案例教学法在《概率论与数理统计》课堂教学中的应用

摘要：针对《概率论与数理统计》传统教学中存在的重理论轻实践、重知识轻能力的不足，本文在简要分析了案例教学法的内涵及其教学步骤的基础上，将案例教学法应用于《概率论与数理统计》古典概型知识点的课堂教学中，取得了良好的教学效果。

关键词：概率论与数理统计；案例教学法；应用

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）20-0080-02

一、引言

随着现代科学技术的不断进步与计算机技术的飞速发展，无论在自然科学领域还是在社会科学领域中，传统的肯定性数学已经不能合乎要求地解决所遇到的各类理论问题及应用问题，因而在这个过程中随机性数学即概率论与数理统计得到了突飞猛进的发展[1]。长期以来，随着概率论与数理统计在理论上不断成熟与完善，它在自然科学、社会科学、工农业生产、工程技术等领域中的应用日益广泛和深入。当今许多新兴学科诸如信息论、控制论、可靠性理论、人工智能等都以它为基础；它与基础学科相结合已发展出许多边缘学科，如生物统计、统计物理、数理经济等。基于上述实际应用背景，概率论与数理统计的重要性越来越受到人们的重视。概率论与数理统计课程已成为理工科各专业大学生的一门必修课程，也是目前全国研究生入学数学统考试题中重要内容之一。因此，学习与掌握概率论与数理统计的基本理论与应用，不仅是将来从事科学研究与工程实际工作的需要，也是继续学习现代科学技术与个人深造的需要，也是高度发展的现代科学技术对现代化人才提出的基本要求[1]。

概率论与数理统计课程是研究和探索随机现象统计规律的一门数学科学。通过本课程的学习，培养理工科学生灵活地运用概率论与数理统计的基本理论和方法处理和解决客观世界中实际随机现象问题的能力。然而，长期以来以老师为中心的灌输式、填鸭式的《概率论与数理统计》教学模式过于侧重理论推导和计算技巧训练，忽视对学生解决问题的思想方法和应用能力的培养。在上述传统教学活动过程中学生往往只是被动的听众，并没有主动地参与教学活动，不能充分发挥学生的主动性和积极性，更谈不上利用概率论与数理统计的方法去解决实际问题。因此，如何提高课堂效率和达到最佳教学效果成为从事此类教学工作的教师长期关注和研究的问题。针对这种情况，许多高校都提出了《概率论与数理统计》案例教学法[2-4，6-9]，而如何在课堂上实施案例教学成为教学工作者研究的重点内容。

结合多年的教学实践，针对传统教学法存在的不足，笔者就在《概率论与数理统计》课程的古典概型知识点的课堂教学中如何合理地应用案例教学法提出自己的一些认识和见解。

二、案例教学法的内涵及优势

案例教学法自20世纪初被美国哈佛商学院倡导用于管理学教育以来，已被许多国家的教学实践证明是一种具有启发性、实践性并有利于提高学生应用能力和综合素质的教学方法[5]。

案例教学法是以案例为基础的教学方法，教师在教学过程中，根据课程教学内容和教学目标的需要，选择含有问题或疑难情境在内的真实发生的典型事件（案例），采用引导、启发、参与等多种教学方式，通过深入分析、讨论和交流的教学互动过程，以设计者和激励者的角色组织学生积极参与课前精心设计的案例所提供的客观事实和问题的分析和讨论，提出见解并做出判断和决策，从而加深学生对课堂教学内容理解和提高学生分析问题和解决问题能力的一种教学方法。案例教学法具有教学目的明确、引用案例客观真实、对学生有深刻的启发性、充分发挥学生主体性、较强的实践性等特点，在实际教学过程中发挥着重要的作用[10]。

与传统教学法相比，案例教学法具有明显的优势[6]，具体包括：①有利于提高学习的趣味性；②有利于调动学生学习的主动性；③有利于提高学生的语言文字表达能力；④有利于培养学生交流和合作的意识；⑤有利于实现教学相长。同时，大量研究表明：案例教学法可以调动学生学习的主动性与积极性，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，从而达到“教”和“学”的互动交流，增强师生之间的沟通，有助于生动活泼的课堂气氛的形成。

三、案例教学法在课堂教学中的应用

1.案例教学法的应用步骤。根据案例教学法的上述内涵可知，案例教学法是在课堂教学中对案例进行深入分析和讨论的基础上引入某一基本概念或理论知识，并不是简单地实例推理、求解，而这样可以提高学生对这一知识的理解和掌握，进一步提高学生的学习兴趣和增强学生发现、分析和解决实际问题的能力。因此在课堂上应用案例教学法时，通常要遵循以下几个步骤。

（1）根据所讲授的知识点内容，精选案例。案例与一般的例题不同，必须有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解，任何理想化的、脱离实际的例子都会误导学生，从而失去教学的意义，这是实施案例教学的前提条件。选出的案例要求主题突出、有理论深度，而且具有真实性、针对性、典型性和时代性，是大家共同感兴趣的话题。总体而言，为了达到良好的教学效果，应选择与相应专业比较贴近的案例，以便调动学生学习的积极性。

（2）对挑选出的案例进行问题设计，做好案例的讨论、分析。案例的讨论与分析是案例教学的中心环节。对案例进行讨论的目的是提出解决问题的途径与方法，可以从自身角度出发来剖析案例，说明自己的观点和看法。教师要掌握讨论的进程，让学生成为案例讨论的主体，同时把握好案例讨论的重点和方向，进行必要的引导。同时，在组织案例教学时要辅以各种有效的教学方法，如启发式教学、讨论式教学，让学生积极参与，大胆发表意见，提出观点，深入思考，激发学生的学习热情及科研兴趣，使案例教学效果达到最佳，培养学生运用概率统计原理解决实际问题的能力[2，7]。

（3）对所选的案例所解决的问题一定要进行归纳总结。案例总结是保证和提高案例教学质量的必备环节。对案例的总结一般要包括以下内容：一是对讨论过程进行总结，对于一个案例，让学生提出各种观点及其案例所包含的概率统计原理，让学生通过分析和评价案例，掌握正确处理和解决复杂多变的现实问题的思路与方法[2，7]；二是教师对案例中的重点、难点问题作补充或提高性的阐述，指出学生在分析案例时存在的问题，并提出需要进一步深入思考的问题[2，7]；三是教师自身在课后进行总结分析，所选取的教学案例是否恰当，与课堂知识点的结合是否良好，案例教学是否达到了预期效果，存在哪些问题，以便加以改进[7]。endprint

2.案例教学法应用实例。在教授古典概型时，可以采用如下步骤进行案例教学。

（1）案例引入。引入掷骰子实验，提出的问题是：①实验的可能结果是什么，是否是有限的？②每一个实验结果是否是等可能出现的，概率为多少？③掷骰子掷出偶数点的概率是多少？

（2）案例分析与讨论。首先，分析掷骰子的实验结果即样本空间？赘={1，2，3，4，5，6}，从而得到实验的结果是有限个；其次，讨论每一个实验结果是否等可能的发生，经过讨论得出在骰子质量均匀分布情况下，每个实验研究结果都是等可能发生的，从而得出每个实验结果出现的概率为■；然后，在第二个问题讨论的基础上，得出偶数点的出现概率为出现点数为2、4、6的概率之和，即■+■+■=■=■。

（3）归纳总结。

（a）经过归纳可知，掷骰子实验有两个特点：①实验的结果是有限的；②实验的每个结果是等可能发生的。凡是满足上述两个特点的实验，都属于古典概型的范畴，从而引入了古典概型的概念。为了加深学生对古典概型的认识，也可以对抛硬币、抽取产品、买彩票等实验进行分析，以判断它们是否为古典概型。

（b）授课教师在课堂上通过引导学生参与讨论与分析，总结出古典概型中事件A的概率计算公式，即

P（A）=■

（4）实例应用。在公园门口，一个摆地摊的赌主将8个白色的、8个红色的乒乓球放在袋子里。赌主规定：自愿摸彩者在交1元钱的“手续费”后，可一次性从袋子中摸出5个球；在摸出的5个乒乓球中，有5个红球奖励20元，有4个红球奖励2元，有3个红球奖励价值5角的纪念品，而仅有1个或2个红球则无任何奖励。由于本钱较少，许多围观者都跃跃欲试，有的竟连摸数十次，结果许多人“乘兴而摸，败兴而归”，获奖者寥寥无几，这是怎么一回事呢？请计算能获得20元和2元奖励的概率分别是多少？假如每天按摸球1000次计算，赌主一天可挣多少钱？

分析：由题意分析可得，从袋子中取球属于古典概型，因此摸到红球的概率计算可采用上述古典概型事件概率计算公式。从袋子中摸出5个球的情况共有C■■种，摸到5个红球的情况有种C■■，摸到4个红球的情况有种C■■C■■，摸到3个红球的情况有种C■■C■■。因此，摸奖者获得20元奖金的概率为C■■/C■■=0.0128，获得2元奖金的概率为C■■C■■/C■■=

0.128，获得纪念品的概率为C■■C■■/C■■=0.359。由此可以看出，摸奖者获得20元和2元奖金的概率都比较低，所以许多人都“乘兴而摸，败兴而归”。假定一天摸球1000次，按照上述计算得到的概率值，获得20元奖金的次数为13次，获得2元奖金的次数为128次，获得纪念奖的次数为359次，因此赌主支付的奖金总额为13×20+128×2+359×0.5=695.5元，而赌主收到的摸彩手续费为1000元，则赌主一天可挣1000-695.5=304.5元。

从上述实例中可以看出，摸彩是一种欺诈行为，赌主保赢不输。通过上述案例教学，学生在课堂上不仅学习了新知识，还增强了自身对社会诈骗行为的防范意识，进而激发学生的学习兴趣。

四、案例教学法的应用效果

与传统的灌输式教学方法相比，案例教学法可以充分发挥教学互动的优点，体现学生是教学主体，使原本枯燥刻板的数学概念、数学理论变得直观易懂。教师结合案例的应用，用通俗易懂的教学方式将这些理论讲细、讲透，让学生真正理解并掌握案例所涉及的理论知识，从而降低专业课的理论难度；案例教学法的讨论模式既丰富了教学形式，又要求学生灵活地运用所学知识，模拟解决实际问题，促使学生主动思考、分析、解决问题；同时，学生间、师生间的合作分析与研讨还可以锻炼和提高学生合作共事与交流协作的能力[8，9]。

与其他教学法相比，在《概率论与数理统计》课堂教学中应用案例教学法可以更好地加深学生对基本概念的理解和对理论与方法的掌握；实施案例教学法可以显著提高学生对《概率论与数理统计》课程的学习积极性与主动性，增强学生的实践能力、创新能力、语言表达能力，从而取得良好的教学效果。

参考文献

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[9]王利超，吕丹，刘婷.“案例教学法”在概率论与数理统计教学中的应用[J].统计与咨询，2009，（1）：42-43.

[10]于兰，杨颖.案例教学法在“思想道德修养与法律基础”中的运用[J].教育与职业，2013，753（5）：110-111.

基金项目：西安理工大学教改项目（108-00J1104）。

作者简介：鞠花（1976-），女，河南邓州人，讲师，硕士，主要从事概率论与数理统计、线性代数研究。endprint