基于数形结合思想的数学教学

练兆明

为了培养学生的创新意识，打造适应现代化建设的新型人才，国家逐步加大了素质教育体制和课程改革的推进力度.素质教育以理论知识和灵活分析问题、处理问题的能力来考查学生的综合素质.在初中数学教学中，教师也要意识到学生创新思维和探索能力的培养.数形结合是一种应用广泛的重要思想方法，有利于拓展学生的思维空间，激发学生的求知欲望.因此，应该将数形结合思想有效地与课堂教学相互渗透，将数形结合思想的具体应用加以升华.本文结合了具体的数学例子对基于数形结合思想的初中数学教学展开了讨论.

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

为了培养学生的创新意识，打造适应现代化建设的新型人才，国家逐步加大了素质教育体制和课程改革的推进力度.素质教育以理论知识和灵活分析问题、处理问题的能力来考查学生的综合素质.在初中数学教学中，教师也要意识到学生创新思维和探索能力的培养.数形结合是一种应用广泛的重要思想方法，有利于拓展学生的思维空间，激发学生的求知欲望.因此，应该将数形结合思想有效地与课堂教学相互渗透，将数形结合思想的具体应用加以升华.本文结合了具体的数学例子对基于数形结合思想的初中数学教学展开了讨论.

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

为了培养学生的创新意识，打造适应现代化建设的新型人才，国家逐步加大了素质教育体制和课程改革的推进力度.素质教育以理论知识和灵活分析问题、处理问题的能力来考查学生的综合素质.在初中数学教学中，教师也要意识到学生创新思维和探索能力的培养.数形结合是一种应用广泛的重要思想方法，有利于拓展学生的思维空间，激发学生的求知欲望.因此，应该将数形结合思想有效地与课堂教学相互渗透，将数形结合思想的具体应用加以升华.本文结合了具体的数学例子对基于数形结合思想的初中数学教学展开了讨论.

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC