带有Gamma函数的Hardy-Hilbert型不等式的推广*

石艳平,尚小舟，高明哲

(吉首大学师范学院,湖南 吉首 416000)

带有Gamma函数的Hardy-Hilbert型不等式的推广*

石艳平,尚小舟，高明哲

(吉首大学师范学院,湖南 吉首 416000)

利用权系数的方法和参量化思想，建立了具有最佳常数因子的Hardy-Hilbert不等式，并考虑了逆向不等式的情形.

Hardy-Hilbert不等式；权函数；参数；β函数；Euler常数

1 问题的提出

(1)

文献[1]引入参数A,B和λ建立了下列带权的Hilbert不等式：

(2)

笔者的目的是将(2)式进行推广，并讨论其逆式.

2 引理及证明

引理2 设0≤ps<1且1-qs<λ≤2，定义函数Φ如下：

上述引理的证明见文献[2],这里从略.

3 定理及证明

(3)

当0

(4)

应用Hölder不等式估计(3)式的左边如下:

(5)

其中

由引理2,有

(6)

同理可得

(7)

根据(5)，(6)和(7)式,可得

(8)

(9)

显然，当且仅当{an}或者{bn}是零序列时，(9)式中等号成立，即不等式(3)中等式成立.

其中c是Euler常数.因此，

同理可得

因此，

如果μB*不是最佳的，那么存在实数k>0且k不大于μB*，使得下列不等式成立：

(10)

另一方面，设u=Γ(x+1),v=Γ(y+1),那么

(11)

由此可得

(12)

显然，当ε充分小时,不等式(10)与(12)是互相矛盾的，因此不等式(3)中的常数因子μB*是最佳的.

由(3)，(4)和(9)式可知,

(μB*)(n!)2-λ-r(lnn+εn)1-r≤(μB*)(n!)2-λ-r(lnn+ε1)1-r=

(13)

不等式(9)和(13)表明不等式(3)成立.

如果0

[1] YANG Bicheng.On New Generalization of Hilbert’s Inequality[J].J. Math. Anal. Appl.,2000,248(1):29-40.

[2] 高明哲.Hardy-Riesz 拓广了的Hilbert不等式的一个改进[J].数学研究与评论,1994,14(2)：255-259.

[3] 匡继昌.常用不等式[M].第3版.济南：山东科学技术出版社，2004：492.

(责任编辑 向阳洁)

ExtensionofHardy-HilbertTypeInequalitywithGammaFunction

SHI Yanping,SHANG Xiaozhou,GAO Mingzhe

(Normal College of Jishou University，Jishou 416000,Hunan China)

By using the way of the weight coefficient and the idea of parameterization,a Hardy-Hilbert's inequality with a best constant factor is established,and its reverse form is considered.

Hardy-Hilbert inequality;weight coefficient;parameter；βfunction;Euler constant

1007-2985(2014)06-0017-05

2014-04-20

湖南省教育厅科学研究项目(14C0938)

石艳平(1978—)，女，湖南龙山人，吉首大学师范学院民族教育研究所讲师，主要从事函数论研究.

O178

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.005