三角高程代替几何水准的可行性

郭旭

(深圳市勘察测绘院有限公司，广东深圳 518028)

1 引言

三角高程测量相对于几何水准测量而言，具有作业效率高、操作简单灵活等特点。同时，现在全站仪的测距和测角精度都有很大提高，且精度匹配合理，这使得三角高程测量的精度和可靠性，都有了很大改观。本文依据三角高程测量原理，根据误差传播理论，对三角高程测量精度进行分析和评定，得出在一定条件下，三角高程代替几何水准测量的可能性，使测量工作者可根据实际工作选择最佳水准测量方案。

2 三角高程测量原理及数学模型

2.1 单向三角高程测量及数学模型

实际测量工作中，三角高程测量的距离，通常是几百米甚至上千米。当距离超过 400 m时，地球曲率和大气折光的影响将不能忽视。

三角高程测量时，光线通过密度不均匀的介质时会发生折射，从而使光线成为一条复杂的空间曲线，由此而引起的测量误差，称为气象误差。引起气象误差的代表性原因通常有以下几种:①大气动力的不稳定性;②大气组成的密度梯度;③大气的温度梯度;④大气气压场、风场分布梯度;⑤大气湿度场分布梯度。

三角高程测量原理如图1所示。图1中，S为斜距，α为竖直角，D为水平距离，i为仪器高，v为棱镜高，p为地球曲率对高差的影响(简称球差)，r为大气折光对高差的影响(简称气差)。

由图1可得，单向观测的高差计算公式为:

式(1)中，R为地球半径，k为大气折光系数。大气折光系数k与气温、气压，特别是大气密度有关，其值不易测定。

图1 单向三角高程测量

2.2 中间法三角高程测量的原理及数学模型

中间法是将两个棱镜架设在待测高差的高程点上，全站仪架设在距离两点的中间位置，测量原理如图2所示。

图2 中间设站法三角高程测量

如图2所示，将棱镜分别架设在待测高差的A、B高程点上，在A、B中间，选择与该两点均通视的设站点O，测量过程中无需对中。根据三角高程测量的原理，由式(1)可得，O、A两点的高差hOA为:

同理可得O、B两点的高差hOB为:

由式(2)、式(3)，可得，A、B两点间的高差hAB为:

若两个棱镜高一样，则式(4)可简化为:

通过这种方法，可以使中间法高差的测量误差只与距离、竖直角和大气折光系数有关。

3 三角高程测量的误差来源和精度分析

3.1 单向观测的误差来源及精度分析

(1)单向观测三角高程测量的中误差

根据误差传播定律，对式(1)进行全微分，可得:

工程施工中常用全站仪的测角精度为2″，测距精度为2+2 ppm，因此，可假定:

取2倍中误差为极限误差，通过式(6)及三四等水准规范可知，当 S＜700 m时，三角高程可代替三等水准，当S＜2000 m时，三角高程可代替四等水准。

由于k值由气象元素决定，在不同测区变化很大，故需要实测k值，确定k值通常有两种方法:

①用已知精密高差求k值

式中h1为精密水准测得高差，h2为未加球气差改正的高差，S、α、R 同上。

②同时对向观测解算k值

式中h3、h4为在两点间对向观测的高差观测值，S、α、R 同上。

(2)试验验证

为验证三角高程的实际精度，在某工程的高程控制测量中，我们分别施测了单向三角高程和二等几何水准，并将二等几何水准所测高程作为真值，与单向三角高程的测量结果进行比对。比对结果如表1所示。

单向观测三角高程测量实测精度表 表1

由表1可知，单向三角高程测量结果与真值接近，离散不明显。距离不超过 700 m时，单向三角高程能较好地满足三等水准测量的精度要求;距离在 700 m至 2000 m时，单向三角高程能较好地满足四等水准测量的精度要求，但不一定满足三等水准测量的精度要求。另外，利用实测k值计算三角高程时，所得三角高程的精度更高。

3.2 中间法观测的误差来源及精度分析

(1)中间法三角高程测量的中误差

中间法使两测段的测距误差ms相等，同时两段竖直角的中误差也大致一样，在实际测量之前应使两个棱镜高保持一致。小区域内短时间可视k值为不变量，则式(5)可简化为:

将式(8)全微分后，转化为中误差形式，可得:

将式中微小量忽略不计，可进一步简化为:

由式(10)可知，中间法高差中误差仍然主要是由距离和竖直角测量中误差决定。

(2)精度分析

假定两个棱镜高一样，由式(10)可知，中间法三角高程测量的误差来源为斜距误差，竖直角误差和k值误差，它们对高差的影响分别为:

设置不同距离的测段，组合不同的两次竖直角值，得到表2为竖直角和距离分别对高差的影响量。

中间法观测不同斜距与竖直角时测距、测角误差对高差的影响 表2

表2表明，中间法观测的主要误差仍然是竖直角误差和斜距误差。其中竖直角误差为主要误差来源。

不考虑由棱镜高带来的误差，可得到在此条件下，中间法的高差中误差，并以2倍中误差为极限误差，可得表3。

中间法三角高程极限误差与各等级水准限差比较 表3

(3)试验验证

利用二等水准和中间法三角高程测量进行实测验证，并将二等水准测量结果作为真值进行比对。测量时，前后棱镜等高，采用2″级全站仪观测两个测回，独立测距三次，成果如表4所示。

中间法三角高程测量与二等水准高程比较 表4

由表4可知，中间法观测中，当仪器架设在中间位置时，测量成果与二等水准测量高差(设定真值)进行比较，较差均很小。距离小于 1500 m时，三角高程能较好地满足三等水准测量的精度要求，但不能保证满足二等水准的精度要求。当中间法三角高程前、后视不对称时，测量误差将随前后视距差的增大而急剧增大。因此，采用中间法三角高程时，前后视距应尽量相等。

4 结语

通过以上分析和实际验证，可得出以下结论:

(1)三角高程测量中，竖直角的误差为主要误差来源，距离与高差中误差成正比;当距离一定时，竖直角与高差中误差不成简单的正反比关系;单向观测中k值要准确选取。

(2)在2″级全站仪，测距精度为2+2 ppm前提下，代替三等水准测量时，单向观测距离不大于 700 m，中间法距离不大于 1500 m;代替四等水准测量时，单向观测距离不大于 2000 m。

(3)不能将测角精度在长距离和观测条件不好时视为不变量，观测时应选择在阴天中午条件下观测。

(4)与几何水准相比，三角高程测量效率高、作业简单灵活，可作为普通高程控制测量的主要手段。

［1］张正禄.工程测量学［M］.武汉:武汉大学出版社，2005(10):201～204.

［2］李青岳，陈永奇.工程测量学(修订版)［M］.测绘出版社，1995(5):102～104.

［3］武汉测绘科技大学《测量学》编写组.测量学(第三版)［M］.测绘出版社，1991(6):377～379.

［4］徐万鹏.对高速铁路施工测量的几点看法［J］.铁道工程学报，1999(4):29～32.

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