直线滚动导轨结合部的静刚度解析

刘 洁

(延安大学 化学与化工学院,陕西 延安 716000)

直线滚动导轨结合部的静刚度解析

刘 洁

(延安大学 化学与化工学院,陕西 延安 716000)

介绍了影响结合部静态特性的主要因素及接触理论，并通过非线性接触表面层理论对直线滚动导轨圆柱结合部的接触变形进行了解析计算，可为机械结构的静态特性提供结合部的边界条件。

结合部；接触理论；非线性

机床中各结合面的静、动态特性对机床的性能有显著的影响，要分析这些影响，就必须弄清构成结合面的构件的变形以及结合面上压力的分布状况。机床结合面静态基础特性参数包括单位结合面积上的法向接触刚度和切向接触刚度，它们具有非线性特性，结合面静态基础特性影响因素很多，主要有反映结合面自身基本特性的因素和反映结合部结构及工况的因素。前类因素包括连续变化因素(如初始面压、表面粗糙度)和非连续变化因素(如结合面材质、介质状况、加工方法等)。机床结构中零件与结合面既互相依附，又互相影响。在结合面上接触压力分布与接触变形大小必须满足一定的非线性协调关系。因此，在机床结构的静态基础特性计算中，零件与结合部的静态基础特性计算必须同时进行[1]。

机床的刚度是影响加工精度的重要因素之一，机床是由若干基本构件及这些构件间的结合面所组成，所以机床的总刚度是由各个基本构件的刚度及各个结合面的刚度来共同决定的。关于结合面的刚度及其影响因素的研究，对不同材料的结合面、不同的接触表面状况业界已经作了大量的研究，获得了在不同条件下接触变形与接触面压力的关系。研究表明：结合面的静刚度不仅与接触压力有关，同时还与结合面处构件的材料、接触表面的加工方法、润滑条件等有关。结合面刚度与压力成非线性关系说明结合面的刚度具有非线性特点[2]。结合面的变形是结合面上的法向压力的函数，具有非线性特性，且这种函数关系基本符合指数函数关系。而实际机械结构中，力从一个构件传到另一个构件都是由结合面上的法向和切向力来实现的，所以研究结合面的切向静态特性是十分必要的。

1 结合面的基础接触特性理论

1.1接触理论

在结合部接触面上有无数个点互相接触，当结合部受到静载荷作用时，结合面表现出弹性性质，每个接触点在某一个坐标轴的方向上的特性可以用如图1所示的弹簧元件来等效描述。由于结合面形状误差(比如平行度)、油膜等的存在，当构件受到动载荷作用时，结合面会产生轻微的滑移，这时结合面表现出既有弹性又有阻尼的性质，每个接触点在某一个坐标轴的方向上的特性可以用弹簧并联阻尼器元件来等效描述，如图2所示。

图1 静载荷作用下结合部法向特性模型

1.2接触界面的定解条件

接触界面发生变形，即零件的宏观变形不是很明显，但在微观上结合面有相对的位移，切向位移满足摩擦条件。本文研究的是静态接触问题，如图3所示，假设物体Ⅰ上的点A和物体Ⅱ上的点B都在各自的接触边界上，且构成接触点对，初始状态为A和B重合，局部放大图如图4所示。在总体坐标系Σ1下，设点A和点B沿3个坐标方向的位移分别为(UAx，UAy，UAz)和(UBx，UBy，UBz)。设J为总体坐标系Σ1与结合部局部坐标系Σ2之间的坐标变换矩阵[3]。

图2 动载荷作用下结合部法向特性模型

图3 相互接触

图4 接触点对

1.3接触问题的求解

接触过程在力学上通常同时涉及3种非线性，即除大变形引起的材料非线性和几何非线性以外，还有接触界面的边界非线性,如图5所示。界面的非线性来源于以下2个方面：

a.接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态都是未知的，且随时间而变化，需要在求解过程中确定。

b.接触条件的非线性。接触条件包括：(1)接触表面是光滑连续的曲面；(2)接触表面的摩擦作用服从库伦定律；(3)接触表面的力和位移边界条件均可用有限元的节点来描述[4]。

图5 边界非线性

2 平面与柱面的接触解析

如图6所示，圆柱结合部坐标系∑J-XYZ-O,结合面坐标系∑s-xbybzb-Ob，圆柱底面半径为R；设A为圆柱面上任意一点，其坐标为(Rcosα,Rsinα,X3),OA交平面b于B点，则B点坐标在∑b-xyz-O中表示为(Rcotα,0,0)；α为A点的转角坐标。

图6 柱面与平面接触数学模型

∑b坐标系相对于∑a坐标系的位移量ATa为：

λ1=(-Rtanα-Ru6-u1)sinα-

(R+u2)cosα

(1)

λ2=(-Ru6tanα-u2)sinα+

u1cosα+R

(2)

λ3=-u5Rtanα+u3

(3)

式中：ui为结合面在3个坐标方向上的变形量。

由接触变形量可以得圆柱面任一点(X1,X2,X3)处的接触面压及接触变形如下：

(4)

(5)

(6)

式中：ατ,αn,βτ,βn为实验系数(与结合面的材料、加工方法及精度、润滑等诸多因素有关)。

(7)

式中：λn为结合面的相对法向变形, 通常认为,λ2>0为结合面接触状态,λ2≦0为结合面非接触状态,而将λ2=0的线叫做0线[5]。

结合部的力平衡公式如下：

Fi+FRi=0

(8)

式中：Fi表示外载荷的力及力矩的列阵，其中F1，F2，F3分别表示x1，x2，x3坐标方向的力,F4，F5,F6分别表示绕x1,x2,x3坐标方向的力矩；FRi为结合部的接触反力及反力矩列阵；S为结合面的面积。

由式(1)～式(8)得：

{F}=f(uJ)

(9)

解式(9)就可以求出结合部的相对位移uJ。

若只考虑直接刚度，那么结合部的刚度表达如下：

(10)

kJi=f(uJ)

(11)

由式(9)和式(10)可以求出结合部刚度的表达式(11)。当由式(10)求出uJ或者uJ为已知时，用式(11)就可求出结合部刚度值。

3 直线滚动导轨结合部载荷线性迭加程序及验证

在前面提出的关于柱面与平面结合部的数学模型中，含有6个待求的未知量UJi(i=1,2,…,6)，但是由于这6个量都是隐含的，无法从方程中分离出来，对于隐含的非线性方程组的求解问题，一直没有一种通用的计算方法来加以解决，本文采用分布迭代的方法，对柱面与平面结合部的数学模型，编制MATLAB语言程序来求解。

3.1柱面与平面结合部解析程序编制说明

一块接触区域由无数个点组成，每个点的面压不同，但是无法将每个点的面压都求出，只能将接触区域划分成无数个点，将其中一个点的面压求出，然后乘以接触面积，就是整个接触区域的接触面积。基于上述分布力公式，将分布力等效为节点力，编制程序。

3.1.1程序的基本功能

a.确定结合部的位移结合条件。

b.确定结合部的载荷结合条件。

c.确定结合部的静刚度。

3.1.2程序结构流程图

采用了求解变量逐步搜索法，对滚动体、滚动导轨结合部的数学模型，编制MATLAB语言程序来求解。所谓逐步搜索法就是给欲求量赋初值与步长后，通过逐步加减步长的值来改进欲求量的值，一直到求出的反力满足给定的精度后，输出欲求量。计算步骤如下：

a.设置数据。

数据包括零件受到的除结合部接触以外的所有外载荷。

b.设定初始结合部法向位移量。

设定较大的U2值，这个值的正负与结合部坐标系的选取有关。

c.求出结合部在法向变形为U2值时结合部所受的法向载荷F2。

根据非线性方程组采用线性化的方法来求解U2对应的F2，给定U2一个步长，采用分布迭代的方式进行求解。

d.计算在结合部法向变形为U2值时结合面的接触角度θ′。

根据公式计算出结合面的接触角度θ′。

e.判断U2与法向外载荷是否接近。

f.计算其余各个方向的外载荷。

g.输出结合面接触面压分布和接触刚度分布。

程序设计流程如图7所示。

3.2算例

以单平面结合部算例说明线性叠加的方法是可行的。

a.结合部受到的外载荷F=[1 000，-3 000，-500，1，10，1]时，求得：U线=[0.739 5 -0.556 9 -0.369 7 2.319 9 4.437 0 0.405 0]；U非=[0.737 93-0.556 84 0.371 30 0.122 98 4.541 70 0.122 98]。

图7 程序流程图

b.结合部受到的外载荷F=[-100，-4 000，500，1，10，15]时，求得：U线=[-0.054 7 -0.648 6 0.273 6 2.319 9 3.283 0 1.701 4]；U非=[-0.554 20E-01 -0.647 16 0.262 54 0.107 66 2.778 70 1.614 70]。

由结合部线性叠加结果与非线性耦合结果对比可以看出，这种线性叠加的方法是可行的。

4 结束语

本文利用非线性解析法对直线滚动导轨圆柱面结合部的静态特性进行了解析计算，可为机械结构或整机考虑结合部的静态特性分析提供结合部的边界条件。由于条件限制，文中所涉及的算法并没有试验或设备支撑，因而文章更倾向于理论研究，后续的工作将是尽可能和相关企业联合进行试验，以进一步完善再制造的相关理论。

[1] 黄玉美,张广鹏，高峰，等.虚拟样机整机结构特性边界元仿真[M].北京：机械工业出版社,2004.

[2] 张广鹏. 机床导轨结合部的动态特性解析方法及其应用[J]．机械工程学报，2002(10)：114-117.

[3] 王晓春,孔祥安. 接触力学及其计算方法[J]. 西南交通大学报,1996,31(3):230-233.

[4] 温卫东,高德平. 接触问题数值分析方法的研究现状与发展[J]. 南京航空航天大学学报, 1994，26(5):664-667.

[5] 黄玉美，张学良，温淑华.机床结合面静态基础特性参数的建模及其应用[J].制造技术与机床,1997(11):8-10.

TheContactStiffnessAnalysisofLinearRollingGuideColumns

LIU Jie

(Yan'an University, Shaanxi YAN'an, 710048, China)

It introduces the main factors affecting static joints and contact characteristics theory, simulates the nonlinear contact surface layer deformation of linear guide cylinder rolling contact joints, provides the boundary conditions for the binding portion of the static characteristics of the mechanical structure.

Joints; Contact Theory; Nonlinear

10.3969/j.issn.2095-509X.2014.07.019

2014-03-18

刘洁(1983—)，女，陕西延安人，延安大学助教，硕士，主要研究方向为过程装备与控制工程。

TH161.12

A

2095-509X(2014)07-0079-04