三重约束下随机生产系统的研究

杨白玫

(上海电机学院 商学院， 上海 201306)

三重约束下随机生产系统的研究

杨白玫

(上海电机学院 商学院， 上海 201306)

绝大多数生产企业在具体生产销售过程中均会遇到3重约束： 销售量是关于价格的函数，开机生产时会产生固定成本，单位周期内生产容量有限。为了得出该类生产-销售系统的最优生产和定价策略，可以借助强CK-凹函数的一些性质。这里考虑了一个加法需求模型，在此基础上建立了一个定期盘点的随机生产-销售系统。通过研究发现，每个阶段的最优生产控制和定价策略的结构可以简单分为4个区间(s,s′,p)策略。

随机生产系统; 固定开机成本; 有限生产容量; 加法需求函数

对于所有企业来说，利润最大化是企业追求的最重要目标之一，制造企业也不例外。但是，现实中的绝大多数生产企业，在生产过程中，都会遇到多类约束的限制。在众多的约束中，有3类约束是普遍存在的： ① 在所有阶段中，每个阶段的随机需求都由当期的销售价格决定；② 每个阶段一旦决定开机进行生产，则会产生一个大于零的固定生产成本；③ 每个阶段的生产容量都是有限的，每阶段的生产量不能超过该容量限制。上述3类约束均会对企业的生产策略产生重大影响；因此，如何在上述三重约束下寻找到恰当且协调的生产策略和定价策略，对于企业实现利润最大化的目标，具有非常重要的意义。

在现有的研究文献中，鲜有学者研究同时具有三重约束的随机生产系统。现有的国内外主要集中在同时具有有限生产容量和固定生产成本的连续盘点库存系统的研究。Kok[1]研究的则是不允许缺货下的单一产品生产-库存系统，生产率则根据需求进行动态调整。Li[2]研究了一个使用允许随机强度的点过程的企业的最优生产策略。多产品的生产-库存系统下最优策略也得到了相应的研究。例如，Zheng等[3]考虑了单一生产设备生产两种不同产品的情况，该设备在同一时刻只能生产一种产品。他们比较了先到先服务原则和最长队列先服务原则，并证明了在某种意义上，最长队列先服务原则优于先到先服务原则。在Benjaafar等[4]考虑的生产系统中，生产设备从生产一种产品转到生产另一种产品时，会产生转换时间和成本。在Feng等[5]研究的系统中，生产设备并不稳定，会随机损坏。

本文的研究与同时具有有限容量、固定订货成本的随机库存系统的研究较为相似。Chen等[6]指出，具有订货成本、订货量有限的库存系统最优策略具有s-S边界的形式。Gallego等[7]则对两个边界之间策略的结构做了进一步分析。文献[8]中也考虑了一个具有订货成本、有限订货量的定期盘点库存系统。不过，在该系统的每个阶段中，订货数量只能有两种选择： 或者为零，或者为最大容量，而不能是处于两者之间的任何值。但是，上述研究均未涉及产品价格的波动。

传统的销售问题中均假设商品的价格为外生变量，未将定价问题作为决策进行思考。Whitin[9]是将定价与库存结合研究的创始者，他分析了需求由价格决定的报童问题，成为许多文章的焦点。文献[10-11]中充分探讨了具有固定订货成本和不同需求函数的定期盘点订货系统。通过运用K-凹和对称K-凹的概念，分别研究了有限阶段、无限阶段下联合定价和补给的最优策略。文献[12]中构建了一类“准-K-凹”函数。根据该类函数的性质，对订货成本为凸函数的单一产品定期盘点库存系统的订货和定价策略进行了研究，找到了对应的最优策略。文献[18]中考虑了一个具有价格调整成本的定期盘点库存模型。在他们的模型中，价格调整成本包括固定成本和可变成本。Caliskan-Demirag等[14]研究的也是定期盘点库存控制系统，在该系统中，固定订货成本与订货数量相关。并且，他们专门考虑了3种不同的固定订货成本结构，并逐一分析其分别对应的最优策略。但是，上述研究均未限定订货数量是有限的，而是假设订货数量可以无限多。

本文正是基于制造企业的背景展开的。通过分析制造企业的生产运营模式，将其归纳为同时具有三重约束的多阶段定期盘点随机生产系统。每期的生产量和产品销售价格为企业决策变量。通过构建相符的数学模型，探索对应的最优生产和销售定价策略，以此对企业提供政策性建议，帮助其降低成本，提高企业利润。

1 模型建立

考虑一个允许缺货回补的定期盘点生产系统。该生产系统一共有N个阶段。第1阶段为初始阶段，第N阶段为最后一个阶段。假设每个阶段各项活动按如下的顺序进行： ① 盘点库存水平，决定生产量(生产量有可能为0，即不生产)；② 开始生产；③ 制定销售价格；④ 实现随机的销售量；⑤ 计算所有收入和成本。

约束1在所有阶段中，每个阶段的随机需求都由当期的销售价格决定的，即第n阶段的需求Dn由当期销售价格pn决定。考虑一个加法需求模型，故第n阶段的需求为

Dn(pn)=d(pn)+εn,n=1,2,…,N

(1)

式中，εn为均值为0的随机变量;d(pn)为平均需求，同时是关于pn的单调递减函数,决定销售价格等价于决定平均需求。令pn=p(dn)为d(pn)的反函数，可知该函数同样也是一个单调递减函数。假设第n阶段的销售价格pn的取值范围为pl≤pn≤pu，则随着销售价格从pu降低到pl，平均需求则从d(pu)上升到d(pl)。

为了标记方便，令：

dl=d(pu)，du=d(pl)

当平均需求为dn时，期望收益为

r(dn)=dnp(dn)

(2)

假设该函数为凹函数。

约束2每个阶段一旦决定开机进行生产，则会产生固定生产成本k。同时，还存在单位生产成本c。

约束3每个阶段的生产容量都是有限的，假设生产容量为Q。此即每阶段的生产量不能超过Q。

在同时考虑上述三重约束前提下，假设xn为第n个阶段开始且未生产时的库存水平。由于考虑的是缺货可回补的情况，故xn可正可负。令yn为生产任务完成后的库存水平。由于生产容量是有限制的，则

xn≤yn≤xn+Q

(3)

如果在第n个阶段末，当销售完成后，库存水平为xn，则假设对应的库存成本为h(xn)。如果xn≥0，说明库存尚有剩余，则此时h(xn)代表库存持有成本；如果xn<0，说明有缺货需要回补，则此时h(xn)代表缺货成本。用函数G(y)来代表对库存水平为y,随机变量为εn的期望库存持有和缺货成本，即

G(y)=E[h(y-εn)]

(4)

那么，在第n阶段末，当生产后的库存水平为yn，对应的期望需求为dn时，此时期望持有和缺货成本为G(yn-dn)。同样，假设G(y)为凸函数。

故第n阶段的总期望成本，包括生产成本和期望持有缺货成本2个部分，可以写成

kI[yn>xn]+c(yn-xn)+G(yn-dn)

(5)

式中，前2部分表示生产成本，后一部分表示期望持有缺货成本。在生产成本的表示函数中，I[A]为指示函数，其值可以取0或1。如果状态A为真，则I[A]的值为1；否则，如果状态A为假，则I[A]的值为0。

假设Vn(xn)为初始库存水平在生产之前为xn时，从第n个阶段开始至计划期末的总的最优期望折现利润。这里，单阶段折现因子为α，α∈[0,1]。整个随机生产系统的目标是： 在计划的时间段内，寻找最优的生产和定价策略，使得总期望折现利润最大化。此时，对应的优化等式为

c(yn-xn)-G(yn-dn)+

αE[Vn+1(yn-dn-εn)]}

(6)

为了简化模型，假设

Wn(y)=-G(y)+αE[Vn+1(y-εn)]

则Vn(xn)可简写为

(7)

在此多阶段模型中，终端条件为VN+1(xn+1)≡0。

2 具体分析

为了寻求该模型的最优生产和定价策略，首先需要给出关于强CK-凹的定义，然后在一些引理基础上，得出最终的结论。这里关于强CK-凹的定义，可参考文献[7]。

如果对于所有的a≥0，b>0，Z∈[0,C]，则

G(y-a-b)}

(8)

则称函数G(·)为强CK-凹。

如果a=0且C=∞，则该强CK-凹可简化成经典的K-凹。

对于强CK-凹函数，具有如下一些性质。

(1) 对于任何非负的C和K，凹函数总是强CK-凹函数；

(2) 如果G为强CK-凹函数，则对于任意0≤D≤C和L≥K，G也是强DL-凹函数；

(3) 如果Gi是强CK-凹函数，则对于α,β≥0，αG1+βG2是强C(αK1+βK2)-凹函数；

(4) 如果G是强CK-凹函数，则对于任一随机变量X，只要E[G(y-X)]存在，则E[G(y-X)]也是强CK-凹函数。

2.2相关引理

为了寻找到最终的最优生产和定价策略，需要引入3个引理。

引理1当rn(d)为凹函数时，令dn(y)为最大化rn(d)+Wn(y-d)的表达式,则y-dn(y)关于y递增。当rn(d)为凹函数时，根据文献[11]可立即获得该引理。具体证明可通过超模态性进行证明。

引理2的证明见文献[15]。

假设给定非负值的C、K和强CK-凹函数Hn(x)，n=1,2，…,N。令

(9)

引理3当Hn(x)为强CK-凹函数时：

(10)

(11)

引理3的证明可以根据文献进行。

2.3最优策略

令

根据归纳法，可以得出定理1。

定理1Hn(x)和Vn(x)均为强Qk-凹函数，n=1,2，…,N。

下面的定理给出了每个阶段最优生产和定价策略的结构。

(1) 如果x

(12)

由此可知最优平均销售数量是关于生产后的库存水平的函数。与此同时，pn=pn(dn)是dn=dn(pn)的反函数。故当生产后的库存水平为y时，最优定价策略为

(13)

因此，定理2得以证明。

3 结 论

本文研究的是一个定期盘点生产系统。该生产系统有固定生产成本和有限生产容量，同时销售量是取决于销售价格的随机变量。通过研究表明，该最优库存策略可以被部分特征的表示为(s,s′,p)策略，该策略共分4个区间： 在其中2个区间里，最优生产策略可以被完全地精确确定，而另外2个区间里，只能被部分确定。进一步来说，在第1区域，该最优生产数量为满容量生产，而在最后1个区域，不生产是最优的。在2个中间的区域，最优生产决策要么按最大容量生产，要么至少定一个预先确定的生产后库存水平s′，或者不生产。每阶段的最优价格策略p(y)则取决于生产决策后的库存水平y。

[1] De Kok A G.Approximations for a lost-sales production/inventory control model with service level constraints[J].Management Science,1985(31)： 729-737.

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[15] Chao X,Yang B,Xu Y,Dynamic inventory and pricing policy in a capacited stochastic inventory system with fixed ordering cost[J].Operations Research Letters,2012,40(2): 99-107.

Stochastic Production System under Triple Constraints

YANGBaimei

(School of Business, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

In the process of production and sales, most firms would face triple constraints: the sales volume which depends on the selling price, fixed setup cost, and finite production limit. To achieve optimal production and pricing policy, properties of strong CK-concave functions are helpful. The research shows that the optimal production control and pricing policy can be characterized by an (s,s′,p) policy in four regions.

stochastic production system; fixed setup cost; finite production limit; additive demand function

2013 - 07 - 16

上海高校青年教师培养资助计划项目资助(ZZSDJ13007)；上海电机学院重点学科项目资助(10XKJ01)

杨白玫(1981-)，女，讲师，博士，主要研究方向为管理科学与工程，E-mail: yangbm@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2014)01 -0053 - 05

F 406.2

A