基于期望值的模糊互补判断矩阵的排序方法*

曾三云，龙 君

(1.吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000；2.吉首大学民族预科教育学院，湖南 吉首 416000)

基于期望值的模糊互补判断矩阵的排序方法*

曾三云1，龙 君2

(1.吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000；2.吉首大学民族预科教育学院，湖南 吉首 416000)

研究了决策信息以模糊变量形式给出的互补判断矩阵的排序问题，给出了模糊互补判断矩阵与加型模糊一致性互补判断矩阵的概念及相关性质，进而提出一种模糊互补判断矩阵排序的中转法.首先基于期望值将模糊互补判断矩阵转化为加型模糊一致性互补判断矩阵，从而求得其排序向量，进而对决策方案进行排序和择优.

模糊互补判断矩阵；期望值；排序；中转法

在多属性决策过程中，决策者往往需要对决策方案进行两两比较，并构造判断矩阵，再运用适当方法求出判断矩阵的排序向量，进而对方案进行排序和择优.目前人们所研究的判断矩阵主要有2种形式：互反判断矩阵和互补判断矩阵.判断值为精确数的互补判断矩阵排序理论的研究已比较成熟[1-4].然而，由于客观事物的复杂性、不确定性以及人类认识的模糊性，当人们在构造互补判断矩阵的时候，所得到的判断值有时不是精确数，而是模糊数.对于判断值以特殊模糊数形式给出的互补判断矩阵的排序方法的研究也已取得许多成果，如文献[5-8]研究了区间互补判断矩阵的排序方法，文献[9-11]研究了三角模糊数互补判断矩阵的排序方法，文献[12-14]研究了梯形模糊数互补判断矩阵的排序方法.但是，判断值以模糊变量这种一般形式给出的互补判断矩阵的排序问题还未见研究成果.因此，笔者尝试利用模糊变量的期望值理论来处理这类问题，给出模糊互补判断矩阵与加型模糊一致性互补判断矩阵的概念及相关性质，进而提出模糊互补判断矩阵排序的中转法.

1 预备知识

为方便起见，令N={1,2,…,n}.

定义1[15]设ξ为从可能性空间(Θ,P(Θ),Pos)到实数集R上的函数，则称ξ是一个模糊变量，其隶属函数为μξ(x)=Pos{θ∈Θ|ξ(θ)=x}.若Pos{ξ<0}=0，则称ξ为非负模糊变量，记为ξ≥0.

模糊变量的期望值可利用模糊模拟技术来求解.假设f:Rn→R是一个实值函数，ψ=(ξ1,ξ2,…,ξn)是可能性空间(Θ,P(Θ),Pos)上的模糊向量，则f(ψ)也是一个模糊变量，它的期望值E[f(ψ)]可用一个模糊模拟过程来估计，具体步骤见算法1.

算法1[15](模糊模拟)

步骤1 置e= 0；

步骤2 分别从Θ中均匀产生θk，使得Pos{θk}≥ε，令vk=Pos{θk},k=1,2,…,N,其中ε是个充分小的数；

步骤3 置a=f(ψ(θ1))∧…∧f(ψ(θN)),b=f(ψ(θ1))∨…∨f(ψ(θN))；

步骤4 从[a,b]中均匀产生r;

步骤7 重复步骤4到步骤6共N次；

引理1[15]设ξ,η为2个模糊变量，并且期望值有限，则对任意实数a和b，有E[aξ+bη]=aE[ξ]+bE[η].

定义4 若模糊互补判断矩阵B=(bij)n×n满足E[bij]=E[bik]-E[bjk]+0.5,i,j,k∈N,则称B为加型模糊一致性互补判断矩阵.

2 定理及证明

设决策者对n个方案两两进行重要性比较，得到的模糊互补判断矩阵为B=(bij)n×n，则有以下结论成立：

证明由定义3可得，

证毕.

E[bij]=a(wi-wj)+0.5=a(wi-wk+wk-wj)+0.5=a(wi-wk)+0.5-

(a(wj-wk)+0.5)+0.5=E[bik]-E[bjk]+0.5.

由定义4知，B=(bij)n×n是加型模糊一致性互补判断矩阵.

又因为

所以E[bij]=a(wi-wj)+0.5.

证毕.

定理3 若B=(bij)n×n为加型模糊一致性互补判断矩阵，则其属性权重为

(1)

证毕.

得到加型模糊一致性互补判断矩阵R=(rij)n×n，则由其元素rij与排序变量的关系式E[rij]=a(wi-wj)+0.5，可求得排序变量为

(2)

证明由定理3知

(3)

代入(3)式可得，

即(2)式成立.

证毕.

求出排序变量wi(i∈N)以后，利用排序变量的大小对方案进行排序和择优.

3 算例分析

对于某一多属性决策问题，设有5个决策方案xi(i=1,2,…,5)可供选择，决策者在某一准则下，对这5个方案进行两两比较，给出模糊互补判断矩阵：

下面利用文中的中转法对决策方案进行排序，步骤如下：

(ⅱ)将模糊互补判断矩阵B代入(2)式，并利用模糊模拟算法1(模拟5 000次)计算出决策方案的排序向量为：当a=2时，w=(0.175,0.217,0.252,0.211,0.145)；当a=2.5时，w=(0.180,0.214,0.232,0.209,0.166).

(ⅲ)根据排序向量的大小对方案进行排序，得到：当a=2时，x3≻x2≻x4≻x1≻x5；当a=2.5时，x3≻x2≻x4≻x1≻x5.

由以上步骤可看出，2种情形下的结果是一致的，故最优方案为x3.

4 结语

运用模糊变量的期望值理论，研究了判断值以模糊变量形式给出的模糊互补判断矩阵的排序方法，给出了模糊互补判断矩阵与加型模糊一致性互补判断矩阵的概念及相关性质，并提出了一种通用的排序方法.该方法不仅可应用于决策信息以各种特殊模糊数(区间数、三角模糊数、梯形模糊数)形式给出的互补判断矩阵的排序问题，而且能够处理决策信息以一般模糊变量形式给出的互补判断矩阵的排序问题，为解决模糊互补判断矩阵的排序问题提供了新途径.

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(责任编辑 向阳洁)

APriorityMethodforFuzzyComplementaryJudgmentMatrixBasedonExpectedValue

ZENG Sanyun1，LONG Jun2

(1.College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China;2.School of Preparatory Education for Minority Nationalities,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

The priority problem of complementary judgment matrix,in which the decision information is given in the form of fuzzy variables,is studied.It presents the concepts of fuzzy complementary judgment matrix and fuzzy additive consistency judgment matrix and their properties.Then a universal priority method is developed.This method can not only solve the priority problem of complementary judgment matrix that the decision information is given in the form of special fuzzy numbers,such as interval number,triangular fuzzy number,and trapezoidal fuzzy number,but also can solve the priority problem of complementary judgment matrix that the decision information is given in the form of general fuzzy variables.

fuzzy complementary judgment matrix;expected value;priority;middle transfer method

1007-2985(2014)06-0024-05

2014-03-04

国家自然科学基金资助项目(71302072)；湖南省教育厅科学研究项目(10C1126)

曾三云(1980—)，女，湖南邵阳人，吉首大学数学与统计学院讲师，在读博士，主要从事模糊决策及不确定理论的应用研究.

O223；C934

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.007