线性模型中总平方和分解公式的证明*

王剑红,杨素芳

(山西药科职业学院 基础部,山西 太原 030031)

对于正交饱和设计问题，通常可用如下的线性统计模型来描述

Y=β01n+β1x1+…+βmxm+ε=μ+ε

(1)

其中Y=(y1,y2,…,yn)T是观察值向量；xj=(x1j,x2j,…,xnj)/，j=1,2,…,m由试验设计来确定；矩阵X=(x1,x2,…,xm)为上述正交表H所对应的设计阵；β=(β0,`β1,…,βm)T；ε=(ε1,ε2,…,εn)/是误差向量，且εi(i=1,2,…,n)是相互独立同分布的随机变量，且有ε～N(0,σ2In).

由于模型(1)是基于正交饱和设计，故此时的误差平方和等于零，从而使总平方和SSj与各列的效应平方和之间有如下总平方和分解公式

SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm成立.

这篇文章我们给出了总平方和SST与各列的效应平方和SSj之间的矩阵证明方法,优化了文献[1]中对其的证明.

1 预备知识

在一个试验设计中，当被考虑因子(包括交互作用)个数多到使得需估计参数的个数达到可估计参数的最大个数时，这样的试验设计称为饱和设计.当一个饱和设计又为一个正交设计时，称为正交饱和设计.

2 主要研究结果及证明

又注意到

Tj为对应设计阵第j列的置换矩阵，即Tj中只有0和1两个元素，而且每一行、每一列有且只有一个1，其余的元素全是0.由张应山的博士论文知,Tj具有存在性.

故

这样,对于模型(1)，各列的效应平方和

且Pn,A1,…,Am为相互正交的投影阵.

因为

diag(Pr1,Pr2,…,Prm)Tdiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=

diag(Pr1,Pr2,…,Prm)且Pndiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=

Pn,PnAj=0,AiAj=0(i≠j).

所以Pn,A1,…,Am为相互正交的投影阵.

容易验证

τn=In-Pn=

所以SST=YTτnY=YT(A1+A2+…+Am)Y=

SS1+SS2+…+SSm.

总平方和自由度为fT=n-1,fj=pj-1为第j列平方和的自由度(j=1,2,…,m),而完全正交设计是指上述正交设计满足如下的等式n-1=(p1-1)+(p2-1)+…+(pm-1).

故SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm.对比文献[1]和本文中证明的方法，显然用矩阵知识证明更为简洁.