测量絮团分维数的新方法

邢 军，丁仕强，逄薪蓉，徐继润

（大连大学 环境与化学工程学院，辽宁 大连 116622）

0 引言

在固液悬浮体系中，固体颗粒可藉双电层压缩而凝聚，也可藉絮凝剂的桥键作用而絮凝。前者可形成较为密实的聚集物，后者则形成结构松散的絮团。Gregory[1]曾经指出，如果两个相等的球体聚在一起，只形成哑铃状聚集物；如果多个颗粒发生聚集，那么聚集物形状与结构的变化形式将迅速增加。对絮团大小与形状的研究由来已久，而自从上世纪八十年代以来，非线性科学分形几何及分形数学的出现，使絮团形态结构的定量表征成为可能，相关工作已有许多进展[2-4]。

由于絮团具有统计自相似的性质，因此可用分维数对其空间结构予以定量描述。常用的絮团分维数表达形式有质量分维数D（mass fractal dimension）、线度分维数D1（one-dimensional fractal dimension）、面积分维数D2（two-dimensional fractal dimension）、体积分维数D3（three- dimensional fractal dimension）[5]。

絮团的质量分维数D与有效密度ρe、特征尺寸d的关系为[6,7]：

絮团的有效密度定义为絮团密度与流体介质密度之差，絮团特征尺寸为其等效圆直径或最大投影直径。质量分维数可由沉降法间接测量[8-10]。

絮团在不同拓扑空间内的分维数分别与絮团投影的周长L、面积A 、絮团体积V相关联：

D1、D2、D3通常由图像分析法获得[5]。图像法是目前普遍运用的絮团分维数的测量方法。针对大量不同特征尺寸的絮团，用特征尺寸度量絮团平面投影图像的周长，所得双对数曲线的斜率为絮团在一维拓扑空间的分维数（线度分维数D1）；用特征尺寸度量絮团投影的面积，所得双对数曲线的斜率为二维拓扑空间的分维数（面积分维数D2）；但絮团在三维拓扑空间的分维数（体积分维数D3）不能通过图像法直接得到，需要先将投影面积转换成絮团体积，例如可根据投影面积求其面积当量直径,再换算成球体体积V。

本文将提出一种测量絮团分维数的新方法，其基本思路是通过分析固液悬浮体系的表观粘度与絮团分形参数的关系而建立相应的数学模型，进而可通过测量体系粘度而获得絮团分维数，这样获得的分维数姑且名之为粘度分维数。

1 模型的建立

1.1 粘度模型的叠加性分析

对于低浓度悬浮体系，小Einstein[11]导出体系粘度η与分散相体积分数x 的关系为：

其中η0为分散介质（连续相）的粘度。对于较浓的分散体系，固体粒子间发生相互作用，Goodwin[12]将公式（5）修正为：

其中，系数k与颗粒聚集程度及粒间电化学作用有关。这两个模型提供的重要启发是：悬浮体系的总粘度可看作体系的各组成部分对粘度影响的叠加。例如，在浓度很低时，所有颗粒以完全分散的形式存在，体系的粘度为介质粘度及分散颗粒对粘度影响之和；浓度变大时，除分散颗粒外，出现了絮团，体系粘度则为介质粘度、分散颗粒对粘度的影响及絮团对粘度的影响这三部分之和。本文分析体系粘度时将沿用这一“叠加性”思路。

1.2 絮团结构的分类

为沿用对体系粘度的“叠加性”分析方法，本文将絮凝后固体物料的存在形式分为四类：（1）分散的单体颗粒或称0-型聚集物，指絮凝后仍单独存在的颗粒，包括从未参与絮凝的原始颗粒以及从絮团中剥落下来的单体颗粒；（2）线状絮团或称1-型聚集物，指由至少两个原始颗粒形成的直线型聚集体，构成线状絮团的所有颗粒的质量中心在同一条直线上；（3）面状絮团或称2-型聚集物，系由至少3个单体颗粒形成的平面状聚集体，其所有构成颗粒的中心位于同一个平面；（4）体状絮团或称3-型聚集物，指至少由4个单体颗粒构成的三维聚集体，其构成颗粒的中心位于三维空间内。可以看出，这四种类型囊括了固体颗粒所有可能的存在状态，从而可从分析各种类型聚集物（广义的聚集物包括0-型聚集物即分散的单个颗粒）对体系粘度的贡献着手而建立粘度与絮团分维数的数学模型。

1.3 模型建立途径之一：碰撞理论分析

显然，各类絮团对体系粘度的贡献应与其数目有关，而颗粒间的碰撞理论是研究絮团数目的有力工具。此前，笔者曾分析了各类絮团的形成机制。例如，不考虑絮团碎裂的情况下，面状絮团（2-型聚集物）的形成途径可有图1所示的五种可能（其中箭头两端的聚集物相互作用生成面状絮团）：

图1 2-型聚集物的形成机制

设原始颗粒的数目浓度为n，则絮凝后体系中存在的仍然处于分散状态的颗粒（即0-型絮团）数目正比于n，其它类型絮团的数目则与絮团中所包含的单体颗粒数有关。经过对各种絮团的详细分析，并略去絮团数目完全表达式中的次要项，笔者得出各型絮团的数目与原始颗粒数目的关系为：

其中i为絮团类型，ni为i-型絮团的数目。在低浓度体系下，数目浓度n正比于体积分数x，而各类絮团对体系粘度的贡献应正比于絮团数目，由叠加性原理可得体系的表观粘度为：

其中η(i)为i-型絮团对体系粘度贡献项的比例系数，具有粘度的量纲；ηm为纯分散介质的粘度。巧合的是，该模型中的i既是絮团类型，又与絮团的拓扑维数暗合。虽然在模型的导出过程中并未提及絮团维数的问题，但这种“巧合”使我们有兴趣继续探索体系粘度与絮团维数的关系。

1.4 模型建立途径之二：绕流阻力分析

该分析方式旨在直接建立形如式(8)的体系粘度与絮团拓扑维数的关系，进而建立粘度与絮团分维数的数学模型。

我们从单个颗粒自由沉降时的 Stokes阻力公式入手。颗粒对流体的绕流阻力（即 Stokes分析时的流体对颗粒沉降的阻力）为：

其中d 为颗粒直径，代表颗粒的特征尺寸L0；v为颗粒的自由沉降速度（或流体绕流速度）。记无颗粒存在时即纯流体的粘度为ηm，颗粒的存在使颗粒附近的流体流动受阻，即流体粘度较纯流体有相应的增加：

从(9)、(10)两式可知颗粒的存在对流体粘度的贡献为：

记单体颗粒、线状絮团、面状絮团及体状絮团的数目分别为n0，n1，n2，n3，各型絮团的平均特征尺寸分别为L0,L1，L2，L3，绕流阻力分别为R0，R1，R2，R3，其中L0,R0已如前述。虽然还很难像处理球形颗粒那样经过严格的理论推导得出各型絮团的绕流阻力，但可以预见，线状絮团、面状絮团、体状絮团的绕流阻力应分别与其长度、面积、体积成正比，即

这里的i=1,2,3分别为对应的各型絮团的拓扑维数。

不难理解，各型絮团的数目及絮团的平均特征尺寸（除单体颗粒外）均与原始颗粒数n成正比：

各类絮团的总绕流阻力为：

类比与公式(11)，各类絮团对体系粘度的贡献为：

考虑到低浓度体系的n∝x，该式可写成等式：

于是体系的总粘度如下：

这与循颗粒碰撞途径导出的公式(8)在形式上完全相同，但式中浓度的指数i已在导出过程中明确为相应絮团的拓扑维数。

2 模型的讨论

2.1 分维数的引入

考虑到线状絮团、面状絮团及体状絮团的分形特征，其对应的拓扑维数可用各自的分维数Dfi(i=1,2,3)替代，则(18)式成为：

2.2 高浓度体系下的修正

对高浓度体系，只要以固体物料的体积比粘度（即固体物料体积与液体体积之比）X代替体积分数x，则n∝X，以上的分析过程不变，于是式(19)成为：

2.3 多分散体系下的修正

对于多分散体系（即原始颗粒粒度不同的体系），只要以颗粒的平均粒度代替上述推导过程中的单体颗粒特征尺寸，仍可得到式(19)或(20)的结果，当然，式中的比例系数及各类絮团的分维数在具体数值上会有所不同。

2.4 模型与小Einstein模型的统一性

在模型(19)或(20)中，若颗粒浓度很低，则浓度的高次项可以忽略不计（即基本不存在颗粒的聚集现象），则模型回归到小Einstein粘度模型(5)。

3 模型的意义

3.1 提供了测量絮团分维数的新方法

该模型首次将表观粘度这一易于测量的宏观参数与各类絮团的分维数联系起来，提供了一种测量絮团分维数的新方法，不妨将这样测出的分维数命名为粘度分维数，以区别与传统的质量分维数、孔隙表面分维数等。

3.2 对不同类型絮团分维数的同步测量

模型首次将絮团分为线状絮团、面状絮团及体状絮团等三类，在一个数学模型里同时包括了这三类絮团的分维数并可定量测量之。

3.3 对测量过程的简化

该模型测得的絮团分维数反映了所有同类絮团的影响，不需像其它方法那样需对大量絮团个体测量后再统计处理；此外，由于应用该模型测量时，仅需测量体系粘度一个参数，避免了其它方法测量分维数时需同时测量两个参数而导致的误差。

3.4 使对絮团组成的定量分析成为可能

由于将各类絮团以及单体颗粒对体系粘度的影响分别表示，从而依据模型中各类絮团对体系粘度的相对贡献可评估不同絮团的相对组成。

关于该模型的实验研究将另文报道。

4 结语

絮团分维数是描述絮团分形结构的定量参数。本文通过不同途径导出的絮凝处理后悬浮液表观粘度与絮团分维数的数学模型，提供了测量絮团分维数的一种新方法。这种新方法可同时测出不同类型絮团的分维数，这是其它方法所不能做到的。这种方法还为研究絮凝后不同类型絮团的定量组成提供了潜在的分析工具。

[1]John Gregory. The role of floc density in solid-liquid separation [J]. Filtration and Separation, 1998, 35(4):367-371.

[2]Meakin P. Fractal aggregates [J]. Adv. Colloid Interface Sci.,1988, 28: 249-331.

[3]Sterling M C, J S Bonner, A N S Ernest, et al. Application of fractal flocculation and vertical transport model to aquatic sol-sediment systems [J]. Water Research, 2005, 39: 1818-1830.

[4]John Gregory. Optical monitoring of particle aggregates [J].Journal of Environmental Sciences, 2009, 21(1): 2-7.

[5]WANG Yili, LU Jia, DU Baiyu, et al. Fractal analysis of polyferric chloride-humic acid (PFC-HA) flocs in different topological spaces [J]. Journal of Environmental Sciences,2009, 21(1): 41-48.

[6]Meakin P. Fractals, Scaling and Growth Far From Equilibrium[M]. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998.

[7]John Gregory. Optical monitoring of particle aggregates [J].Journal of Environmental Sciences, 2009, 21(1): 2-7.

[8]Li X Y, Logan B E. Permeability of fractal aggregates [J].Environmental Science and Technology, 2001, 35(14): 3373-3380.

[9]Sterling M C, J S Bonner, A N S Ernest, et al. Aplication of fractal flocculation and vertical transport model to aquatic sol-sediment systems [J]. Water Research, 2005, 39: 1818-1830.

[10]Federico Maggi. Variable fractal dimension: A major control for floc structure and flocculation kinematics of suspended cohesive sediment [J]. Journal of Geophysical Research,2007, 112, C07012, doi:10.1029/2006JC003951.

[11]A Einstein. Investigation on Theory of Brownian Movement[M]. New York: Ed. R. Furth Dover, 1956: 55.

[12]J W Goowin. The Rheology of Dispersion [J]. J. Colloid Sci.,1975, 2: 246-293.

[13]Shiqiang Ding, Qingna Li, Xinrong Pang, et al. A Research on the Morphology and Composition of Flocs ( Part 1: Floc Breakage Disregarded) [J]. Advanced Materials Research,2013, 726-731: 1566-1572.

[14]Shiqiang Ding, Yuanyuan Wei, Xinrong Pang et al. A Research on the Morphology and Composition of Flocs( Part 2: Floc Breakage Included) [J]. Advanced Materials Research, 2013, 726-731: 1585-1590.