注重习题教学，提高学生思维能力

吴克胜

数学习题教学，主要是指新授课之后为巩固知识点所进行的典型例题讲解、习题处理和作业题、试题评讲等教学活动，它是数学教学的重要组成部分，是概念、性质、公式和原理教学的延续和深化，是学生掌握知识，培养和提高思维能力的重要环节.如何充分发挥数学习题的功效，培养学生的思维能力，是一个值得深入探讨的问题.下面笔者谈谈几点教学体会.

一、精选例题，示范讲解

例题教学不仅有助于学生理顺解题思路，复习巩固知识和明确解题规范，更重要的是可以培养学生多方面的能力，特别是思维能力，但由于课堂时间有限，数学习题类型繁多，不可能面面俱到.为此，教师必须对例题进行筛选，精选典型的、具有普遍指导意义的习题作为范题.从解题思路入手，引导学生认真分析题意，弄清要求和条件，找出例题所涉及的知识点.为此，在例题教学时，我认为首先应关注读题.俗话说：“答题规范才能脱贫，审题仔细方能致富.”读题不等同于审题，它是学生吸收知识、发展智力的重要手段，也是学生识记数学知识的途径之一.不少学生开始不明白应该怎样读数学题，题目中看似简单的文字就是读不出什么知识点来，更读不出知识点的相互联系.

为了提高学生的读题能力，我首先要求学生模仿.我让学生模仿我读题时提出问题的方式，边读题边思考，并提出一些相关的知识及知识点间的联系；其次是要求学生模仿我在读题时的联想和知识的大量提取.例如，在讲到苏科版八年级上册第三章第五节的相关例题：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，与AD相交于点E，EF⊥BC，垂足为F，四边形ABFE是正方形吗？简述你的理由.我的分析如下：

图1（1）从“矩形ABCD中”联想到矩形的性质，包括边的性质、内角的性质、对角线的性质以及和平行四边形、菱形的边、内角、对角线的性质的对比.

（2）“BE平分∠ABC，与AD相交于点E”：从对称的角度，它将一个角一分为二；角平分线上的点E到角两边的距离相等，还有到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.

（3）“EF⊥BC，垂足为F”：为什么要说垂足为F，因

=3cm，BC=4cm.现在以C为圆心，r为半径作圆，确定在r=2cm、r=2.4cm、r=3cm的情况下，圆与直线AB的位置关系分别怎样.

解析：要求圆与直线的位置关系，就要先分析d与r的数量关系，这也是解这道题的关键步骤.要先求出点C到直线AB的距离d的值.过点C作CD垂直于AB，|CD|=d.在△ABC和△ACD中，sin∠A=415=d13，计算得d=2.4cm.将d分别与r相比较可得，当r=2cm时，圆与直线相离；当r=2.4cm时，圆与直线相切；当r=3cm时，圆与直线相交.

三、数形结合思想的高度升华

数形结合思想渗透于数学学习的每一个环节，教师向学生显示数形结合思想的应用，不能局限于理论知识，还要高度升华到解决生活实际问题当中，引导学生把生活中数与形相结合的实例迁移到数学课堂学习当中.教师要善于利用教材中的应用题进行分析，让学生理解数形结合思想在解决实际问题方面的重要作用，为学生进一步熟练数形结合思想的全面应用奠定坚实的基础.结合数学规律和生活实际问题，将数形结合思想进行高度升华，使其在理论之外的实践中依然发挥特有的作用，反复强调并强化数形结合思想的重要意义，使学生主动将数学学习中的数形结合意识扎根于思维之中，在应用数形结合思想时能够贯穿联合各种思想方法，灵活变通，并学会分析数形结合思想的实质.

【例3】光明商场某种食用油的进价为80元，其原先的销售单价为100元，这时每天可售出100桶.后来经过市场调查，商场发现此食用油的单价每降低一元，每天就可以多卖出10桶.

（1）光明商场原来销售此食用油一天获利多少元？

（2）假设后来该食用油的销售单价降低了x元，商场每天获利y元.根据题意表示出y与x之间的函数关系式，画出函数草图，观察图像的变化趋势，回答当x取何值时，商场一天的获利不会少于2160元？

解析：（1）原来该食用油一天可获利100×（100-80）=2000元；

（2）此问题需要用到数形结合思想.由“此食用油的单价每降低一元，每天就可以多卖出10桶”得y与x的关系式：y=（100-80-x）（100+10x），展开并配方得，y=-10x2+100x+2000=-10（x-5）2+2250.根据配方后的函数可以很快确定抛物线图像的大致形状.分析图像可以发现，当2≤x≤8时，y不小于2160，即当2≤x≤8时，商店一天的获利不会少于2160元.

（责任编辑黄桂坚）为它指明了∠BFE为直角，如果没有指明垂足为F，则不知道哪个角为直角.

（4）“四边形ABFE是正方形吗”：这实际是一道考查如何证明四边形是正方形的题目，根据正方形的定义我们有两种方法：①一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形.另外，如何证明四边形是矩形？菱形？又各有三种方法（略）.

（5）对于本题，根据已知条件运用两种方法都可以解决，但哪种更简单？第一种（略）.

通过对典型例题的剖析，不仅可以收到对此类题型举一反三的效果，更重要的是可以达到梳理知识、提高思维能力的目的.

二、面向中下等学生设计习题梯度，因材施教

其实每节课教会几个尖子生并不难，难的是教会大部分中下等学生.素质教育的目的是关注每一个学生的发展，根据最近发展区理论，我们所选的习题一定要难易适中，有梯度，以此来满足不同层次学生的需要.一堂有效的习题课，除了能帮助学生熟悉解法，培养他们运用知识去解决问题的能力外，还要在解决问题的同时使他们的逻辑思维能力得到提高.

习题练习中即便是同种类型的习题，有时学生练习一次也不能解决问题，这时适当地重复练习就显得很有必要.这里分两种情况，如普遍存在问题则教师应该集体讲解，然后再重新订正直至全部问题都被解决.如果是少数学习困难生出错，那么教师就要手把手地进行个别辅导，辅导时要对他们充满信心，不离不弃.多年的教学实践使我感觉到，教师的诚心与耐心是学生信心的源泉.学困生大多反应较慢，他们对固定知识的掌握往往不是太差，但他们缺乏转换迁移和推理的能力.比如他们能将（x-4）2展开，但对（2x-4y）2这样的式子就是不能完全展开，你只有一步一步讲解之后他们才能理解，但当你将式子再进行变化后他们又不会了.对于这类学生，只有给予极大的宽容与耐心，才能在各方面使他们保持进取之心，从而取得相应进步.有些学生当时的确听懂了、会做了，可课后时间一长又会忘记.所以教师这时一定要多花些时间与精力，尽量为更多学生量身定做一些习题；让他们课后完成.有句广告词非常好：“只买对的不买贵的.合适的才是最好的.”endprint

三、注重一题多解或一题多变的训练，培养学生思维能力

习题教学中不能以问题的解决为句号，而应充分利用习题，进行一题多解或一题多变的训练 .合情推理能力是思维发展的初级阶段，其高级阶段是创造性思维.爱因斯坦曾说过：“提出问题要比解决问题重要.” 纵观科学发展的历史，不难发现科学进步的历程就是人们在实践中不断提出问题、分析解决问题的过程，因而提出问题对思维培养尤其是创造性思维的培养尤为重要.在习题教学中，要鼓励学生大胆思考，敢于提出问题和自己的看法，展开讨论，充分发展学生的推理思维能力.

【例1】图2如图2，ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC，垂足为E，EO的延长线交AD于点F，试猜想四边形AECF的形状，并说明理由.

待说明四边形AECF是矩形后，再发动学生认真思考并大胆提出问题，当然还要要求学生解决所提出的问题.学生积极性很高，提出了很多有实际意义的问题，如：（1）如将“ABCD”换成“菱形ABCD”，则猜想四边形AECF的形状；（2）如果四边形AECF是正方形，则四边形ABCD是什么形状？

图3【例2】 如图3，L是四边形ABOD的对称轴，AD∥BO，那么四边形ABOD是菱形吗？说明理由.

本题由学生讲解：首先读题，并讲解“L是四边形ABOD的对称轴”这句话所蕴含的相关知识.接着讲述AD∥BO可以得到哪些结论，再针对问题讲出几种可行的方法.

方法一：四边相等的四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AB=AD，BO=OD，BC=CD；（2）根据AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO ，由等量代换得AB=AD=DO=BO，所以四边形ABOD是菱形.

方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AO⊥BD，BC=CD；（2）根据AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四边形ABOD是平行四边形；（3）因为AO⊥BD，且四边形ABOD是平行四边形，所以四边形ABOD是菱形.

方法三：一组邻边相等的平行四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AB=AD， BC=CD；（2）根据AD∥BO， BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四边形ABOD是平行四边形；（3）因为AB=AD且四边形ABOD是平行四边形，所以四边形ABOD是菱形.

学生在经过反复的训练后不仅思维能力得到有效的训练，在解题过程中大量的知识提取更有效地帮助他们熟练地掌握了知识，提高了素质.

教师是主导，学生是主体.在今后的教学实践中，一定要重视对学生思维能力的培养，教会学生在题海里“游泳”的技能，做授之以“渔”而不是授之以 “鱼”的新型教师，在改革的大潮中不断锤炼自己.

（责任编辑黄春香）endprint

三、注重一题多解或一题多变的训练，培养学生思维能力

习题教学中不能以问题的解决为句号，而应充分利用习题，进行一题多解或一题多变的训练 .合情推理能力是思维发展的初级阶段，其高级阶段是创造性思维.爱因斯坦曾说过：“提出问题要比解决问题重要.” 纵观科学发展的历史，不难发现科学进步的历程就是人们在实践中不断提出问题、分析解决问题的过程，因而提出问题对思维培养尤其是创造性思维的培养尤为重要.在习题教学中，要鼓励学生大胆思考，敢于提出问题和自己的看法，展开讨论，充分发展学生的推理思维能力.

【例1】图2如图2，ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC，垂足为E，EO的延长线交AD于点F，试猜想四边形AECF的形状，并说明理由.

待说明四边形AECF是矩形后，再发动学生认真思考并大胆提出问题，当然还要要求学生解决所提出的问题.学生积极性很高，提出了很多有实际意义的问题，如：（1）如将“ABCD”换成“菱形ABCD”，则猜想四边形AECF的形状；（2）如果四边形AECF是正方形，则四边形ABCD是什么形状？

图3【例2】 如图3，L是四边形ABOD的对称轴，AD∥BO，那么四边形ABOD是菱形吗？说明理由.

本题由学生讲解：首先读题，并讲解“L是四边形ABOD的对称轴”这句话所蕴含的相关知识.接着讲述AD∥BO可以得到哪些结论，再针对问题讲出几种可行的方法.

方法一：四边相等的四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AB=AD，BO=OD，BC=CD；（2）根据AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO ，由等量代换得AB=AD=DO=BO，所以四边形ABOD是菱形.

方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AO⊥BD，BC=CD；（2）根据AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四边形ABOD是平行四边形；（3）因为AO⊥BD，且四边形ABOD是平行四边形，所以四边形ABOD是菱形.

方法三：一组邻边相等的平行四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AB=AD， BC=CD；（2）根据AD∥BO， BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四边形ABOD是平行四边形；（3）因为AB=AD且四边形ABOD是平行四边形，所以四边形ABOD是菱形.

学生在经过反复的训练后不仅思维能力得到有效的训练，在解题过程中大量的知识提取更有效地帮助他们熟练地掌握了知识，提高了素质.

教师是主导，学生是主体.在今后的教学实践中，一定要重视对学生思维能力的培养，教会学生在题海里“游泳”的技能，做授之以“渔”而不是授之以 “鱼”的新型教师，在改革的大潮中不断锤炼自己.

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三、注重一题多解或一题多变的训练，培养学生思维能力

习题教学中不能以问题的解决为句号，而应充分利用习题，进行一题多解或一题多变的训练 .合情推理能力是思维发展的初级阶段，其高级阶段是创造性思维.爱因斯坦曾说过：“提出问题要比解决问题重要.” 纵观科学发展的历史，不难发现科学进步的历程就是人们在实践中不断提出问题、分析解决问题的过程，因而提出问题对思维培养尤其是创造性思维的培养尤为重要.在习题教学中，要鼓励学生大胆思考，敢于提出问题和自己的看法，展开讨论，充分发展学生的推理思维能力.

【例1】图2如图2，ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC，垂足为E，EO的延长线交AD于点F，试猜想四边形AECF的形状，并说明理由.

待说明四边形AECF是矩形后，再发动学生认真思考并大胆提出问题，当然还要要求学生解决所提出的问题.学生积极性很高，提出了很多有实际意义的问题，如：（1）如将“ABCD”换成“菱形ABCD”，则猜想四边形AECF的形状；（2）如果四边形AECF是正方形，则四边形ABCD是什么形状？

图3【例2】 如图3，L是四边形ABOD的对称轴，AD∥BO，那么四边形ABOD是菱形吗？说明理由.

本题由学生讲解：首先读题，并讲解“L是四边形ABOD的对称轴”这句话所蕴含的相关知识.接着讲述AD∥BO可以得到哪些结论，再针对问题讲出几种可行的方法.

方法一：四边相等的四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AB=AD，BO=OD，BC=CD；（2）根据AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO ，由等量代换得AB=AD=DO=BO，所以四边形ABOD是菱形.

方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AO⊥BD，BC=CD；（2）根据AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四边形ABOD是平行四边形；（3）因为AO⊥BD，且四边形ABOD是平行四边形，所以四边形ABOD是菱形.

方法三：一组邻边相等的平行四边形是菱形.讲解层次：（1）L是四边形ABOD的对称轴，则AB=AD， BC=CD；（2）根据AD∥BO， BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四边形ABOD是平行四边形；（3）因为AB=AD且四边形ABOD是平行四边形，所以四边形ABOD是菱形.

学生在经过反复的训练后不仅思维能力得到有效的训练，在解题过程中大量的知识提取更有效地帮助他们熟练地掌握了知识，提高了素质.

教师是主导，学生是主体.在今后的教学实践中，一定要重视对学生思维能力的培养，教会学生在题海里“游泳”的技能，做授之以“渔”而不是授之以 “鱼”的新型教师，在改革的大潮中不断锤炼自己.

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