一类具变指数源的p-Laplace方程解的爆破时间下界

孟繁慧，高文杰

(1.长春金融高等专科学校，长春 130028;2.吉林大学数学学院，长春 130012)

一类具变指数源的p-Laplace方程解的爆破时间下界

孟繁慧1，高文杰2

(1.长春金融高等专科学校，长春 130028;2.吉林大学数学学院，长春 130012)

考虑一类具变指数源的p-Laplace方程的Dirichlet边值问题解的爆破性质，通过构造恰当的辅助函数并利用一阶微分不等式，得到了解爆破时间的下界估计.

变指数源;p-Laplace方程;爆破时间下界

0 引 言

考虑如下具变指数源的p-Laplace方程:

其中:Ω是ℝn(n≥3)中具光滑边界的有界区域;1＜p＜2;初值u0(x)是Ω上的非负连续函数.本文总假设连续函数q(x)满足如下条件:

非线性发展方程(1)可描述物理、化学和生物种群动力学中的很多现象，并可描述牛顿流体的扩散规律［1-2］.由于非线性扩散或非线性源可能导致方程产生奇性解，因此除了解的适定性外，对形如方程(1)的非线性方程解的奇性研究也是非线性发展方程的重要内容.目前，对发展方程解的爆破性质研究已取得许多结果［3-7］.

Payne等利用一阶微分不等式得到了具齐次Dirichlet边界条件的半线性热方程解的爆破时间下界估计［8］，并通过修正该方法，得到了具齐次Neumann边界条件和Robin边界条件的半线性热方程解的爆破时间下界估计［9-10］.文献［11-13］也利用一阶微分不等式研究了不同边界条件下半线性或拟线性方程爆破时间的下界.

基于此，本文考虑方程(1)解的爆破问题，并给出一定条件下爆破时间的下界估计.方程(1)弱解的局部存在性可以用标准的正则化方法得到［14］.由于q(x)＞1，方程(1)的弱解还是唯一的，且当初值适当大时解在有限时刻爆破［15］.

1 主要结果

假设方程(1)的解在有限时刻t*爆破.下面利用一阶微分不等式技巧并结合Sobolev嵌入不等式给出爆破时间t*的下界估计.

定理1 设q(x)满足式(2)，u(x，t)是方程(1)的非负解，使得φ(t)在t*时刻爆破，其中

则φ(t)满足如下一阶微分不等式:

从而可得爆破时间t*的下界估计:其中C1和C2为只依赖于n，p，q(x)，Ω的正常数.

证明:首先对式(3)两端分别关于t求导并利用方程(1)和分部积分公式可得

对于任意的时间t＞0，把区域Ω分成两部分:

下面估计式(6)的最后一项:

利用Hölder不等式、Young不等式并结合常数k的假设条件，可得

结合式(8)～(10)可得

对式(11)右端第二项应用Schwarz不等式，有

其中Cs是Sobolev嵌入不等式中的最佳常数.

将式(13)代入式(12)，可得

再次利用Young不等式得

其中ε＞0为待定常数.结合式(11)和式(15)有

对微分不等式(17)在(0，t)上积分，可得证毕.

注1 定理1可以推广到具变指数源的双重退缩问题:

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(责任编辑:赵立芹)

Lower Bounds for the Blow-up Time of Solutions to a Class of p-Laplace Equation with Variable Sources

MENG Fanhui1，GAO Wenjie2
(1.Changchun Finance College，Changchun 130028，China; 2.College of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China)

This paper deals with the blow-up properties of solutions to a class ofp-Laplace equation with variable sources.Constructing suitable auxiliary functions and making use of the first order differential inequality technique，the authors obtained a lower bound for the blow-up time of solutions to such equations under Dirichlet boundary conditions.

variable source;p-Laplace equation;lower bound for the blow-up time

O175.8

A

1671-5489(2014)03-0435-04

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.03.06

2013-11-26.

孟繁慧(1965—)，女，汉族，硕士，副教授，从事偏微分方程的研究，E-mail:hui_2182@sina.com.通信作者:高文杰(1956—)，男，汉族，博士，教授，博士生导师，从事偏微分方程的研究，E-mail:wjgao@jlu.edu.cn.

国家自然科学基金(批准号:11271154)和吉林省高教研究重点项目(批准号:吉高教字2012［45］).