一类SIQR传染病模型在无尺度网络上的传播行为分析*

叶志勇,刘 原,赵彦勇

(重庆理工大学数学与统计学院，重庆 400054)

一类SIQR传染病模型在无尺度网络上的传播行为分析*

叶志勇,刘 原,赵彦勇

(重庆理工大学数学与统计学院，重庆 400054)

研究了无尺度网络中的具有隔离项的SIQR传染病模型，利用平均场理论对疾病的传播进行了研究分析，经过计算得到了疾病传播的临界条件R0，证明了最终疾病的消失或者爆发是由临界值来决定的。然后，通过计算机仿真表明降低感染状态的感染率和提高染病节点的隔离率可以有效地控制该类传染病的传播。

SIQR传染病模型;传播阈值;平衡点

1 引言

纵观人类社会，现实中许多网络都可以用复杂网络[1]来描述，如：因特网、神经网络和交通信息系统等。无尺度网络[2]上的传播行为：如传染病在人群中的传播、计算机病毒在网络中的蔓延、谣言在人群中的散播等，成为当前人们研究的热点问题。研究接触性网络对于传染病的理解和控制有很大的作用，网络中的节点表示系统中的元素即个体或组织，边表示各元素之间的相互作用或者联系，这有效地模拟了传染病在人类社会中的传播机制。在复杂网络中研究传染病的传播规律已经成为一种新的趋势，并且取得了一定的成果[3～5]。在无尺度网络模型中，人们较多采用SIS、SIR、SEIR等模型。如文献[6]是在SIS模型上考虑具有媒介传播的传染病动力学模型，定义了基本再生术，证明了无病平衡点的稳定性。文献[7]研究了复杂网络上标准SIRS模型的传播行为。本文研究了小世界网络中对传染病采取隔离措施加以控制的SIQR模型，计算得到传播阈值R0，证明了当R0<1时，系统存在唯一的无病平衡点，疾病经过一段时间的传播后，系统最终将收敛于该平衡点，疾病消失；当R0>1时，系统存在唯一的地方性平衡点，疾病经过一段时间的传播后，系统最终将收敛于该平衡点，即发展为地方病。本文利用Matlab软件对其模型的传播特性进行了模拟，结果表明降低感染状态的感染率和提高传染病节点的隔离率可以有效地控制该类传染病的传播。

2 SIQR模型的建立

2.1 无尺度网络模型的构造算法

考虑到实际网络的增长特性和优先连接特性，无尺度网络模型的算法构造如下：

(1)增长性：从m0个节点的网络开始，每一时间步引入一个新节点连接到原有网络中已存在的m个节点上，m≤m0。

2.2 SIQR传染病模型的建立

Figure 1 State conversion relationship of SIQR model in scale-free networks图1 无尺度网络SIQR模型中各状态之间的转换关系

其中,δ表示染病节点被隔离的概率，ε表示隔离节点被治愈的概率，γ表示染病节点被治愈的概率，a表示免疫节点丧失免疫重新进入易感状态的概率。在该模型中，处于易感状态的节点如果与某个处于染病状态的节点相连时，则以kβ的概率感染成染病节点，因此在t时刻，度为k的易感节点以kβ的概率感染成染病节点。又因为此时易感节点所占的比例为Sk(t)，所以在t时刻，度为k的易感节点被感染成染病节点的比例为kβSk(t)。同时，移出的免疫节点以a的概率重新变为易感状态的节点，由此可得，在t时刻易感节点占总节点的概率变化为-kβSk(t)+aRk(t)。同理，染病节点、隔离节点、免疫节点的概率变化分别为kβSk(t)-γIk(t)-δIk(t),δIk(t)-εQk(t),εQk(t)+γIk(t)-aRk(t)。根据平均场理论，可以得到无尺度网络中SIQR模型的传播动力学方程式：

(1)

3 SIQR模型的平衡点及其稳定性分析

令方程组(1)的右端各式为零，可以得到：

由于Sk(t)+Ik(t)+Qk(t)+Rk(t)=1，则有：

当t趋于无穷时，求出方程组(1)的稳态解：

(2)

显然，β(∞)=0是方程(2)的一个平凡解，此时方程组(1)有唯一的平衡点E0=(1,0,0,0)。此时，系统中只存在易感人群，称E0为无病平衡点。

假设f(β(∞))是连续可微的，容易得到f(β(∞))关于β(∞)是严格单调递增的，当f′(β(∞))|β(∞)=0>1时，式(2)存在一个非平凡解且β(∞)≤1。即要满足：

从而有：

定理1在无尺度网络中，SIQR传染病模型存在临界阈值R0。当R0<1时，系统存在唯一的无病平衡点，疾病经过一段时间的传播后，系统最终将收敛于该平衡点，疾病消失。

于是可以解得：

从而可以得到：

于是点E*=(S(∞),I(∞),Q(∞),R(∞))称为地方性平衡。

定理2SIQR传染病模型在无尺度网络中，当R0>1时，系统存在唯一的地方性平衡点，疾病经过一段时间的传播后，系统最终将收敛于该平衡点，疾病发展为地方病。

4 数值模拟

根据以上的讨论，本节用计算机Matlab软件进行数值模拟，研究给定的SIQR模型在无尺度网络中的传播特性。构建一个无尺度网络，取定参数N=5000，m=3，固定a=0.1,δ=0.45,ε=0.6,γ=0.55,当取β0=0.1、0.3、0.5时E的变化曲线的仿真如图2所示；固定a=0.1,ε=0.6,γ=0.55,β0=0.5，当取δ=0.2、0.4、0.6时E的变化曲线的仿真如图3所示。实验中的每个数据点的值是25次网络传播结果的平均值。

Figure 2 Curves of E when β0 changes图2 取不同β0时E的变化曲线

Figure 3 Curves of E when δ changes图3 取不同δ时E的变化曲线

通过图2可以看出，对于不同的β0值，对应易感状态节点密度S(t)的曲线不同，当β0增大时，S(t)的密度曲线偏低，这表明降低感染状态的感染率有助于疾病的控制传播；通过图3可以看出，当δ增大时，S(t)的密度曲线偏高，这表明提高染病节点隔离的概率有助于疾病的控制传播。由此可知，降低感染状态的感染率和提高染病节点的隔离率可以有效地控制该类传染病的传播。另外,在生态极限下〈k2〉→∞，所以临界阈值为0，在实验中可以看出，无尺度网络中的SIQR传染病模型存在一个非常小的阈值，这是由于网络规模的有限尺度造成的。

5 结束语

[1] Xia Cheng-yi，Liu Zhong-xin，Chen Zeng-qiang，et al. Transmission dynamics in complex networks[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2009,4(5):392-397.(in Chinese)

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[3] Li Tao,Guan Zhi-hong,Wu Zheng-ping. The spread of the virus in scale-free networks and control simulation[J]. Computer Application Research,2007, 24(12):177-182.(in Chinese)

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tion systems with heterogeneous coupling pattern:Theory and simulations[J].Journal of Theoretical Biology,2008,251(3):450-467.

[5] Zhou Tao,Yang Rui,Ren Jie. The analysis of the behavior of having the same ability to infect virus propagation model [C]∥Proc of the Complex Network Conference,2006:1.(in Chinese)

[6] Yin Li-shou, Yan Xi-hong. Stability analysis on SIS model with infective medium in complex network[J].Journal of Changchun University, 2010,20(4)：8-10.(in Chinese)

[7] Li Guang-zheng,Shi Ding-hua. The analysis of SIRS epidemic model in the complex networks[J]. Progress in Natural Science,2006,16(4):508-512.(in Chinese)

附中文参考文献：

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YEZhi-yong,born in 1966,PhD,professor,his research interests include differential equations, and dynamical systems.

刘原(1988-),女，湖南岳阳人，硕士生，研究方向为微分方程与动力系统。E-mail:ly3398382@126.com

LIUYuan,born in 1988,MS candidate,her research interests include differential equations, and dynamical systems.

赵彦勇(1987-),男，山东青岛人，硕士生，研究方向为应用数理统计。E-mail:zhaoyanyong1987@163.com

ZHAOYan-yong,born in 1987,MS candidate,his research interest includes applied mathematical statistics.

TheanalysisofaSIQRepidemicmodelinscale-freecomplexnetworks

YE Zhi-yong,LIU Yuan,ZHAO Yan-yong

(School of Mathematics and Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China)

A SIQR epidemic model with quarantine in scale-free complex networks is investigated.by means of the mean-field theory,the spread of the disease is studied.ThresholdR0is obtained by calculation,and it is proved that the disappearance or eruption of the disease is determined by thresholdR0. .Computer simulation indicates that reducing infection rate and improving the isolation rate of infected nodes can effectively control the spread of infectious diseases.

SIQR model;threshold;equilibrium

1007-130X(2014)08-1524-04

2012-10-26;

：2013-04-15

重庆市教委资助项目组(KJ080622)

：刘原(ly3398382@126.com)

TP393.08

：A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.08.017

叶志勇(1966-),男，四川富顺人，博士，教授，研究方向为微分方程与动力系统。E-mail:757511497@qq.com

通信地址：400054 重庆市重庆理工大学数学与统计学院

Address:School of Mathematics and Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,P.R.China