浅析古诺双寡头模型的实际应用

陈迪辉 唐 杰 李博超

（河海大学，江苏 南京210000）

纳什均衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。 假设有n 个局中人参与博弈，给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自己的最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己利益最大化。所有局中人策略构成一个策略组合。 如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。

古诺模型是一个简单模型， 假定一种产品仅由两家公司生产，且产品相同。 两家企业相互间没有任何勾结行为，但相互间都知道对方将怎样行动，从而各自确定最优的产量来实现利润最大化。

在古诺模型的基本假定：两家企业各自生产商品产量为q1和q2，商品的价格相同且不变，表示为p=a-b*(q1+q2)，其中a，b 为常数。 商品的生产成本为边际成本，每生产1 个单位的商品成本为c。

基于上述假定， 企业1 的利润u1=（p-c）*q1=a*q1-b*-b*q*1q2-c*q1，企业2 的利润u2=（p-c）*q2=a*q2-b*q1*q2-b*q22-c*q2。

对企业1 的利润u1进行分析。由于要求q1产量下的最大利润，对q1求导，可得极值点为q1=（a-c）/2b-q2/2。 再次求导，可知该点为极大值点，故在q2下企业1 的最佳策略q1=（a-c）/2b-q2/2。 同理，在q1下企业2 的最佳策略q2=（a-c）/2b-q1/2。

对于q1有，q2=（a-c）/b 时， 可理解为市场已饱和，q1=0， 即公司1的最佳对策为停止生产，若继续生产，会导致产品价格低于成本价导致亏本。 当q2=0，即企业1 垄断该产品时，q1=（a-c）/2b，此时企业1 利润最大，称此时的q1为垄断产出。

考虑到两家企业相互间知道对方将怎样行动，企业2 的商品产量为q2，由于q1=（a-c）/2b-q2/2，可知企业1 应生产q1，企业2 知道在自己生产q2的条件下，企业1 会生产的商品产量为q1，则为了利润最大化，企业2 应生产=（a-c）/2b-q1/2，同理，企业1 知道企业2 的想法，知道企业2 的产量为q2’，则企业1 会生产商品=（a-c）/2b-q2’/2，如此循环，可以证明，直线q1=（a-c）/2b-q2/2 与q2=（a-c）/2b-q1/2 的交点对应的商品产量即为纳什均衡。 对于有，q2=（a-c）/2b-即为最佳对策，对于有，q1=（a-c）/2b-。故交点为纳什均衡点。

事实上， 寡头垄断厂商经常发现它们自己处于一种囚徒的困境。当寡头厂商选择产量时，选择垄断利润最大化产量，如果寡头厂商们联合起来形成卡特尔。卡特尔是指厂商之间为了合谋而签订公开和正式协议这样一种市场结构形态。也可以说卡特尔是一种正式的串谋行为，它能使一个竞争性市场变成一个垄断市场，每个厂商都可以得到更多的利润。 卡特尔以扩大整体利益作为它的主要目标，为了达到这一目的，在卡特尔内部将订立一系列的协议，来确定整个卡特尔的产量、产品价格，指定各企业的销售额及销售区域等。但卡特尔协定不是一个纳什均衡，因为给定双方遵守协议的情况下，每个厂商都想增加生产，以期增加自己的利润，最后导致市场总产量增加，处于纳什均衡。 结果是每个厂商都只得到纳什均衡产量的利润，而这远小于卡特尔产量下的利润。

上面的这个过程，与囚徒困境十分相似。 囚徒困境是两个被捕的囚徒甲和乙之间的一种特殊博弈， 说明为什么在合作对双方都有利时，保持合作也是困难的。 如果两人都抵赖，各判刑一年；如果两人都坦白，各判八年；如果两人中一个坦白而另一个抵赖，坦白的放出去，抵赖的判十年。在这个博弈中，双方都坦白不仅是纳什均衡，而且是一个严格优势对策，即不论对方如何选择，个人的最优选择是坦白。因为如果乙不坦白，甲坦白的话就释放，不坦白的话就判一年，坦白比不坦白要好；如果乙坦白，甲坦白的话判八年，不坦白的话判十年，坦白仍然比不坦白要好。 这样，坦白就是甲的上策，当然也是乙的上策。 其结果是双方都坦白。

其实，如果甲乙都不坦白，比他们都坦白要好，诚如上面的例子，企业1 和企业2 采用卡特尔的产量比采用纳什均衡点的产量总利润要高，但这不符合个人理性，对自己不利，或者改变策略能够获得更大的好处，即使甲与乙、企业1 和企业2 互相协议，考虑各自的利益，也不会遵守协议。

综上，本文以市场生产为例介绍分析了古诺双寡头模型，并求出了在古诺模型下的纳什均衡点及最佳对策，为市场商品生产提供了依据。最后，将古诺双寡头模型与囚徒困境相比较，得出了古诺模型在实际生活中具有的指导意义。

［1］阿维纳什·K·迪克西特,巴里·J·奈尔伯夫.策略思维[M].中国人民大学出版社,2013.

［2］阿维纳什·K·迪克西特,苏珊·斯克丝.策略博弈[M].中国人民大学出版社,2009.

［3］阿维纳什·K·迪克西特.妙趣横生博弈论[M].机械工业出版社,2009.