授之以鱼不如授之以渔

刘爱华

一、教材分析

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动是高中物理问题中比较常见的情景，解决此类问题的关键是能够找出粒子的运动轨迹，然后据轨迹确定圆心，并依据几何关系得到半径.在寻找粒子运动轨迹时，我们发现：粒子进入磁场的入射点、入射角度、轨迹圆半径（轨迹圆半径由入射速度大小、粒子比荷、磁感应强度决定）以及磁场形状都会影响粒子的运动轨迹.分析粒子在磁场中运动轨迹所有可能的集合问题是这几年高考考题中时有出现的“动态圆”问题.

二、设计思路

粒子射入磁场时入射速度大小、方向及入射点的变化，使得粒子的轨迹随之变化，教学中采取控制变量的方法，依次研究只有一个因素发生变化时粒子的轨迹特点，让学生总结其中的规律，归纳出方法，然后利用归纳的方法分析粒子的入射点、入射速度大小、方向发生变化时的情况，解决实际问题.

三、教学目标

1.知识与技能

（1）能以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析.

（2）能根据轨迹圆和边界的关系，找出临界条件求解极值.

2.过程与方法

（1）利用控制变量法研究粒子入射速度大小、方向、入射点变化时粒子的轨迹变化问题.

（2）利用圆规或硬币画粒子的运动轨迹，根据临界轨迹找规律，掌握解决问题的方法.

3.情感态度与价值观

（1）感受控制变量法在物理研究中的作用.

（2）利用所学方法解决实际问题.

四、教学过程

（一）课题引入：

师：带电粒子垂直射入匀强磁场受到洛伦兹力的作用，洛伦兹力的特点是什么？

生：洛伦兹力总是跟速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度大小.

师：粒子的运动轨迹有什么特点？

生：粒子在磁场中做匀速圆周运动.

师：圆周的轨道半径如何求解？

生：根据qvB=mv2/R 求解.

师生（总结）：粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，首先要确定圆心，画出轨迹，据几何关系寻找半径，然后求解.

（二）新课教学

师：粒子垂直射入磁场时，速度大小、方向以及入射点不确定，粒子的运动轨迹就会随之变化，如果磁场是有界的，那就会出现临界条件，问题就会很复杂.我们研究问题时往往从最简单的情况入手，因此本节课我们采用控制变量的方法，依次研究只有一个因素变化引起的轨迹变化，从中寻找规律，得出方法.首先看例1.

例1空间存在垂直纸面向里、宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′、NN′是磁场的两条平行边界，在MM′上有一个粒子源，垂直于磁场沿图示方向射出速率不等的带正电粒子，粒子质量为m，带电量为+q（不计重力），要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的范围.

师：大家审题，分析粒子射入磁场时的速度特点是什么？

生：入射方向、入射点确定，大小不同.

师：速度方向不变，速度大小不同，粒子的轨迹有什么区别？

生：粒子的轨迹圆心都在垂直于速度的直线上，速度越大，半径越大.

师：对，可以利用圆规按照半径由小到大顺序做圆，寻找临界轨迹.

分析粒子射入磁场的速度特点时，老师在ppt上展示，学生能够直观理解.然后学生动手利用圆规作图，寻找临界轨迹，老师巡视指导，利用手机将学生的解题拍照，在投影仪上交流.大多数学生都能找到粒子轨迹与右边界相切时恰好不从右边界射出，从而求出速度范围.

师：请交流小结，如何处理入射速度改变的临界问题.

学生自由讨论，得出解决问题的方法.

生：粒子的速度越大，半径越大，轨迹逐渐膨胀，可以利用圆规按半径由小到大顺序做圆，寻找临界轨迹.

师：这类动态圆的轨迹会随着粒子速度的变大而膨胀，我们称为膨胀动态圆.

板书（1）：粒子的入射速度大小变化——膨胀动态圆

师：如果粒子射入磁场的速度不变，而入射点发生变化，那该如何处理呢？我们来看例2.

例2如图所示，第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场足够大，在OA之间有带正电的粒子源源不断地垂直y轴射入磁场，OA的长度d=0.6 m，粒子的速度都相同，在磁场中的轨道半径R=0.3 m，不计粒子的重力和粒子相互间的影响，求磁场中粒子可能出现区域的面积.

师：审题，判断粒子入射速度有什么特点？轨迹又有什么规律？

生：粒子射入磁场的速度大小方向均不变，因此粒子的轨道半径相同，轨迹圆大小一样.

课前老师利用A4纸制作一个大圆，用红色纸做一个箭头，圆的边缘上取一点，将箭头粘贴上去，标志为粒子的入射方向，展示给学生看.

师：老师制作的圆就是粒子的运动轨迹，大家可以找一元硬币来代替.

给学生时间思考，老师巡视时适当个别指导，学生自己能够想到轨迹会随入射点向上平移，将硬币向上平移，按硬币边缘作出若干圆弧，从而找到临界的轨迹.利用手机将学生的解题拍照进行交流.

师：根据刚刚的分析，这类粒子的入射速度大小确定，轨道半径确定，轨迹圆的大小就确定，粒子的轨迹可以用一元硬币代替.入射点改变时，怎样利用硬币寻找临界轨迹？

生：可以随着粒子入射点的改变平移硬币，沿硬币边缘作圆或圆弧，寻找临界条件.

师：对.当粒子速度大小不变时，轨迹圆大小确定，轨迹随入射点移动，我们称为平移动态圆.

板书（2）：粒子入射点改变——平移动态圆

师：找到了入射点、速度大小变化时动态圆问题的处理方法，那入射方向时刻变化的动态圆如何处理？我们来看例3.

例3如图所示，真空内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.6T，磁场内有一块挡板ab，板面与磁场方向平行，挡板足够大，在距ab的距离l=16 cm处，有一个点状发射源S，它向各个方向发射 粒子， 粒子的速率都是v=3.0×106m/s， 粒子的电荷量与质量之比 ， 现只考虑在图纸平面中运动的粒子，不计 粒子的重力和相互影响，求ab上被 粒子打中的区域的长度.

给学生审题时间，通过审题思考后，请学生说说审题后的想法.生：粒子的速度大小确定，根据 可以求出粒子做圆周运动的轨道半径.粒子的速度大小确定，轨迹圆大小确定.

当学生得出粒子轨迹圆大小确定后，很快就能迁移到上一题，想到用一元硬币代替轨迹圆，寻找临界轨迹.

师：当粒子入射方向变化时，粒子的轨迹有什么特点？

生：粒子在磁场中逆时针转动，且粒子的轨迹随着入射方向的转动而随之转动.

学生旋转硬币画圆，找到打在板上的粒子的临界轨迹，老师利用手机拍下学生的解题，在投影片上交流，请学生小结解题方法.

生：粒子速度大小确定，轨迹圆的半径确定，轨迹圆形状相同.可以旋转硬币作圆或圆弧，寻找粒子打在边界上的“最高”及“最低”点.

师：粒子的速度大小确定，轨迹会跟随入射方向的变化而旋转，这类问题我们成为旋转动态圆.

板书（3）：粒子的入射速度方向改变——旋转动态圆

师：刚刚利用控制变量法研究了粒子速度大小、方向、入射点三个因素其中一个变化时粒子的轨迹特征，并且得到了处理问题的方法，掌握了两个解决动态圆的利器：圆规和硬币.实际上粒子打入磁场时会更复杂，例如核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）.此时粒子的入射大小、方向、入射点都不确定，大家设想一下你是实验室的研究人员，如何控制粒子？如何用具体的情境来描述，请大家思考.

学以致用、如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带正电的粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内.设环状磁场的内外半径分别为R1=0.5m、R2=1.0m， 磁场的磁感应强度B=1.0T，束缚粒子的比荷为4×107C/kg，中空区域的带电粒子具有各个方向的速度.求所有粒子不会穿越磁场的最大速度.

学生自由讨论，老师提示，粒子在内圆上某点入射，沿不同的入射方向，粒子的运动轨迹的特点，当粒子轨迹与外圆相交时，粒子就会飞出磁场，与外圆相切时，恰不会飞出磁场.

师：大家可以设想一下，粒子像是狱友，而磁场就是监狱，粒子速度越大，越狱的本领越大，如果将最强越狱本领的粒子约束了，那所有粒子都能约束.但是粒子射入磁场的方向不确定，相同的速度大小（即越狱本领相同）沿不同的方向入射时能否打出磁场（能否越狱）的情况也不相同，所以首先要判断粒子从哪个方向入射时最容易射出，如果磁场能将最容易射出的方向上的最厉害的粒子约束住，那速度比该粒子小的粒子也会约束.

学生利用圆规作图，当粒子沿内圆切线方向入射，轨迹与外圆恰好相切时，此时恰不会射出磁场，若将该粒子轨迹圆顺时针旋转，轨迹圆与外圆相离无交点，粒子不会射出磁场，所以粒子沿内圆切线方向入射时最容易射出磁场，进一步找到此时刚好出射粒子的速度，即不能射出磁场临界速度.

五、课后反思

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动是高中物理问题中常见的情景，老师在讲解时常会借助工具在黑板上画若干圆帮助学生理解情景，或用Flash、几何画板等软件进行演示.这些手段往往只能让学生“听懂”，并不能让学生“会做”； “授之以鱼”不如“授之以渔”，要让学生学会解决这类问题，关键是要教会他们使用解决动态圆问题的利器：“圆规”和“硬币”.

首先借助三道例题的思考分析过程，结合老师的点拨引导，学生利用“圆规”及“硬币”自己得出三种粒子的轨迹动态变化，从而实现教学的第一目标；接下来利用所学的知识解决实际问题达成了本节课的第二目标；最后学生从研究者的角度思考：当粒子的速度大小、方向、入射点均不确定时应该如何处理？老师启发学生将磁场对粒子的束缚比喻成监狱对犯人的束缚，粒子则被比喻成希望越狱的犯人，学生很容易理解思考如何“越狱”最容易及谁最有可能“越狱”成功，最终解决了实际问题.

【本文系江苏省“十二五”规划课题《高中物理显性科学方法教育课堂的构建研究》研究成果，课题编号B-b/2013/02/230】

例3如图所示，真空内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.6T，磁场内有一块挡板ab，板面与磁场方向平行，挡板足够大，在距ab的距离l=16 cm处，有一个点状发射源S，它向各个方向发射 粒子， 粒子的速率都是v=3.0×106m/s， 粒子的电荷量与质量之比 ， 现只考虑在图纸平面中运动的粒子，不计 粒子的重力和相互影响，求ab上被 粒子打中的区域的长度.

给学生审题时间，通过审题思考后，请学生说说审题后的想法.生：粒子的速度大小确定，根据 可以求出粒子做圆周运动的轨道半径.粒子的速度大小确定，轨迹圆大小确定.

当学生得出粒子轨迹圆大小确定后，很快就能迁移到上一题，想到用一元硬币代替轨迹圆，寻找临界轨迹.

师：当粒子入射方向变化时，粒子的轨迹有什么特点？

生：粒子在磁场中逆时针转动，且粒子的轨迹随着入射方向的转动而随之转动.

学生旋转硬币画圆，找到打在板上的粒子的临界轨迹，老师利用手机拍下学生的解题，在投影片上交流，请学生小结解题方法.

生：粒子速度大小确定，轨迹圆的半径确定，轨迹圆形状相同.可以旋转硬币作圆或圆弧，寻找粒子打在边界上的“最高”及“最低”点.

师：粒子的速度大小确定，轨迹会跟随入射方向的变化而旋转，这类问题我们成为旋转动态圆.

板书（3）：粒子的入射速度方向改变——旋转动态圆

师：刚刚利用控制变量法研究了粒子速度大小、方向、入射点三个因素其中一个变化时粒子的轨迹特征，并且得到了处理问题的方法，掌握了两个解决动态圆的利器：圆规和硬币.实际上粒子打入磁场时会更复杂，例如核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）.此时粒子的入射大小、方向、入射点都不确定，大家设想一下你是实验室的研究人员，如何控制粒子？如何用具体的情境来描述，请大家思考.

学以致用、如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带正电的粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内.设环状磁场的内外半径分别为R1=0.5m、R2=1.0m， 磁场的磁感应强度B=1.0T，束缚粒子的比荷为4×107C/kg，中空区域的带电粒子具有各个方向的速度.求所有粒子不会穿越磁场的最大速度.

学生自由讨论，老师提示，粒子在内圆上某点入射，沿不同的入射方向，粒子的运动轨迹的特点，当粒子轨迹与外圆相交时，粒子就会飞出磁场，与外圆相切时，恰不会飞出磁场.

师：大家可以设想一下，粒子像是狱友，而磁场就是监狱，粒子速度越大，越狱的本领越大，如果将最强越狱本领的粒子约束了，那所有粒子都能约束.但是粒子射入磁场的方向不确定，相同的速度大小（即越狱本领相同）沿不同的方向入射时能否打出磁场（能否越狱）的情况也不相同，所以首先要判断粒子从哪个方向入射时最容易射出，如果磁场能将最容易射出的方向上的最厉害的粒子约束住，那速度比该粒子小的粒子也会约束.

学生利用圆规作图，当粒子沿内圆切线方向入射，轨迹与外圆恰好相切时，此时恰不会射出磁场，若将该粒子轨迹圆顺时针旋转，轨迹圆与外圆相离无交点，粒子不会射出磁场，所以粒子沿内圆切线方向入射时最容易射出磁场，进一步找到此时刚好出射粒子的速度，即不能射出磁场临界速度.

五、课后反思

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动是高中物理问题中常见的情景，老师在讲解时常会借助工具在黑板上画若干圆帮助学生理解情景，或用Flash、几何画板等软件进行演示.这些手段往往只能让学生“听懂”，并不能让学生“会做”； “授之以鱼”不如“授之以渔”，要让学生学会解决这类问题，关键是要教会他们使用解决动态圆问题的利器：“圆规”和“硬币”.

首先借助三道例题的思考分析过程，结合老师的点拨引导，学生利用“圆规”及“硬币”自己得出三种粒子的轨迹动态变化，从而实现教学的第一目标；接下来利用所学的知识解决实际问题达成了本节课的第二目标；最后学生从研究者的角度思考：当粒子的速度大小、方向、入射点均不确定时应该如何处理？老师启发学生将磁场对粒子的束缚比喻成监狱对犯人的束缚，粒子则被比喻成希望越狱的犯人，学生很容易理解思考如何“越狱”最容易及谁最有可能“越狱”成功，最终解决了实际问题.

【本文系江苏省“十二五”规划课题《高中物理显性科学方法教育课堂的构建研究》研究成果，课题编号B-b/2013/02/230】

例3如图所示，真空内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.6T，磁场内有一块挡板ab，板面与磁场方向平行，挡板足够大，在距ab的距离l=16 cm处，有一个点状发射源S，它向各个方向发射 粒子， 粒子的速率都是v=3.0×106m/s， 粒子的电荷量与质量之比 ， 现只考虑在图纸平面中运动的粒子，不计 粒子的重力和相互影响，求ab上被 粒子打中的区域的长度.

给学生审题时间，通过审题思考后，请学生说说审题后的想法.生：粒子的速度大小确定，根据 可以求出粒子做圆周运动的轨道半径.粒子的速度大小确定，轨迹圆大小确定.

当学生得出粒子轨迹圆大小确定后，很快就能迁移到上一题，想到用一元硬币代替轨迹圆，寻找临界轨迹.

师：当粒子入射方向变化时，粒子的轨迹有什么特点？

生：粒子在磁场中逆时针转动，且粒子的轨迹随着入射方向的转动而随之转动.

学生旋转硬币画圆，找到打在板上的粒子的临界轨迹，老师利用手机拍下学生的解题，在投影片上交流，请学生小结解题方法.

生：粒子速度大小确定，轨迹圆的半径确定，轨迹圆形状相同.可以旋转硬币作圆或圆弧，寻找粒子打在边界上的“最高”及“最低”点.

师：粒子的速度大小确定，轨迹会跟随入射方向的变化而旋转，这类问题我们成为旋转动态圆.

板书（3）：粒子的入射速度方向改变——旋转动态圆

师：刚刚利用控制变量法研究了粒子速度大小、方向、入射点三个因素其中一个变化时粒子的轨迹特征，并且得到了处理问题的方法，掌握了两个解决动态圆的利器：圆规和硬币.实际上粒子打入磁场时会更复杂，例如核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）.此时粒子的入射大小、方向、入射点都不确定，大家设想一下你是实验室的研究人员，如何控制粒子？如何用具体的情境来描述，请大家思考.

学以致用、如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带正电的粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内.设环状磁场的内外半径分别为R1=0.5m、R2=1.0m， 磁场的磁感应强度B=1.0T，束缚粒子的比荷为4×107C/kg，中空区域的带电粒子具有各个方向的速度.求所有粒子不会穿越磁场的最大速度.

学生自由讨论，老师提示，粒子在内圆上某点入射，沿不同的入射方向，粒子的运动轨迹的特点，当粒子轨迹与外圆相交时，粒子就会飞出磁场，与外圆相切时，恰不会飞出磁场.

师：大家可以设想一下，粒子像是狱友，而磁场就是监狱，粒子速度越大，越狱的本领越大，如果将最强越狱本领的粒子约束了，那所有粒子都能约束.但是粒子射入磁场的方向不确定，相同的速度大小（即越狱本领相同）沿不同的方向入射时能否打出磁场（能否越狱）的情况也不相同，所以首先要判断粒子从哪个方向入射时最容易射出，如果磁场能将最容易射出的方向上的最厉害的粒子约束住，那速度比该粒子小的粒子也会约束.

学生利用圆规作图，当粒子沿内圆切线方向入射，轨迹与外圆恰好相切时，此时恰不会射出磁场，若将该粒子轨迹圆顺时针旋转，轨迹圆与外圆相离无交点，粒子不会射出磁场，所以粒子沿内圆切线方向入射时最容易射出磁场，进一步找到此时刚好出射粒子的速度，即不能射出磁场临界速度.

五、课后反思

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动是高中物理问题中常见的情景，老师在讲解时常会借助工具在黑板上画若干圆帮助学生理解情景，或用Flash、几何画板等软件进行演示.这些手段往往只能让学生“听懂”，并不能让学生“会做”； “授之以鱼”不如“授之以渔”，要让学生学会解决这类问题，关键是要教会他们使用解决动态圆问题的利器：“圆规”和“硬币”.

首先借助三道例题的思考分析过程，结合老师的点拨引导，学生利用“圆规”及“硬币”自己得出三种粒子的轨迹动态变化，从而实现教学的第一目标；接下来利用所学的知识解决实际问题达成了本节课的第二目标；最后学生从研究者的角度思考：当粒子的速度大小、方向、入射点均不确定时应该如何处理？老师启发学生将磁场对粒子的束缚比喻成监狱对犯人的束缚，粒子则被比喻成希望越狱的犯人，学生很容易理解思考如何“越狱”最容易及谁最有可能“越狱”成功，最终解决了实际问题.

【本文系江苏省“十二五”规划课题《高中物理显性科学方法教育课堂的构建研究》研究成果，课题编号B-b/2013/02/230】