Adaptive Image Denoising Based on the Improved Threshold Function*

JI Feng，LI Cui，CHANG Xia，WU Yangyu

(1.School of Mathematics and Information Science，Beifang University of Nationalities，Yinchuan 750021，China; 2.The Library of Beifang University of Nationalities，Yinchuan 750021，China)

Adaptive Image Denoising Based on the Improved Threshold Function*

JI Feng1*，LI Cui1，CHANG Xia1，WU Yangyu2

(1.School of Mathematics and Information Science，Beifang University of Nationalities，Yinchuan 750021，China; 2.The Library of Beifang University of Nationalities，Yinchuan 750021，China)

Bayes Shrink modifies wavelet coefficients with soft threshold function.This method reduce the quality of images due to a constant bias between the original wavelet coefficients and modified wavelet coefficients.Considering that the amplitude of noise coefficients reduced with the increase amplitude of wavelet coefficients，we proposed an adaptive threshold function bearing scalability.Our method overcome the constant bias produced by soft threshold function and can provide the adaptive bias between the original wavelet coefficients and modified wavelet coefficients according to the amplitude of wavelet coefficients.Bisection method has been adopt to get the optimal value of the dilation factor m in accordance with the characteristics of images.The experimental results show that the improved threshold function can get better denoising effect than classical soft threshold function.

image denoising;adaptive;threshold function;psnr

图像在获取和传递的过程中会受到噪声的污染，去除噪声同时保留图像的细节信息尤为重要［1-3］。图像去噪实现了这个过程，其目的是通过滤除噪声，从含噪图像中恢复图像并尽可能的保留图像的重要信息。随着Donoho和Johnstone在小波阈值方面做的开创性工作，近年来大量文献用这种非线性技术处理加性高斯白噪声，并呈现出许多改进的小波阈值去噪理论［4-6］。

阈值化小波系数去除高斯白噪声的思想依赖于信号和噪声在小波域中的不同性态表现:随着尺度的增加，噪声系数的幅值迅速衰减接近于零;而真实信号系数的幅值保持不变［7］。阈值去噪法的理论是将小波系数与给定阈值比较:当系数幅值小于阈值时，将该小波系数置零;当系数幅值大于阈值时，将小波系数保留或修正。其中阈值的选择至关重要:阈值较大会扼杀小波系数，反之会保留较多的噪声，降低去噪图像质量。目前Visu阈值，Sure阈值，Bayes阈值，Bivariate阈值是主要的阈值选取方法。Bayes阈值事先假设小波系数服从广义高斯分布，通过最小化贝叶斯风险函数得到最优阈值，是目前极为受欢迎的阈值选取法之一［6，8-10］。文章选用Bayes阈值，应用改进的自适应阈值函数对小波系数进行修正，提高了去噪图像的质量。文章第2部分陈述了Bayes阈值的建立理论，第3部分提出新的自适应阈值函数，给出实验结果，并对实验结果进行分析。

1 Bayes阈值建立理论

Bayes阈值的建立以经验观察为背景，认为自然图像的各子带系数服从广义高斯分布，该经验被图像处理领域广为接受并应用。贝叶斯方法在假设系数事先服从广义高斯分布的前提下，将均方误差用对应的贝叶斯误差风险函数近似估计，通过最小化贝叶斯风险函数得到最优阈值。

含噪模型:

其中Y表示观测图像，X表示原始图像，ε表示噪声。Y，X，ε相互独立，ε独立同分布于正态分布N(0，σ2)，带有形状参数β(0.5＜β＜1)的GGD能够充分描述自然图像庞大的系数，在众多图像处理中广泛应用［11］。为此，假设真实图像:

上式中σX是原始图像标准方差，β为形状参数，σX＞0，β＞0。

图像去噪的目的是通过观测值Y得到X的估计^X使得均方误差的风险函数E(^X-X)2最小。根据贝叶斯估计，记

其中^X=φT(Y)，Y|X～N(X，σ2)，令β=2，X～N(0，σ2X)此时

概率密度函数:

软阈值函数:

最小化贝叶斯风险函数得到最优软阈值:

σ为噪声标准差

其中Yij∈HH1是小波变换得到的子带系数; n×n表示系数所在子带的大小。

通过最小化贝叶斯风险函数，得到最优软阈值TB=σ2/σX，参数σX和σ需从观测数据中估计，该方法考虑了系数的概率统计特性，计算简单，应用方便。

2 改进的图像去噪方法

2.1 改进的软阈值函数

VisuShrink、SureShrink、BayesShrink在寻找最优阈值的时候都考虑了软阈值函数作为小波系数萎缩准则［12］，其表达式如下:

由此可知，修正过的小波系数与含噪小波系数总存在统一的偏差T。根据噪声小波系数幅值的分布特性:当信号小波系数远大于阈值时，噪声表现越不明显，噪声系数相对幅值较小。硬阈值函时直接保留较大幅值的含噪系数，这种处理势必会在图像边缘加入噪声，降低去噪图像边缘质量;而经典软阈值处理对所有系数做一致的收缩，修正前后的系数存在恒定的偏差T，不满足噪声系数随小波系数幅值增大而减小的特点，同样降低去噪图像的质量。基于此，本文提出一种改进的阈值函数，在式(12)中统一的偏差T的基础上加入伸缩因子，将偏差与含噪小波系数的关系建立起来，保留较多的图像细节。其表达式如下:

其中，m为正数且m的取值随着图像不同有不同的最优值，文中采用二分法针对不同图像确定m对应的最优值。如式(13)，根据函数性质可以判断:当m=0时，式(13)为硬阈值函数;该函数同软阈值函数一样具备连续性特点，对于y取任意值，其都具备高阶可导性;当小波系数|y|→∞时，修正后的小波系数^y→y，克服了软阈值函数，如式(12)带来的^y与y之间总存在恒定偏差T的问题，提高了去噪图像的质量。新阈值函数的优良特性使得其在去噪领域广泛应用。

2.2 实验

实际应用中，理想图像在接收端的未知性决定了定量评估图像去噪性能问题的复杂性，为了表现文章所提方法的去噪能力，我们选取4幅大小均为512×512的原始图像:Lena，Barbara，Pepper和Mandrill，如图1(a)～1(d)所示。图像分别加入噪声方差为:10，20，30的加性高斯噪声，运行环境为Intel (R)Core(TM)i3-2350M，CPU 2.30GHz，内存2.00GB，MATLAB7.0.1上进行试验。

图1 实验源图像

图像经过二维离散小波变换，分别对图像进行3层，5层，6层小波分解;高频子带小波系数选BayesShrink和ProposedMethod两种不同方法进行去噪，图2(a)～2(c)，图3(d)～3(f)分别为lena图，mandrill图添加噪声水平为:10，20，30的含噪图像;图2(a0)～2(c0)，图3(d0)～3(f0)为应用Bayes-Shrink的去噪结果图;图2(a1)～2(c1)，图3(d1)～3(f1)为应用本文所提算法的去噪结果图(针对图像6层分解的去噪结果)。

图2 噪声方差分别为:10，20，30的lena图应用本文所提方法的去噪结果

图3 噪声方差分别为:10，20，30的mandrill图应用本文所提方法的去噪结果

实验结果由PSNR来做定量评估，去噪图像越接近干净图像，其PSNR值越高。表1呈现了BayesShrink和ProposedMethod得到的PSNR值。从表1可以看出:针对同一图像添加不同噪声方差，文中所提方法表现了不同的去噪能力;对于含有不同信息特征的lena，pepper，barbara，mandrill图均能够很好的提取图像特征并进行表示，从而得到质量较高的去噪图像;不同图像同一噪声方差对应的最佳m值不同，实验中m的范围在0～2之间，我们采用二分法来依据图像特点寻得最优的m值。

表1 分别添加噪声水平为10、20、30的lena、pepper、barbara、mandrill图对应的去噪图像PSNR值

实验选Pepper图，分别添加噪声方差为10、20和30的高斯噪声，应用二分法筛选出使得PSNR最大的最优m值，文章选取三组m值应用于文章所提算法，对应的PSNR值如表2所示。图4(a)所示为pepper图添加噪声方差30的含噪图像，图4(b)～4(d)为选取9组m值应用于文章所提算法对应的pepper图去噪图像。从表2很清晰的可以观察出调节因子自适应选取对去噪效果的影响。

图4 噪声方差为30的pepper图使用三组m值应用本文所提方法的去噪结果

表2 添加噪声水平为10、20、30的pepper图选用不同m值对应的去噪图像PSNR值

3 结论与展望

文章结合贝叶斯阈值提出了一种改进的阈值函数进行图像去噪，改进后的软阈值函数具有误差伸缩性，针对不同图像不同方差的高斯噪声可以自适应选取m值达到最佳去噪效果，在处理lena图，pepper图等含有大量自由纹理信息特征的图像和含有大量直线奇异特征信息的Barbara，Mandrill图象时，该方法均能够很好的提取其特征并进行表示，表现了优良的去噪能力，去噪后图像质量明显优于BayesShrink方法。

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纪峰(1974-)，男，宁夏灵武市人，副教授，硕士生导师，主要研究方向为计算机图形图像处理，虚拟现实与仿真，nxjifeng@163.com;

李翠(1987-)，女，汉族，山西省忻州市人，硕士研究生，主要研究方向为图形图像处理，licui2006060222@163.com。

基于改进阈值函数的自适应图像去噪方法*

纪峰1*，李翠1，常霞1，吴仰玉2
(1.北方民族大学数学与信息科学学院，银川750021;2.北方民族大学图书馆，银川750021)

经典的BayesShrink通过软阈值函数对小波系数进行修正，使得原小波系数和修正小波系数存在恒定偏差，降低了去噪图像质量。文章利用噪声系数幅值随小波系数幅值的增大而相对减小的特点，构造了具有伸缩性的自适应阈值函数，该方法克服了软阈值函数产生的恒定偏差，依赖小波系数幅值对原始系数和修正系数间的恒定偏差自适应调节。伸缩因子m根据不同图像特点采用二分法自适应寻得最优值。实验结果表明改进后的阈值函数相比经典软阈值函数去噪效果较优。

图像去噪;自适应;阈值函数;峰值信噪比

TP391

A

1004－1699(2014)03－0351－04

2013-11-13修改日期:2014-02-25

C:6140

10.3969/j.issn.1004－1699.2014.03.015

项目来源:国家自然科学基金项目(61102008);教育部重点实验室开放基金项目(IPIU012011006);宁夏自然科学基金项目(NZ13097);北方民族大学科研项目(2011Y021)