奈特不确定下带有红利支付的养老金最优投资策略

费为银，姚远浩，夏登峰

（安徽工程大学 数理学院，安徽 芜湖 241000）

奈特不确定下带有红利支付的养老金最优投资策略

费为银，姚远浩，夏登峰

（安徽工程大学 数理学院，安徽 芜湖 241000）

研究带有红利支付的固定供款型养老基金的最优投资问题.在奈特不确定下，建立考虑红利支付代理人的财富动态方程，同时根据代理人对不同的公司存在不同的含糊程度，利用随机控制理论刻画代理人期望效用，得到Hamilton－Jacobi－Bellman（HJB）方程，通过求解HJB方程给出代理人最优投资的显式解，最后对结果进行数值分析，定量分析了含糊和红利支付因素对代理人最优投资策略的影响.

含糊厌恶；红利支付；固定供款；随机控制；最优投资策略

随着世界人口老龄化趋势的不断加重，各国对养老金计划越来越重视，养老金的规模也越来越大，因此，研究养老金的最优投资问题是很有必要的.养老金计划主要分为固定供款型（DC）养老金计划和固定受益型（DB）养老金计划，随着社会的发展，固定供款型养老金计划成为养老保障的主流.有大量的文献从不同角度对固定供款型养老金计划的投资决策进行了研究.文献［1］研究了养老基金最低收益保障制度及其框架下的资产配置问题.文献［2］研究了当工资为一个随机过程时，缴费确定型企业年金如何对股票、国债以及银行存款进行最优资产配置的问题.文献［3－4］分别以财富水平的损失最小化和最终财富期望指数效用最大化作为目标，研究固定供款型养老金最优投资问题.文献［5］研究了仿射利率模型下固定供款型养老金的最优投资问题.但上述文献没有考虑投资过程中的不确定性因素，近年来，部分研究者在传统的投资策略模型中考虑奈特（Knight）不确定性对投资模型带来的影响.文献［6］在奈特不确定性的情况下，描述了在不同的含糊水平下资产的最优投资问题.文献［7］研究了无限寿命的投资者基于α－maxmin的预期CES效用偏好的最优消费－闲暇、投资组合和退休问题，其中含糊（ambiguity）和含糊态度（ambiguity attitude）是区别开来的.随着对养老金研究的不断深入，部分学者把奈特不确定性引入到对养老金的研究中.文献［8］针对风险厌恶程度和不同的风险测度两种情形，应用动态规划原理研究养老金最优投资策略.文献［9］在奈特不确定的基金管理者区分含糊和含糊态度下，研究了带有最低保障固定供款型养老基金最优管理问题.文献［10］考虑对不同公司有不同含糊厌恶的代理人对固定供款型养老金的最优投资问题.公司的股票分红也是影响投资者决策的重要因素，文献［11］讨论了递推多先验效用（含糊厌恶）下的比例再保险和红利优化问题.文献［12］研究了带有递归偏好的投资者在考虑股票红利支付情形下的最优消费和投资组合问题.

本文在文献［10］的基础上加入红利支付这一影响因子，同时考虑含糊厌恶和红利支付双重因素对固定供款型养老金投资的影响.首先，假设代理人是含糊厌恶的，根据投资者对不同的公司存在不同的含糊程度，刻画出代理人的期望效用，然后，建立代理人带有股票红利支付的财富动力学方程，接着建立关于投资者效用最大化的问题Hamilton－Jacobi－Bellman（HJB）方程，再求解 HJB方程得到最优投资策略，并通过数值模拟对所得结论进行相关经济学分析.

1 模型框架和基本假设

在固定供款型养老金计划中，代理人要对资产进行投资增值.假设代理人将资产分为两部分投资：一部分投资在无风险资产上，确保稳定收益；另一部分投资在风险资产上，希望获得更大的收益.代理人在对风险资产进行投资时只选择股票进行投资.为了便于讨论，只考虑两家公司的两只股票，且这两家公司有类似的生产技术，那么他们的股票价格Yit就满足

其中：μ为期望回报率；σS为系统风险波动率；σU为非系统风险波动率；t为时刻；ZSt为系统风险；Zit为非系统风险.ZSt和Zit是彼此相互独立的一维布朗运动.

本文针对公司1的代理人进行以下的研究.用下标1表示公司1的一个代理人投资在自己公司股票的状态，用下标2表示公司1的代理人投资另外一家公司股票的状态.假设代理人对两家公司股票回报率的分布都是不确定的，代理人对自己公司的含糊程度用φ1表示，对另外一家公司的含糊程度用φ2表示，其中φ1未必等于φ2.

根据文献［10］，假设代理人是含糊厌恶的，且他的生命是无限的，那么他在t时刻的期望效用Ut表达式为

根据文献［13］，令式（1）中的Δ趋近于0，则连续时间情形下的效用函数可以写成

由于代理人对自己公司和另外一家公司的含糊程度不同，因此投资到两家公司股票的资产也不同.令π1和π2分别表示投资到两家公司股票的财富值比例，π1和π2可以不相等.代理人最优投资组合的累计回报为

其中：r为无风险利率，b1和b2分别为两家公司的股票分红.将代理人最优投资组合的累计回报分为3个组成部分：投资在自己公司股票、投资在另外一家公司股票和投资在无风险资产，那么前两项的协方差矩阵为

设V（t，Wt）表示代理人在t时刻的值函数，根据式（3）有

2 最优投资策略

根据式（1）、（4）和（5）得到代理人的 HJB方程（证明略）为

其中：Vt，VW，VWW分别表示V（·）关于相应变量的一阶偏导数和二阶偏导数，

其中：κ0为常数.下面求解最优投资策略.

式（6）对v求偏导得

将式（7）代入式（6），HJB方程变为

式（8）对π求偏导得

由于

所以把Λ和Φ代入式（9）中，整理得最优的投资比例，于是有下面的命题.

命题1 在上述模型假设下，最优投资策略为

其中：π1表示代理人投资在自家公司股票上的财富比例；π2表示代理人投资在另外一家公司股票上的财富比例.由命题1易知如下结论.

命题2 当不存在含糊时，即φ1＝φ2＝0，标准的投资组合权重为

命题3 当代理人对自己公司存在含糊，而对另外一家公司极度含糊时，即φ1＞0，φ2→∞，投资组合的权重近似为

从命题3可以看出，当代理人对另外一家公司极度含糊时，代理人将所有投资在风险资产上的财富值都投在自己公司股票上，而且随着自己公司分红的增加，投资在自己公司股票的财富比例也增加.

命题4 当代理人对另外一家公司存在含糊，而对自己公司极度含糊时，即φ2＞0，φ1→∞，投资组合的权重近似为

由命题4可以看出，当代理人对自己公司极度含糊时，代理人将所有投资在风险资产上的财富都投在另外一家公司股票上，而且随着另外一家公司分红的增加，投资在另外一家公司股票的财富比例也增加.

命题5 当代理人对自己公司和另外一家公司都极度含糊时，即φ1→∞，φ2→∞，投资组合的权重近似为

由命题5可知，代理人将不会在风险资产上投资，他将会把所有的财富值都投资在无风险资产上.

3 数值分析

本文通过数值模拟说明含糊和股票分红对代理人动态资产配置的影响.根据命题1，令φ1＝0.5，γ＝1，σS＝0.2，σU＝0.3，b1＝0.01，b2＝0.01，μ－r＝0.07，考察φ2对资产组合权重的影响，结果如图1所示.

图1 φ2对资产组合权重π的影响Fig.1 Effect ofφ2on optimal portfolioπ

从图1可以看出，π1随着φ2的增加而增加，π2随着φ2的增加而减少.由于设定两公司的股票分红都是相同的，因此，在φ2＝0，即代理人对另外一家公司极其了解，而对自己公司存在含糊，代理人在另外一家公司上的投资比例高于在自己公司上的投资比例.随着对另外一家公司含糊的增加，在另外一家公司的投资就会减少，相反，在自己公司的投资相应地增加，直到两公司的厌恶程度相同时，即φ1＝φ2＝0.5时，代理人在两公司上的投资比例相同.随着对另外一家公司的含糊程度越来越大，投资在另外一家公司的资产比例就会越来越小，投资在自己公司的资产比例就会越来越大.从图1还可以看到，随着φ2的不断增加，π1和π2之和越来越小，这是因为代理人对自己公司的含糊是固定的，随着对另外一家公司含糊的增加，他对整个风险资产上的含糊也相应增加，那么就会减少在风险资产上的投资.

根据命题3，令φ2＝10 000，γ＝1，σS＝0.2，σU＝0.3，b1＝0.01，b2＝0.01，μ－r＝0.07，考察φ1对资产组合权重的影响，结果如图2所示.从图2可以看出，π2几乎一直为0，π1随着φ1的增加而减少.代理人由于是含糊厌恶的，所以当对另外一家公司的含糊十分大时，不管φ1怎么变化，代理人都不会对其投资.随着自己公司含糊的增加，投资在自己公司上的财富比例一直减少，直到自己公司的含糊无限大时，代理人投资在自己公司上的财富比例减为0，这时，代理人只会将财富投资在无风险资产上.

图2 φ2→∞时，φ1对资产组合权重π的影响Fig.2 φ2→∞，Effect ofφ1on optimal portfolioπ

根据命题1，令γ＝1，σS＝0.2，σU＝0.3，b1＝0.01，b2＝0.01，μ－r＝0.07，考察φ1和φ2同时变化对投资到自己公司股票的财富值比例的影响，结果如图3所示.从图3可以看出，随着φ1的增加，π1逐渐减小，随着φ2的增加π1逐渐增加.当对自己公司的含糊程度最大而对另外一家公司没有含糊时，代理人投资在自己公司的财富比例最小，即φ1＝1，φ2＝0时，π1最小.当对另外一家公司的含糊程度最大而对自己公司没有含糊时，代理人投资在自己公司的财富比例最大，即φ1＝0，φ2＝1时，π1最大.这和实际的经济情况是吻合的.

图3 φ1和φ2同时变化对π1的影响Fig.3 Effect ofφ1andφ2on optimal portfolioπ1

根据命题1，令φ2＝0.5，γ＝1，σS＝0.2，σU＝0.3，b2＝0.01，μ－r＝0.07.考察φ1和自己公司的股票分红b1同时变化对投资到自己公司股票的财富值比例的影响，结果如图4所示.从图4可以看到，投资到自己公司上的财富比例π1随着b1的增加而不断增加，随着对自己公司含糊程度φ1的增加而不断减小.当φ1＝1，b1＝0.02时，π1取最小值，即图4中的最低点.当φ1＝0，b1＝1时，π1取最大值，即图4中最高点.在投资过程中，投资者会尽量避免在那些自己不了解并且收益差的资产上投资，而选择投资在那些自己了解且收益好的资产上，图4中正好体现了这一点.在实际经济活动中，大部分公司都会通过各种途径的宣传来提高知名度，从而减小投资者对其公司的含糊程度，另外上市公司还会通过股票红利支付来提高投资者的收益，这两种方法都可以为公司带来更多的投资.

图4 b1和φ1同时变化对π1的影响Fig.4 Effect of b1andφ1on optimal portfolioπ1

4 结 语

本文在奈特不确定下，考虑自己公司和另外一家公司不同含糊程度和股票红利支付这两种因素对固定供款型养老金最优投资的影响，借助随机微分方程和随机控制理论，得到代理人的最优投资组合，并通过数值分析分别说明了自己公司的含糊程度、另外一家公司的含糊程度以及股票红利支付对投资组合的影响.本文通过模型的显式解以及数值分析可知：当自己公司含糊程度增加时，代理人投资自己公司的财富比例就会减少，投资到另外一家公司财富比例会增加；当自己公司股票分红增加时，代理人投资到自己公司的财富比例会增加，投资到另外一家公司的财富比例会减少.这与实际经济活动是十分相符的，由此说明本文的模型具有较为重要的实际经济意义.

本文也将在以下两个方面进一步拓展：首先，本文仅考虑两种风险资产，以后会将其拓展到多个资产上进行研究；其次，本文只是考虑含糊厌恶型代理人，没有考虑含糊喜好型代理人，而实际生活中确实存在一些含糊喜好投资者.更为一般地，当代理人具有极大极小期望效用时，投资策略将如何变化，将有待进一步研究.

参 考 文 献

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Optimal Investment Strategy for Pension with Dividend Payment under Knightian Uncertainty

FEIWei－yin，YAOYuan－hao，XIADeng－feng
（School of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu Anhui 241000，China）

An optimal investment strategy for defined contribution pension plan with dividend payment is investigated.First，an agent's wealth dynamic equation with dividend payment is established under Knight uncertainty.At the same time，the agent's expected utility function is characterized by the stochastic control theory，where the agent has different levels of ambiguity aversion to different companies.Then，the Hamilton－Jacobi－Bellman（HJB）equation is got.By solving the HJB equation，the explicit form solutions of the optimal investment strategy is obtained.Finally，the impact of the ambiguity and the dividend payment on the optimal investment strategy of an agent is analyzed through a numerical simulation.

ambiguity aversion；dividend payment；defined contribution；stochastic control；optimal investment strategy

F 224.9

A

1671－0444（2014）04－0497－06

2013－07－01

国家自然科学基金资助项目（71171003，71271003）；教育部人文社会科学规划基金资助项目（12YJA790041）；安徽省自然科学基金资助项目（090416225，1208085MG116）；安徽省高校自然科学基金资助项目（KJ2012B019，KJ2013B023）

费为银（1963—），男，安徽芜湖人，教授，博士，研究方向为金融数学与金融工程、随机控制.E－mail：wyfei＠ahpu.edu.cn