基于沉降测量的管道力学性状分析及误差评估*

李素贞，彭兴华，李新亮

(1.同济大学 土木工程学院，上海 200092；2.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

管网系统是保证社会经济发展和人民生活的重要生命线工程.埋地管道上受到直接或间接作用的荷载主要有管道结构的自重、覆土压力、管内流体的重量等恒载以及车辆荷载、地面荷载[1]、温度变化所引起的胀缩力、管道内压、上浮荷载、地震荷载、城市建设施工干扰等活荷载.城市埋地管道受高层建设或基坑开挖引起土体不均匀沉降而导致的破坏现象较明显[2-3].这些荷载导致管道的沉降变形,沿管道的整体均匀沉降将不会引起管道的安全破坏,但局部沉降变形将严重威胁管道的安全运行[4].

埋地管道沉降变形的监测手段可有沉降测量、应变片测量、倾角测量等，其中基于管道沉降位移的测量值来评估管道的安全状况是较为直接简便的方法.地震、沉降等土体移动引起的管道内力的计算方法已经有很多种[5-7].项式Limura根据在管道三点处的沉降位移测量值来线性插值求取这三点间管道的沉降位移，进而结合Winkler地基梁理论求解管道内力[8].高田至郎等根据弹性地基梁理论对受到地基沉降影响的4种情形下埋地管线进行模型化处理，提出了计算管线最大弯曲变形、接头转角、最大接头伸长量的设计公式[9].基于有限元方法的埋地管道变形受力分析为埋地管道的设计提供了先验的判断评估[10].李大勇等考虑了基坑围护结构、土体与地下管线的耦合作用，建立了地下管线、土体以及基坑围护结构为一体的三维有限元模型，分析了地下管线的管材、埋深、距离基坑远近、下卧层土质、管道弹性模量与周围土体弹性模量比等因素对地下管线的影响规律，并总结、归纳了地下管线的安全性判别方法及地下管线的工程监测和保护措施[11-12].而考虑到埋地管道变形测量误差对变形曲线拟合的影响的研究甚少，Orynyak等对埋地管道变形测量的误差做了一些讨论[13]，但对测量误差到内力计算的误差传递未明确.

基于管道沿线各点的沉降观测，本文提出了结合弹性地基梁模型的平差拟合算法，用以获得管道的连续挠曲线，进而实现管道结构的力学性状分析和安全评估.针对拟合误差的影响，运用误差传递理论进行挠度曲线及内力解算值的精度评定.基于具体算例比较了本文方法与传统的多项式拟合方法在管道力学性状评估中的优缺点.同时结合某工程实例，探讨了本文方法的可行性和有效性.

1 管道挠曲线拟合

埋地管道的沉降测量主要是沿管道一定间距上设置沉降测量觇标，利用水准仪测量各管道处的高程，进而得到其沉降位移.如图1，用水准仪沿管道的x轴测量了n个垂直沉降位移y，测点x坐标和沉降位移测量值如表1所示.

图1 管道沉降位移测量

表1 沉降测量值

现结合弹性地基梁模型，利用间接平差理论并在最小二乘原理控制下对管道的连续挠度曲线进行拟合。间接平差也称参数平差，即先用求自由极值的方法求得参数最佳估值，然后再计算观测值的平差值，最后进行精度评定[14]．

将Winkler弹性地基梁理论用于分析埋地管道的变形.外部荷载下管道的挠度可由挠曲微分方程和静力平衡条件推导，

(1)

式中EI是管道截面的抗弯刚度；K=kD，k为地基系数，D为管道直径；q(x)为作用在管道上的外部荷载.求取式(1)可得埋管的挠曲方程通解表达式为

y=eβx(Acosβx+Bsinβx)+

e-βx(Ccosβx+Dsinβx)+y1(x)

(2)

(3)

L的量纲为[长度]，是埋地管道的特征长度.β或L是与梁和地基的弹性性质有关的一个综合参数，它对地基梁的受力特性和变形特征有重要影响.特解y1(x)在任意荷载作用下一般为三次以下的多项式.现假设特解y1(x)为m次多项式函数(m≤3)，则地基梁挠曲微分方程通解的拟合函数模型可表示为：

y(x)=eβx(Acosβx+Bsinβx)+

e-βx(Ccosβx+Dsinβx)+

amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0

(4)

对每一测点xi(i=1,2,…,n)建立平差拟合的误差方程如下：

(5)

式中vi代表沉降位移的误差，yi代表沉降位移测量值.

对管道上测量的n个沉降测量位移联合列立误差改正方程，令有如下表达式：

B=

则平差矩阵方程可表示为:

(6)

求出参数的估值，如下：

(7)

2 精度评定

通过上述平差拟合后即可得到较合理的管道变形的挠度函数.考虑拟合误差的影响，现结合误差传递理论进行管道挠度曲线及内力解算值的精度评定.由误差传递理论可得，平差所得的沉降位移中误差(为精度评定的指标之一，中误差大的对应拟合精度低)为：

(8)

(2β2eβxcosβx)B+

(2β2e-βxsinβx)C+(-2β2e-βxcosβx)D+

m(m-1)amxm-2+(m-1)(m-2)am-1xm-3+

…+3×2a3x+2a2]

(9)

设管道坐标xi点处应变求解式的系数矩阵为：

βxn，2β2eβxcosβxn，2β2e-βxsinβxn，2β2e-βxcos

(10)

则由误差传递理论可推出点xi处的管道截面最大应变ε解算的中误差为:

(11)

3 算例分析

由Winkler弹性地基梁理论可解算出在集中力作用点o右边埋地管道的理论挠曲线方程为：

(12)

均布荷载作用下受固定点约束的埋地管道的理论挠曲线方程为：

(13)

其中K=kD.

图2 管道受集中荷载作用

图3 管道受均布荷载作用

现分析两种方法的拟合误差.多项式拟合模型中取m=4，5，6三种常用拟合情况，地基梁挠曲方程通解拟合模型中，取常见的m=0，1，2三种情况.测点间距=0.5L，共9个测点，施加不同大小的集中荷载和均布荷载.主要对拟合模型的挠度拟合中误差σf、应变拟合解算中误差σε做比较.

3.1 挠度值拟合精度比较

现以管道在集中荷载P分别为5 000 N，25 000 N，50 000 N和均布荷载W分别为1 000 N/m，1 500 N/m，2 000 N/m进行分析.其在两种拟合模型中不同拟合次数下的挠度拟合中误差σf分别如表2，表3所示.

表2 集中荷载下挠度拟合精度比较

表3 均布荷载下挠度拟合精度比较

由表2，表3可知，两种拟合模型对挠度值的拟合精度都较高，即使在较大管道沉降变形下也保持着较高的精度.其中地基梁挠曲方程通解拟合的挠度值与理论值完全符合，计算所得的拟合挠度值的偏差为零，挠度值的拟合中误差σf=0，在管道沉降位移较大情况下也同样适用.多项式拟合挠度值存在偏差，随拟合次数m的增大，拟合精度越高.

将5 000 N集中荷载和1 000 N/m的均布荷载下两种模型挠度值拟合的结果比较见图4,图5.图4、图5分别表示集中荷载和均布荷载下对管道沉降位移的多项式拟合和地基梁挠曲方程通解拟合情况.

3.2 内力解算精度评估

集中荷载P分别为5 000 N,25 000 N,50 000 N和均布荷载W分别为1 000 N,1 500 N,2 000 N下，两种拟合模型中不同拟合次数下的应变解算中误差σε分别如表4,表5所示.由表可知，多项式拟合模型解算的应变值与理论应变值偏差很大，解算应变的相对中误差σε较大，随着拟合次数的增加，应变值解算的精度提高，m=6是多项式最佳拟合次数，解算应变值的相对误差在10%以内.地基梁挠曲方程通解拟合模型解算的应变值与理论值完全符合，解算应变值的中误差σε=0，应变值的解算精度较高，并且在管道沉降位移较大的情况下也同样具有较高精度.

(a)多项式拟合

(b)通解拟合

(a)多项式拟合

(b)通解拟合

表4 集中荷载下应变拟合精度比较

表5 均布荷载下应变拟合精度比较

将5 000 N集中荷载和1 000 N/m的均布荷载下两种模型应变值解算结果比较如图6,图7所示.

(a)多项式拟合

(b)通解拟合

综合以上对集中荷载和均布荷载作用下的埋地管道挠曲线拟合及内力解算的分析，对埋地管道而言，地基梁挠曲方程通解拟合模型比多项式拟合模型具有较高的精度，用前者拟合管道的挠曲方程可忽略其模型误差，直接考虑测量误差对拟合精度的影响.多项式拟合模型中，拟合次数m=6是对埋地管道的最佳拟合次数.通过以上拟合解算，考虑误差传递的影响因素可知：通解拟合中特解多项式y(x)=0是对集中荷载下管道的最佳拟合函数模型；m=0是对均布荷载下管道挠曲方程拟合最佳函数模型.

(a)多项式拟合

(b)通解拟合

4 工程实例分析

选取某主干路段下的埋地天然气管道为研究对象.在临近超高层建筑的施工期间定期对其沉降位移进行测量.管道距超高层建筑基坑开挖中心100 m，圆形基坑的开挖面积为11 500 m2，开挖深度为31.1 m，采用顺作法施工.沉降测量觇标设置如图8所示，各测点的坐标值如表6所示.

图8 实测管段

表6 沉降测点坐标

分别取2011/12/05，2011/12/23，2012/02/09三天的管道沉降测量值，应用地基梁挠曲方程通解模型拟合管道挠度曲线，并解算其应变值，评估管道安全状况.拟合比较所得，求解中特解多项式m=2时管道挠度值拟合中误差最小，即为该工况下的最佳拟合函数.m=2时各时段测量数据的挠度值拟合的中误差分别为0.5 mm，0.3 mm，0.2 mm，具有较高的拟合精度.拟合挠度曲线如图9所示.

(a)2011/12/05

(b)2011/12/23

(c)2012/02/09

以2011/12/23日沉降测量值拟合的挠曲线为例，如图9(b),可以解算出该管道在此测量时段的各点的应变值.其中，最大压应变值出现在管道边沿转角处下侧，为ε=-44με；最大拉应变为ε=9με，均处于管道安全允许应变范围内.

5 结 论

基于管道沿线各点的沉降观测，本文提出了结合弹性地基梁模型的平差拟合算法，用以获得连续的管道挠曲方程，进而实现管道结构的力学性状分析和安全评估.本文主要结论如下：

1)根据埋地管道在集中和均布荷载作用下挠曲线的拟合和应变解算的误差评估，地基梁挠曲方程通解式拟合模型比多项式拟合模型精度高，并且适用于管道大沉降下的挠曲线拟合.

2)在管道受集中荷载或均布荷载作用下，地基梁挠曲方程通解拟合模型不具有拟合模型误差，故在对管道沉降位移到其挠曲线的拟合过程中，可仅考虑沉降位移测量误差的影响.

3)在本工程状况下，地基梁挠曲方程通解中特解y1(x)取二次多项式(m=2)对拟合周边管道的挠曲线并用于管道结构力学性状分析的最佳拟合次数.

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