渗透数学思想和方法，发展学生后续学习能力

徐芳

2011版的数学课程标准把原来的“双基”改成了“四基”，增加了基本思想和基本活动经验。其中数学思想是整个数学教学的主线，是最上位的思想。基本数学思想有着四大育人功能：一是有利于完善学生的数学认知结构，二是可以提升学生的认知水平，三是可以发展学生的思维能力，四是有利于培养学生解决问题的能力。这就为数学教师提出了更高的要求，要求数学教师必须为儿童的学习和个人发展提供最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进儿童健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学上得到不同的发展。教师在教学过程中应关注数学思想和方法的渗透，将数学知识与数学思想和方法融为一体，因势利导，水到渠成，画龙点睛，有利于发展学生的各种能力，关注学生的后续学习。

一、转化思想为新知识找到一个合适的生长点

转化思想是数学思想的重要组成部分。它是从未知领域出发，通过数学元素之间的因果联系向已知领域转化，从中找出它们之间的本质联系，使问题得以解决的一种思想方法。数学的任何一个新知识，都是在原有知识的基础上发展和转化而来的。在教学中，教师可以引导学生把新问题转化成一些与之相关的、学生比较熟悉的问题，并利用已有的知识和方法加以解决，有利于学生快速高效地学习新知，而已有的知识就是这个新知的生长点。

以小学六年级数学为例，我们可以用转化的思想推导圆柱和圆锥的体积公式，把圆柱体转化成与之等底等高的长方体，把圆锥转化成与之等底等高的圆柱。前者的长方体和后者中的圆柱就是学生新知的生长点，引导学生把无从下手的新知识从这些生长点出发，运用已有的知识探索出新的结论，这样新知识的发现过程便水到渠成了。

在小学数学课本中，不仅图形问题可以运用转化思想，代数中也运用了大量的转化思想。如分数除法的运算转化为学生熟悉的分数乘法的运算；异分母的分数转化为同分母的分数，等等，因此教师在教学过程中要不断培养和训练学生自觉的转化意识，让学生学会寻找新知识的合适生长点。这既能加强旧知识与新知识的联系，使所学知识系统化，又能使各个知识点之间自然衔接。学生在自然而然的探索过程中不仅获得了新的知识，而且学会了解决问题的方法，有利于培养能力，对后续学习有很大的帮助。

二、类比思想为新知识找到一个关键的突破口

类比是利用两个对象的某些相似性，由此对象的某些性质或结论，猜测乃至证明另一对象的相应性质或结论，由处理此对象的某些方法，利用相似性移植或稍加改动后移植于另一系统，用以处理另一对象的相似的性质或结论。

类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用知识，因为很多数学问题的解题思路常常是相通的。通过渗透类比思想，学生能学会举一反三，迅速找到探索新知识的突破口，从而促进知识和方法的迁移。六年级数学中圆柱的体积公式的推导可以类比圆的面积公式的推导，比的基本性质可以类比除法的基本性质，分数的四则运算与小数、整数的四则运算都是可以类比的。例如在分数的四则混合运算的教学过程中，我把例题■×18+■×18中的■和■转化成0.4和0.6，提出一个问题：这个式子你们能计算吗？这样学生立即就类比到小数混合运算的顺序，相当于找到了分数混合运算这个新知识的突破口。有了这个突破口，学生就会举一反三，在接下来探究分数运算律的这个环节中，学生自然而然地类比小数或整数得到：交换律，结合律，分配律都可以在分数运算中运用。从中我们可以看出类比思想的魅力，正如康德所说：“每当理智缺乏可靠的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”与当代美国著名数学家波利亚所说的一样：类比是获得发现的伟大源泉。

另外，初中数学与小学数学可以类比的知识有很多，如果打好小学数学的知识基础并注重类比思想的渗透，对于初中数学的学习就会有很大益处，也可以说是真正关注了学生的后续学习。如在代数中，与整数的运算顺序和运算律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和运算律；与分数的基本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进行化简、运算。

三、特殊到一般为新知识找到一个合理的探索途径

一般包含特殊，特殊属于一般。特殊到一般可以让学生从特殊情况出发，进行观察，分析出它们具有的共同特征，然后探索出一般的结论。例如比例这一章中的《面积的变化》，是解决一个图形按n：1放大后图形的面积与原图形面积之间的比。我在教学时引导学生从特殊的长方形、正方形、三角形、圆入手，推广到所有图形；比例尺也从特殊的2：1，3：1，4：1推广到n：1。最终学生得出一个一般性的结论：一个图形按n：1放大后，图形的面积与原图形面积之间的比为n■：1。从中不难看出特殊到一般这个活动过程为这个新知识提供了一个合理的探索途径。

其实在学生的思维中，特殊占据了很重要的位置，因为它更贴近学生的已有知识经验，形象直观，便于计算，易于理解。无论是选择还是填空或者判断，学生一旦无从下手时，首先想到的就是特殊情况，学生会拿特殊的数字，或者特殊情况去计算、去尝试、去考虑。所以只要我们在数学教学过程中适当引导，就能把学生的这种本能激发出来，让学生主动地尝试用特殊到一般的探索途径，发展学生的探索能力。为后续的初中几何学习中很多从特殊到一般的定理探索提供初步认识。

四、猜测验证为新知识找到一个完善的解释过程

人类绝大多数知识的发现源于“猜想”。新大陆的发现源于当时人们对地圆说的猜想，牛顿万有引力的发现源于他对于苹果落地后产生的一连串的猜想。不仅如此，严密的数学定理的发现也可以经过合理猜想这一非逻辑手段而得到。如，现已经被美国的数学家证明了的“四色猜想”，以及至今未得到解决的著名的“哥德巴赫猜想”、“费马猜想”等。由此可见，猜想是一种重要的思维方法，是创新、创造的前奏。

例如：在学习圆锥的体积时，我让学生用课本后的模型剪下，做成等底等高圆柱和圆锥，让学生先猜测这两个物体的体积之间的关系，然后自己操作放入米或沙通过多次倾倒进行验证。课堂上我利用等底等高圆柱和圆锥，借助水进行演示实验，再次验证了之前学生的猜想，最后由学生归纳总结得出：圆锥的体积是与之等底等高的圆柱体积的三分之一。可以说猜测验证这一方法为圆锥体积公式的推导给出了一个完善的解释过程。这种对数学学习内容和呈现方式都是开放式的教学方式，能激发学生学习数学的兴趣，引导学生主动、活泼地学习，能培养学生的学习能力，发展学生的个性，从而进一步提高课堂教学的有效性。引导学生主动地从事观察、猜测、实验、验证、推理与交流等数学活动，与新课程倡导探究性学习的精神相吻合，促进学生学习方式的改变，使学生的学习过程更富有个性化，促进学生数学素养的全面提高，有助于学生的终身学习和发展。

现行的数学教材编排无论是在知识点的安排，内容的深度与广度，还是呈现方式上都是呈螺旋式上升，所以很多小学的数学思想在初中教材中会有更多的体现。我们在教学中要注意根据教材特点，创设有效的教学情境，有意识地渗透基本的数学思想方法，提高学生的数学素养，培养学生分析问题、解决问题的能力，为学生的终生学习和可持续发展奠定坚实的基础，让学生更快地融入初中数学学习中。