能取值种数也随着增加，计算量也越来越大，X的分布列也变得越来越复杂，从而使计算X的数学期望的难度也逐渐增加.

三、例题反思

在离散型随机变量X服从超几何分布的条件下，当X的所有可能取值种数较少时，计算X的数学期望相对比较容易；而当X的所有可能取值种数较多时，计算X的数学期望相对比较复杂.对此，我们可以提出这样的问题：是否有一种比较简单的方法能解决这样的问题？

解析：离散型随机变量X的数学期望所表示的意义，在于反映离散型随机变量X取值的平均水平，由此我们产生一种新的思路，建立一种新的解法.因为20张券总的价值为100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每张券的奖品平均价值为300120=15（元）.因此，当顾客从20张券中任抽2张，获得的奖品总价值X的数学期望为E（X）=15×2=30（元）；当顾客从20张券中任抽3张，获得的奖品总价值X的数学期望为E（X）=15×3=45（元）.

点评：根据离散型随机变量X的数学期望所表示的意义，分别求解顾客从20张券中任抽2张、任抽3张获得的奖品总价值X的数学期望，所得的结果与前面利用超几何分布求出的数学期望是相符的.利用这种思路去探究类似的问题，有助于简化解题过程.在解答一些选择题、填空题时，这种解法也有助于为考生节省更多的时间.

参考文献

[1]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中学数学大全[M].北京：外文出版社，2010.

（责任编辑钟伟芳）endprint