一种确定奇异值分解降噪有效秩阶次的改进方法

王建国，李 健，刘颖源

(东北电力大学 自动化工程学院，吉林 吉林 132012)

有效消除噪声影响一直是旋转设备故障诊断研究的重要内容之一[1]，特别是故障早期，由于调制源弱，早期故障信号微弱，并且受周围设备的噪声干扰，导致故障特征难以识别[2]。因此，最大限度地提高振动测量信号的信噪比[3-5]，是为故障特征信号的提取做好前期工作的重要环节[6-7]。

振动信号Hankel矩阵奇异值分解，作为一种非线性滤波方法，可以用于消除信号中的随机噪声成分，提取信号中的周期成分，得到相对纯净的故障信号[8-9]。

如何确定奇异值有效秩阶次是该方法的关键技术之一，目前采用方法相对较多的是试凑法和均阀法，然而这两种方法对操作者的经验要求相对较高，且不易掌握。另一种方法是根据原始信号主频个数的二倍关系来确定奇异值分解降噪的有效秩阶次的方法[10]，该方法对仿真信号进行试验分析取得了较好的效果。但是在实际工程应用中，由于工况的复杂性，振动信号的幅值和频率伴随脉动激发力的产生将出现调制现象，导致频带发生大幅度迁移，加之噪声信号大量存在，使原始信号的主频个数往往难以区分，致使有效秩阶次难以确定。为此本文提出了基于Hankel矩阵和奇异值差分谱单边极大值分解技术，研究奇异值分解降噪特性消除系统信号中混合噪声的改进方法。从奇异值差分谱出发，避免了主频个数不容易确定问题的发生，实际测试中取得了较好的效果。

本方法提供了一个确定有效秩阶次的选取原则，使得操作者能够有效地、快速地确定选取阶次，而不用在单纯依靠操作者的经验来进行选取，提高了可操作性和实用性，避免了传统差分方法只取最大值点的局限性，采用单边极大值原则使得选取方法有效避免了过降噪现象发生，为后续故障诊断提供了有利的保证。

1 奇异值分解降噪机理

假设从滚动轴承测得的含有噪声的数据信号为y=[y1,y2,…,yN]，基于相空间重构理论，可以将上述数据构造成p×q阶Hankel矩阵：

(1)

式中Hm为p×q阶矩阵，其中N为信号长度，n=p+q-1并且p≥q。

矩阵Hm通过重构吸引子的特征揭示了它在重构空间的动态特性，因此可以将Hm表示为Hm=D+W的形式，D表示光滑信号在重构空间的p×q矩阵，W表示噪声干扰信号的p×q矩阵。所以如何对原始信号进行降噪，就是怎样寻找到D的最佳逼近矩阵[11]。

对Hm进行奇异值分解可以得到：

Hm=USVT

(2)

式中U和VT分别为p×p和q×q矩阵，S为p×q的对角矩阵，主对角线元素为λi(1,2,…,k)，k=min(p,q)即：

S=diag(λ1,λ2,…,λk)

(3)

由此可见，如何确定重构矩阵的维数和有效秩的阶数，是解决上述方法的至关重要问题。

2 重构矩阵的维数和有效秩阶数的确定

2.1 重构矩阵的维数确定

Hankel重构矩阵维数的确定，直接影响降噪效果的好坏。文献[10]通过对多组不同长度及频率的源信号进行分析后发现，最佳维数基本在p=N/2处的一个邻域内产生，并且在此邻域所取的维数值的降噪效果比较理想，而且能满足工程要求。因此，重构矩阵的结构可以根据振动信号长度N来确定，工程应用中可以取p=N/2。经验证该方法可行且效果较好，本文不再赘述。

2.2 有效秩阶数的确定

奇异值的差分谱序列bi=λi-λi+1,i=1,2,…,q-1描述了奇异值序列的具体变化情况。

差分后形成序列B=(b1,b2,…,bq-1)充分的反应了相邻的两个奇异值的变化。根据定义的差分谱序列可知，两个相邻的奇异值差别越大，那么他们在整个差分谱中所表现出的特征也越明显，也就是说它们之间产生的峰值也就相对越大。而这些较大的峰值通常携带有非常重要的状态信息，因此较大峰值尤其应受到关注，这其中也包含着最大峰值，但并不意味着最大峰值就是最值得关注的信息。而这些较大峰值的出现就是由于有用信号和噪声信号的不相关而导致的。因此，根据所得峰值的不同，选则较恰当的奇异值有效秩阶次就可以去除噪声信号从而得到有用信号。

故本文提出一种单边极大值原则选取方法，即在奇异值差分谱中从右至左，选择第一个至少单边与其相邻峰值比较，差距绝对值最大的极大峰值的对应点位置，来确定重构信号的有效秩阶次，从而完成对有用信号的重构和对噪声的有效消除。

3 有效性验证

3.1 仿真验证及分析

为验证上述方法的有效性，分别用不同频率的信号源加载不同能量分贝的噪声对该方法进行验证。现选取x(t)1和x(t)2两个信号进行分析，并通过对比降噪后信号和加噪前信号的图谱接近程度和信噪比的大小来衡量该方法的高效实用性。

x(t)1=(1+0.6t)sin(80πt)+2cos(30πt)+ζ(n)

x(t)2=5sin(3πt)+4sin(8πt)cos(2πt+3π)+

8sin(8πt)+ζ(n)

式中：ζ(n)分别表示强度为5 dB和15 dB的高斯白噪声。

以上两个信号源采样长度均取1 024，Hankel矩阵行数取512。x(t)1采样频率为1 024 Hz，x(t)2采样频率为200 Hz。跟据奇异值差分谱我们可以看到x(t)1较大峰值处大奇异值分别为2和4，其中最大峰值处为4，x(t)2较大峰值处大奇异值分别是2、4和8，其中最大峰值处为2，根据本文提到的奇异值差分谱单边极大值原则，所以两个信号源有效秩阶数分别确定为4和8，降噪后分别对应于图1和图2中的图d。为了进行比较，对信号x(t)1的奇异值2、6和x(t)2的奇异值6、10也做了相应处理，对应于图1和图2中的图(e)和图(f)，降噪前后的SNR如表1所示。

表1 信号降噪前后SNR

从表1中可以看出，噪声信号通过奇异值差分谱单边极大值原则降噪，SNR得到大大提高，而图(d)是选取有效秩阶数为4和8的信噪比，为最大。x(t)1信号图a降噪前的SNR之所以出现负值，是由于源信号的能量小于噪声能量的原因，即源信号被噪声信号所覆盖所造成。为了能更清晰的观察，将图1和图2中奇异值差分谱值分别取前100个奇异值进行放大，从中可以看到差分谱有效地反映了所包含大信息量的奇异值个数，并且根据单边极大值原则选择了有效秩阶数分别为4和8进行降噪，而不是选取了最大峰值所对应的有效秩阶数。

x(t)1选择有效秩阶数为4，是因为4的峰值与其相邻峰值的2比较差距最大，而x(t)2之所以选择8是因为遵循本文所提原则，从右至左8与4所对应峰值的差距最大，虽然比较后为负值但是原则提到绝对值最大，且从右至左8点为第一个符合要求的点，所以选择8为x(t)2有效秩阶数。降噪后的信号图谱比较光滑并且与加噪之前的信号图谱对比基本吻合。

图1(e)为有效秩阶数为2的降噪图形，可以看出降噪后的图形明显失真，主要原因是因为有效秩阶数的选取偏低，造成过降噪后果，图1(f)为有效秩阶数为6的降噪图形，由于有效秩阶数选取偏高导致降噪后的效果存在大量毛刺，说明噪声没有完全去掉，仍有保留。图2(e)选取6为有效秩阶数，出现了过降噪的现象，那么由此可见，如果选取最大峰值为4的点，过降噪现象将会更加明显，而图2(f)也是由于有效秩的选取偏高进而出现了欠降噪的结果。

图1 信号x(t)1降噪结果

图2 信号x(t)2降噪结果

3.2 实验验证及分析

本次研究对象为型号N205的轴承外圈故障信号，滚动体个数Z=12，轴承节圆直径D=39 mm，滚动体直径d=7.5 mm，压力角0。信号采集频率为12 800 Hz，转速为1 440 r/min，采样点个数取3 000，实验结果如下：

图3 轴承外圈故障信号降噪结果

图4 轴承外圈故障信号降噪后包络谱

从图3中可以看出，根据本文提出的单边极大值原则选择有效秩阶数为44，而没有选择最大峰值阶数4。从图(d)和图(c)的比较可以看出，降噪后的信号有效地保留了源信号的周期部分，去除了噪声干扰信号，为后期的故障特征信号提取创造了条件。本文同时作了经验法经常容易选取的有效秩为4的降噪效果图，如图(e)所示，幅值同样降低很多，但是为了进一步表征轴承故障的物理意义，对图(c)、图(d)和图(e)三组信号做了如下处理。

根据轴承外圈故障特征频率公式可得：

为了提取外圈故障特征频率，进一步对降噪后的信号做Hilbert包络并进行频率谱分析，结果如图4所示。

从图(a)功率谱的分析可以发现存在一个明显的峰值116.4 Hz，对应轴承外圈故障特征频率，同时存在232.8 Hz、348.5 Hz和464.9 Hz频率成分，这刚好与故障特征频率的二倍频、三倍频、四倍频相对应，跟轴承外圈故障特征相吻合。如图(b)所示为原始信号包络谱，与图(a)降噪后的包络谱相比较可知，信号的低频和高频成分得到了很好的抑制，并且图(b)中的轴承故障特征频率的三倍频和四倍频几乎被边频带和噪声信号所淹没，其中四倍频尤为明显，经过降噪后，如图(a)所示，三倍频和四倍频都有清晰显露，使故障特征频率更加精准的表现出来，更加有利于对轴承振动信号进一步分析。而图(c)中不但没有显示出明确的故障频率信息，而且功率谱图像严重失真，缺少大量信息。故此可以分析，该谱是由于降噪的有效秩阶数过高，从而导致严重过降噪，失去有用信号所造成。所以，通过对比试验，进一步的验证了本文的降噪方法的有效性。

4 结 论

(1) 奇异值分解降噪有效秩单纯的选取差分谱中最大值峰值所对应的点，并非能得到最佳降噪效果，且容易丢失有用信号。

(2) 采用单边极大值原则能够方便、有效地选取有效秩降噪阶数，和传统的方法相比，给出选取原则，很大程度上减少了对操作人员经验的依赖，且在一定程度上避免了过降噪现象的产生。

(3) 针对旋转设备故障信号的噪声干扰问题，本文经过数值仿真和对实际轴承的实验研究表明，基于奇异值差分谱单边极大值降噪的原则，不但可以直观有效地确定奇异值有效秩降噪阶数，而且具有良好的降噪效果，一定程度上提高了信号的信噪比，为后续的故障诊断工作提供了有利条件。

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