一类二维重构形的通有基底

高瑞梅,裴东河

(1. 长春理工大学 理学院,长春 130022； 2. 东北师范大学 数学与统计学院,长春 130024)

一类二维重构形的通有基底

高瑞梅1,裴东河2

(1. 长春理工大学 理学院,长春 130022； 2. 东北师范大学 数学与统计学院,长春 130024)

给出了重构形所形成集合通有基底的概念及(1,2)-型二维重构形的定义,并构造了它们的通有基底.

超平面构形； 重构形； 自由性； 通有基底

超平面构形是一类具有非孤立奇点的超曲面,它与组合学、 代数学、 拓扑学和代数几何学中的多个学科广泛交叉[1]. 超平面构形是有限维向量空间中有限个超平面所形成的集合,超平面构形通常简称为构形. 目前,构形的研究主要集中于构形的自由性问题及复空间中构形余集的拓扑性质等问题[2-6]. Yoshinaga[3]利用重构形的自由性解决了Edelman-Reiner猜想， 但自由重构形导子模的基底不易求出,且指数的变化不规律. 即使对于二维的重构形,其指数的描述都非常困难[7]. 因此,基底的构造更难. 文献[8]对含有3个超平面、 重数取任意值的一类二维重构形给出了基底. 本文主要考虑(1,2)-型二维重构形(A,m),即重数m为1或2的一类重构形,构造出它们的通有基底.

1 基本概念

设V是一个n维向量空间,V中(n-1)维仿射子空间称为V的一个超平面,记为H.V中有限个超平面组成的集合称为一个超平面构形,记为A. 如果构形A中的每个超平面H都经过原点,则称A是一个中心构形. 定义构形A的维数dimA=dimV=n. 用S表示由V*的基底x1,x2,…,xn生成的多项式代数. 对于A中的超平面H,可以选取αH∈S,使得H=Ker(αH). 对于中心构形A,定义导子模D(A)={θ|θ(αH)∈αHS,∀H∈A}. 若D(A)是S上的一个自由模,则称构形A是自由的.

设A是一个中心构形,映射m:A→称为构形A的重数. 把(A,m)定义为一个重构形,显然,重构形是构形的一个自然推广. 类似于超平面构形,定义重构形的导子模

D(A,m)={φ|φ(αH)∈(αH)m(H)S,∀H∈A}.

若D(A,m)是S上的一个自由模,则称重构形(A,m)是自由的.

2 (1,2)-型二维重构形的通有基底

定义1设F是由若干n维重构形组成的集合,如果存在n个导子θ1,θ2,…,θn,使得对任意的重构形(A,m)∈F,θ1,θ2,…,θn均为D(A,m)的基底,则称θ1,θ2,…,θn是集合F的通有基底.

若F只包含一个自由重构形,则此重构形的基底即为F的通有基底. 由于二维重构形都是自由的,因此本文在二维重构形范围内考虑通有基底的存在性及其构造形式.

例2[9]设A是一个中心构形,Q为构形A的定义多项式,定义

则{θ1,θ2}构成了集合F2={(A,m)|m=2}的通有基底.

对目前产业环境和前景表示乐观的MTC主席拿督Low Kian Chuan，在对国际木文化学会记者的采访中说道，他真切地希望马来西亚木材产业生产商能进一步解放思想，开拓视野，提高产品质量，加快技术升级。

定义2设A和B是两个中心构形,且A∩B=Ø. 定义m:A∪B→如下：

则构形(A∪B,m)称为(1,2)-型重构形.

引理1[10]如果θ1,θ2,…,θn∈D(A,m),则它们形成D(A,m)的一组基底当且仅当

定理1设构形(A∪B,m)是一个(1,2)-型重构形,QA,QB分别为A和B的定义多项式,则集合F={(A∪B,m)|m(A)=1,m(B)=2}的通有基底存在,形式如下：

证明： 由引理1,先计算如下行列式：

1) 如果H∈A,则αH|QA,因此

即θ1(αH)=-αH(D1(QA)D2(QB)-D2(QA)D1(QB))-QB(aD2(QA)-bD1(QA))∈αHS.

2) 如果H∈B,则αH|QB,因此

综合1),2)可知,θ1∈D(A∪B,m).

图1 含有6个超平面的(1,2)-型重构形Fig.1 (1,2)-Type multiarrangement with six hyperplanes

此外,由于θ2(αH)=αHQB,因此对于H∈A,有αH|θ2(αH)； 对于H∈B,有(αH)2|θ2(αH),即θ2∈D(A∪B,m). 由引理1可知,θ1,θ2构成了(A∪B,m)的一组基底. 证毕.

下面利用定理1给出一个(1,2)-型重构形基底.

例3设(A,m)是一个重构形,其中

几何结构如图1所示. 由定理1,

形成了D(A,m)的一组基底.

[1]Orlik P,Terao H. Arrangements of Hyperplanes [M]. Berlin: Springer-Verlag,1992.

[2]Terao H. Generalized Exponents of a Free Arrangement of Hyperplanes and Shephard-Todd-Brieskorn Formula [J]. Inventiones Mathematicae,1981,63: 159-179.

[3]Yoshinaga M. Characterization of a Free Arrangement and Conjecture of Edelman and Reiner [J]. Inventiones Mathematicae,2004,157(2): 449-454.

[4]GAO Ruimei,PEI Donghe,Terao H. The Shi Arrangement of the TypeDl[J]. Japan Academy Proceedings. Series A: Mathematical Sciences,2012,88(3): 41-45.

[5]Suyama D,Terao H. The Shi Arrangements and the Bernoulli Polynomials [J]. The Bulletin of the London Mathematical Society,2012,44(3): 563-570.

[6]Yuzvinsky S A. Orlik-Solomon Algebras in Algebra and Topology [J]. Russian Mathematical Surveys,2001,56(2): 293-364.

[7]Wakefield M,Yuzvinsky S. Derivations of an Effective Divisor on the Complex Projective Line [J]. Transactions of the American Mathematical Society,2007,359(9): 4389-4404.

[8]Wakamiko A. On the Exponents of 2-Multiarrangements [J]. Tokyo Journal of Mathematics,2007,30(1): 99-116.

[9]Solomon L,Terao H. The Double Coxeter Arrangement [J]. Commentarii Mathematici Helvetici,1998,73(2): 237-258.

[10]Ziegler G M. Multiarrangements of Hyperplanes and Their Freeness [J]. Contemporary Mathematics,1989,90: 345-359.

(责任编辑： 赵立芹)

UniversalBasesforaClassofTwo-DimensionalMultiarrangements

GAO Ruimei1,PEI Donghe2
(1.CollegeofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China;
2.SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

For a set of multiarrangements,we gave the concept of universal basis,offered the definition of (1,2)-type multiarrangement of two-dimensional,and also constructed the universal bases for all of them.

hyperplane arrangement; multiarrangement; freeness; universal basis

2013-09-05.

高瑞梅(1983—),女,汉族,博士,讲师,从事奇点理论和超平面构形的研究,E-mail: gaorm135@nenu.edu.cn.

国家自然科学基金(批准号： 11326078)和黑龙江省教育厅科技研究项目(批准号： 12531187).

O189

A

1671-5489(2014)05-0979-03