U形水平井连通过程中的相对位置不确定性分析

席宝滨， 高德利

(石油工程教育部重点实验室(中国石油大学(北京))，北京 102249)

U形井技术是采用定向钻探技术和水平井钻井技术，使地面相距数百米的两井或多井在地下数百米甚至数千米的目的层处定向对接连通[1-2]。按对接连通两口井的类型，可将U形井分为3种井型：水平井与直井连通、定向井与水平井连通以及水平井与水平井连通。其中，第一种井型称为连通井或对接井，实际应用较多，技术比较成熟[3-5]；后2种井型统称为U形水平井，国内外鲜有报道[6-7]。

要钻探完成U形水平井，必须应用测量工具进行定向钻进。但是使用传统测量工具时，会产生误差的传播和积累，使连通靶点存在很大的不确定性，不能满足两井精确连通的需要。此处的精确连通是指通过定向钻探的方法，使正钻井底部钻具组合能够进入目标井中，并能顺利下入套管，实现两井的水力和机械连通[8-9]。因此，在最后的连通阶段引入旋转磁场测距导向系统(rotating magnet ranging system,简称RMRS),来克服传统测量工具的缺陷，提高两井精确连通的成功率[10]。

目前，针对U形水平井连通过程中的相对位置不确定性的问题，国外学者只在U形井的介绍中简单地给出RMRS的测量精度为相对距离的2%～5%[11-12]，国内学者也只是定性得出RMRS测量的相对位置误差随钻头的钻进不再积累,而是逐渐减小[13]；国内外学者都没有就RMRS的测量给出明确的分析过程。基于以上研究背景，笔者采用井位不确定模型，定量分析U形水平井连通过程中的相对位置不确定性，并给出表征相对位置不确定性的误差椭球(圆)的计算方法。

1 相对位置不确定性

1.1 研究的必要性

RMRS将连通井钻头与目标井连通点通过交变磁场信息耦合为闭环系统，突破了传统的两井各自独立测量的开环模式。使用RMRS进行相对位置测量时，每次测量都是独立进行的，每次测量的误差都是测量时单点的测量误差，误差不传播不积累。随着钻进的进行，传感器的精度越来越高，误差越来越小。相对位置不确定性随着2点的接近,其变化趋势如图1所示。其中，O3为对相对位置不确定性进行描述的误差椭球的中心，t为目标井上的连通点。

图1 连通过程中相对位置不确定性的变化趋势Fig.1 The changing tendency of uncertainty for relative position in the connecting process

在U形水平井连通的过程中，虽然连通点t的实际位置是固定的，但是由于井眼位置不确定性的存在，无法通过计算得到其精确值，只能得到其可能存在的范围，即以O3为中心的误差椭球。根据正态分布理论，越接近误差椭球中心，连通点存在的可能越大。所以，在连通过程中进行待钻井眼轨道设计时,可以将O3作为目标点。随着钻进的进行，误差椭球逐渐变小，目标点逐渐靠近连通点。当正钻井钻头足够靠近连通点时，目标点与连通点会非常接近甚至重叠，继续钻进必然实现两井的连通。所以，进行相对位置不确定性分析，可以为正钻井提供一个最接近真实值的目标点，提高连通成功率。

此外，误差椭球还可以指导RMRS的使用。当误差椭球在连通点处垂直于井眼平面上投影的误差椭圆长半轴开始小于井眼半径时，说明相对位置不确定性已经小到一定程度，其大小已经不会再对两井的精确连通产生影响。如果此时钻头距离探管还有较大距离，可以使用该工具继续引导钻进；如果钻头与探管的距离在几米之内，可以将探管从已完钻井中后撤一段距离，防止由于两井的突然连通损坏探管。

1.2 相对位置不确定性的组成

由于RMRS的测距范围小于70 m，所以U形水平井连通的过程是一个使用RMRS循序引导逐步实现连通的过程，引导过程如图2所示。1，2，…，n与1′，2′，…，n′为一对相对应的测点，其中，1，2，…，n为探管的位置，1′，2′，…，n′为磁短节的位置。O1a1+a1t1+t1d1为首先钻探的第一井，称为目标井或者已钻井；O2a2+a2t2+t2d2为紧接着钻探的第二口井，称为连通井或者正钻井。曲线d2t为连通段，点t为连通点，两井在此处实现水力和机械连通。

图2 RMRS引导两井连通示意Fig.2 RMRS guiding two wells connected

根据RMRS引导两井连通的过程，可以得出U形水平井连通过程中的相对位置不确定性，如图3所示。点m为使用RMRS引导两井连通时的任一测点，其依次经历点1，2，…，n；点p为连通井的当前井底，其相应的依次经过点1′，2′，…，n′。从图3可以看出，连通点t相对当前井底p的位置不确定性由2部分组成：点m相对点p的位置不确定性和点t相对点m的位置不确定性。

图3 相对位置不确定性Fig.3 Uncertainty of relative position

2 坐标系的建立

对要连通的U形水平井建立3个坐标系，如图4所示。O-NED为大地坐标系，O为原点，N轴指向正北方，E轴指向正东方，D轴铅垂向下指向地心。以正钻井当前井底p为原点，建立正钻井井底右手直角坐标系p-xyz，z轴指向钻头的前进方向，x轴指向井眼高边方向，y轴由右手法则确定。以已钻井中的连通点t为坐标原点，建立右手直角坐标系t-XYZ，Z轴指向水平井趾端方向，X轴指向井眼高边方向，Y轴由右手法则确定。RMRS所测量的数据为测点m在坐标系p-xyz中的位置为m(r,θ0,φ0)，其中，r为相对距离，m；θ0为相对工具面角，(°)；φ0为相对方位角，(°)。

图4 坐标系的建立Fig.4 Establishment of coordinate systems

3 测点相对正钻井井底的位置不确定性分析

根据ISCWSA(the industry steering committee for wellbore survey accuracy)的井位不确定模型[14-16]，RMRS测量所得的相对位置不确定性可表示为：

(1)

式中：H为所有n个误差源在测点处的井位不确定性；ej为由独立误差源j在测点处引起的误差向量。

3.1 误差源分析

3.1.1 RMRS测量精度误差

RMRS本身由于加工制造以及安装调试不精确导致产生误差，这项误差也受测量环境(如温度)变化的影响。一般在仪器出厂时，会标注出以下3个参数：RMRS在测量相对距离的误差精度限ΔC1；相对方位角的误差精度限ΔC2，(°)；相对工具面角时的精度误差限ΔC3，(°)。

3.1.2 磁短节不对中误差

磁短节接在钻头后面并随钻头一起旋转，由于安装在磁短节后的稳定器与井壁之间存在着一定的间隙，造成磁短节与井眼轴线不重合，从而产生了磁短节不对中误差,计算公式为：

(2)

式中：dS1为装在磁短节后的稳定器的外径，m；dH1为所形成井眼的直径，m；l1为钻头到稳定器的长度，m，ΔC4为磁短节不对中的误差限，(°)。

3.1.3 探管不对中误差

为了保证相对位置的计算精度，需用修井机等设备将探管下入到已钻井的适当井深处。由于油管在井眼内的弯曲和屈曲、探管上端电缆(钢丝绳)的拉力与探管下端与井壁接触的摩擦力和探管自身的重力作用，造成了探管不对中误差，计算公式为：

(3)

式中：dS2为安装在探管上方和下方的稳定器外径，m；dH2为已钻井井眼直径，m；l2为探管上下稳定器的距离，m；ΔC5为探管不对中的误差限，(°)。

3.2 协方差矩阵

在坐标系p-xyz中(见图4)，由RMRS测得的极坐标参数m(r,θ0,φ0)换算为直角坐标参数为：

(4)

用矢量形式可表示为：

r=(xm,ym,zm)T

(5)

3.2.1 RMRS测量精度误差所形成的协方差矩阵

相对距离测量精度误差向量：

e1=ΔC1r

(6)

相对方位角测量精度误差向量：

(7)

相对工具面角测量精度误差向量：

(8)

所以，由RMRS测量精度误差所形成的协方差矩阵可表示为：

(9)

3.2.2 磁短节不对中误差形成的协方差矩阵

由磁短节不对中引起的相对位置不确定性可被看作垂直于正钻井井眼上的一个以rΔC4为半径的圆盘[16]，其协方差矩阵可表示为：

(10)

3.2.3 探管不对中误差形成的协方差矩阵

由于探管处在坐标系t-XYZ中，所以要想得到协方差矩阵，首先要知道在坐标系t-XYZ中点p相对于点t的位置。引入坐标转换矩阵。坐标系t-XYZ与坐标系O-NED的转换矩阵为：

(11)

式中：αt和φt分别为点t处的井斜角和方位角，可以由探管直接测得，(°)。

坐标系p-xyz与坐标系O-NED的转换矩阵为：

(12)

式中：αp和φp分别为点p处井斜角和方位角，可以由MWD直接测得，(°)。

则在坐标系t-XYZ中，点p相对于点m的位置为：

(13)

所以，探管不对中误差形成的协方差矩阵为：

(14)

3.2.4 点m相对点p的位置不确定性的协方差矩阵

由于各个误差源是独立的，所以协方差矩阵可以直接相加。从上面的分析易知，H1和H2为正钻井井底直角坐标系p-xyz中的协方差矩阵，而H3为探管处直角坐标系t-XYZ中的协方差矩阵。为了便于分析以及对U形水平井精确连通进行指导，将H1和H2通过转换矩阵转换到坐标系t-XYZ中,则在坐标系t-XYZ中点m相对点p的位置不确定性的协方差矩阵为：

(15)

4 连通点相对测点的位置不确定性分析

井眼位置的不确定性主要来自计算误差和测斜仪的测量误差。然而，由于在连通点和测点之间是相对较直的水平段，所以计算误差可以忽略。测斜仪的测量误差主要包括未定系统误差和随机误差。下面应用井位不确定模型分析两点间的不确定性。

点t相对点m的位置不确定性的协方差矩阵为：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

a1=sinαtΔl(-sinφt,cosφt,0)T

(23)

a2=sin2αtsinφtΔl(-sinφt,cosφt,0)T

(24)

a3=tanαtΔl(-sinφt,cosφt,0)T

(25)

a4=sinαtΔl(cosαtcosφt,cosαtsinφt,-sinαt)T

(26)

a5=(ΔN,ΔE,ΔD)T

(27)

式中：ΔC10为罗盘参考误差，(°)；ΔC20为钻柱磁化误差，(°)；ΔC30为陀螺罗盘误差，(°)；ΔC40为井斜角误差，(°)；ΔC50为测深误差，%；ΔC60为仪器不对中误差，(°)；Δl为测点m与连通点t之间的井眼长度，m；ΔN为北坐标增量，m；ΔE为东坐标增量，m；ΔD为垂深增量，m。

所以，在坐标系t-XYZ中点t相对点m的位置不确定性的协方差矩阵为：

(28)

5 误差椭球和误差椭圆

在坐标系t-XYZ中，点t相对点p的位置不确定性的总协方差矩阵为：

COV=COV1+COV2

(29)

另外,COV可记为：

(30)

5.1 误差椭球

假设COV的特征值为λ1、λ2和λ3，则误差椭球的半轴长r1、r2和r3为[17]：

(31)

式中：k1为置信因子；r1,r2和r3分别为半轴长，m。

由于钻柱磁化的影响，误差椭球中心O3偏离连通点t。则在坐标系O-NED中，测点相对椭球中心的矢量rmO3可表示为：

rmO3=(ΔC20a21,ΔC20a22,0)T-a5

(32)

则在坐标系p-xyz中，误差椭球中心O3相对当前井底p的矢量为：

(33)

5.2 误差椭圆

在坐标系t-XYZ中，XY平面上的误差椭圆半轴长分别为：

(34)

式中：k2为置信因子；r4,r5分别为半轴长,m。

夹角γ以及特征值λ4和λ5分别为：

(35)

λ4=var(X,X)cos2γ+var(Y,Y)sin2γ+

cov(X,Y)sin2γ

(36)

λ5=var(X,X)sin2γ+var(Y,Y)cos2γ-

cov(X,Y)sin2γ

(37)

6 算例计算与分析

6.1 计算过程

假定连通的2口井的井眼直径都为0.216 m，稳定器的直径为0.211 m，在以单弯螺杆为动力钻具的底部钻具组合中，取钻头到底部稳定器的距离为0.89 m，磁短节一般长0.4 m，探管长3 m。已知点p处井斜角αp=70°，方位角φp=270°；点t处井斜角αt=90°,方位角φt=90°；点t和点m之间的井眼长度Δl=30 m；点m在坐标系p-xyz中的极坐标为(30,0,10)(见图4)。RMRS误差限分别为ΔC1=2%，ΔC2=1°，ΔC3=0.5°。根据式(2)和(3)可得ΔC4=0.111°，ΔC5=0.095°；精密磁性测斜仪误差限分别为ΔC10=1.5°，ΔC20=0.15°，ΔC40=0.5°，ΔC50=0.1%，ΔC60=0.6°，ΔC30不存在;然后进行U形水平井连通过程中的相对位置不确定性分析，计算过程如下：

1) 确定协方差矩阵COV1。根据式(4)将极坐标(30,0,10)转换为直角坐标(10.418 9,0,59.088 5)。

根据式(6)—(9)，求得磁场测距导向工具精度误差所形成的协方差矩阵：

根据式(10),求得磁短节不对中误差形成的协方差矩阵：

根据式(11)—(14)，求得探管不对中误差形成的协方差矩阵：

根据式(15),求得在坐标系t-XYZ中点m相对点p的协方差矩阵：

2) 确定协方差矩阵COV2。根据式(16)和(28),求得在坐标系t-XYZ中点t相对点m的协方差矩阵：

3) 确定总协方差矩阵COV。根据式(29)可得总协方差矩阵：

4) 误差椭球和误差椭圆。总协方差矩阵COV的特征值为：λ1=0.366 6，λ2=1.443 2，λ3=0.693 2。

若使相对位置落入误差椭球的概率为95%，则取k1=2.796。根据式(31)误差椭球的半轴长分别为：r1=1.692 8 m，r2=3.358 9 m，r3=2.327 9 m。

根据式(32)和(33)，得到误差椭球中心在坐标系p-xyz中的坐标为：(20.679 5,-0.130 9,87.279 2)。

若使相对位置落入误差椭圆的概率为95%，则取k2=2.448。根据式(34)—(37)，可得在坐标系t-XYZ中XY平面上的误差椭圆半轴长：r4=1.555 4 m，r5=2.038 2 m。

6.2 算例分析

为简化计算过程，假设2口井是在垂直的二维平面内以曲率k=6°/30 m的圆弧完成连通。在连通过程中，已知固定不变的值为：点p处方位角φp=270°；点t处井斜角αt=90°；点t处方位角φt=90°；k1=2.796；k2=2.448；RMRS以及测斜仪误差如上文所示。

已知点p处井斜角αp=70°；点t和点m之间的井眼长度Δl=35 m；点m在p-xyz中的极坐标为(66.84,0,5.02)。由几何关系以及相对位置不确定性分析，可得随钻进不断变化的相对位置误差椭球(圆)的半轴长度以及误差椭球中心在p-xyz中的位置(见表1)。

表1 随钻进变化的参数

根据表1中的部分数据，绘制相对位置误差椭球(圆)半轴长度随测点与连通点之间的长度与相对距离之和(Δl+r)的变化趋势，如图5所示。由图5可以看出，随着钻进的进行，误差椭球(圆)半轴长度呈明显的下降趋势，且最终长度都趋于0。所以，进行待钻井眼轨道设计时，在无法得知连通点精确位置的情况下，可以将误差椭球的中心为设计目标点。此外，根据误差椭圆半轴长度大小以及变化趋势，可以将误差椭圆作为正钻井的靶窗以及指导RMRS的使用。

图5 误差椭球(圆)半轴长度随测点与连通点之间长度和相对距离之和的变化趋势Fig.5 Changes of lengths of semi-axes of error ellipsoid (ellipse) with the sum of relative distance and the length from measure point to connecting point

7 结 论

1) 与传统测斜仪器相比，RMRS在连通过程中测得的相对位置误差随钻头的钻进不再积累，而是逐渐减小，更适用于U形水平井的连通。

2) 基于RMRS和测斜仪精确计算出了连通点相对正钻井井底的位置不确定性。相对位置不确定性分析不仅考虑了测点与正钻井井底之间由RMRS测量带来的误差，还考虑了RMRS在U形水平井连通的引导过程中连通点与测点之间由测斜仪带来的误差。

3) 误差椭球中心可以作为连通过程中待钻井眼轨道设计的目标点，同时误差椭圆可以作为正钻井的靶窗并指导RMRS的使用。随着钻进的进行，误差椭球和误差椭圆逐渐变小，正钻井钻头逐渐靠近连通点，最终实现两井精确连通。

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