T型耦合板结构振动特性研究

史冬岩， 石先杰， 王青山， 李文龙， 谷静静

(1.哈尔滨工程大学 机电工程学院，哈尔滨 150001；2.韦恩州立大学 机械工程系，底特律 密歇根 48202)

耦合板结构在实际工程应用中被广泛应用，如航空航天、船舶结构、机械工程、土木工程和车辆工程等。只有详细了解了耦合板结构振动特性才能更好地完成该类结构的设计，使得设计达到实际应用环境的要求。在耦合板结构中，当弯曲波传递到耦合边界处时会在连接板中产生面内的纵波和剪切波，而面内波传递到耦合边界处时也会有一部分转换为弯曲波。由此可见耦合板的振动特性存在面内和面外振动的耦合效应，振动特性较为复杂。因此，近年来越来越多的学者开始关注耦合板结构的振动特性分析。

对于耦合板的振动特性，Cremer等[1]基于弹性波传播对两个互成直角的无限大耦合板结构振动问题进行研究。Shen等[2]通过将弯曲位移函数幅值表示为坐标函数的线性组合得到了耦合板结构的弯曲振动的近似解。Kessissouglou等[3]采用功率流方法建立了单点力作用下L-型耦合板结构弯曲振动与面内振动的求解模型，并且讨论了面内振动对于功率流传递特性的影响。在国内，游进等[4]用能量有限元分析法对耦合板结构在受两个不相关宽带白噪声激励力作用下的能量响应和功率流特性进行了研究，并与统计能量分析法对比验证该方法的正确性。李凯等[5]利用振动声强及能量可视化技术研究耦合板结构中振动波传递及分布特性。闫安志等[6]利用导纳功率流技术提出了耦合板结构的各子结构板的导纳功率流模型，并导出了输入到源级的弯曲波功率流表达式和传递到接受板的传递导纳功率流表达式，对于两板都为简支边界且耦合角度为直角的耦合板结构的共振模态响应可精确确定，杜敬涛[7]采用改进傅里叶级数方法对L型板结构振动特性进行了相关计算分析。综上所述，现在大部分的研究都只局限于经典边界条件或者某些特定耦合角度的耦合板结构，对于任意弹性边界和耦合情况(角度和位置)的T型耦合板结构研究还比较少见。

Li[8]提出了一种改进傅里叶级数方法分析任意边界支撑下梁结构的弯曲振动特性。随后该方法被相继扩展应用到薄板、圆柱壳和组合结构分析中去。

本文将Li提出的方法扩展到T型耦合板结构自由振动特性分析。将T型耦合板结构面内振动和面外振动位移函数表示为一种改进傅里叶级数形式(加速)。然后采用Rayleigh-Ritz方法求解基于能量原理的拉格朗日方程，得到关于位移级数展开系数的标准特征值问题。通过各个方向均匀分布的弹簧来模拟边界支撑和耦合连接情况，通过改变相应弹簧刚度值大小而简单地实现各种边界条件及耦合连接。本文计算模型相比文献[7]在表达式上更加简洁，在求解过程中更加高效，并且可以计算任意边界条件和耦合角度下T型耦合板结构的振动特性问题。

1 T型耦合板理论模型

1.1 模型描述

图1 弹性边界条件下耦合板结构模型

本文建立的T型耦合板结构模型及其相应的坐标系如图1所示。整个耦合结构由板1和板2组成，板1位于x1-y1平面内，而板2位于x2-y2平面内。板1和板2具有相同的宽度，其长度和厚度分别为a1，a2，h1和h2。两板通过公共边界(x2=a2或x1=xc)连接，其相对位置关系通过耦合角度α和坐标x1=xc来描述。对于面外振动(弯曲振动)的边界条件采用沿边界均匀分布的横向线性位移支撑和旋转约束弹簧支撑来模拟，而面内振动的边界条件可以用法向位移及切向位移约束弹簧支撑来模拟。因此，采用四类弹簧均匀分布在各边界上来模拟耦合板结构的边界条件。为了后文描述方便，Kw11，kw11，knx11和kpx11四类边界约束弹簧刚度分别用来描述边x1=a1的面外、面内振动的边界条件。kcw，kcv，kcu和Kc四类耦合弹簧刚度被用来描述两块板之间的耦合效应，这四类耦合弹簧的应用，可以模拟耦合板结构不同的耦合效应，能更为准确地描述耦合板结构的振动特性。对于板2的耦合公共边(x2=a2)，在该边上仅存在耦合边界弹簧。对于该耦合板结构模型，任意经典边界条件可以通过将相应的边界约束弹簧刚度设定为零或者无穷大而简单得到。同样，四类耦合弹簧及耦合角度的不同取值将实现各种不同的耦合条件。

1.2 T型耦合板结构位移级数描述

在文献[9]的基础上，本文将T型耦合板结构中板结构的面外振动和面内振动位移分别表示为一种改进傅里叶级数(加速):

(1)

(2)

(3)

其中，i表示板结构的编号，在本文研究中i的取值为1和2；Ai,mn，Bi,mn和Ci,mn代表傅里叶级数展开系数，

λaim=mπ/ai

(4)

λbn=nπ/b

(5)

对于面外振动位移函数，每个方向的位移函数由傅里叶余弦级数和四项单傅里叶正弦级数之和构成，而对于面内振动位移则由傅里叶余弦级数和两项单傅里叶正弦级数之和构成。这些补充的单傅里叶正弦级数被用来处理边界上和当位移函数及其导数通过傅里叶展开扩展到整个x-y平面内可能存在的不连续或跳跃。

1.3 模型求解

本文将傅里叶级数展开未知系数作为广义坐标,采用Rayleigh-Ritz方法来进行求解。对于任何一个耦合结构系统其总的势能和动能可以表示为：

(6)

(7)

对于本文所研究的T型耦合板结构中，Np取值为2。对于单个板结构其势能和动能可以用位移函数表示为:

(8)

(9)

(10)

对于耦合角度非零的耦合结构系统而言，面内与面外振动存在耦合效应，在对其进行振动分析时需要考虑板之间的耦合。在本文求解方法框架下，采用四类耦合弹簧来模拟板之间的耦合效应，存储在耦合弹簧中的弹性势能可以描述为:

kcu(ui|si=xc-uj|sj=ajcosα-wj|xj=ajsinα)2+kcv(vi|xi=xc-vj|xj=aj)2+Kc(∂wi/∂xi|xi=xc-∂wj/∂xj|xi=aj)2]dyi

(11)

其中，kcw，kcu，kcv和Kc是如图1所示的四类用于模拟板之间耦合效应的四类耦合弹簧刚度，α则为耦合板之间的角度，表征了板之间的相对位置。

经典的汉密尔顿原理应用到耦合结构系统:

(12)

将式(6)～(11)代入式(12)，然后使汉密尔顿方程对傅里叶展开系数Ai,mn，Bi,mn和Ci,mn求极值，可以得到6个方程的线性方程组，然后将其进一步写为矩阵形式为:

{K-ω2M}Φ=0

(13)

其中，K和M分别为系统的刚度矩阵和质量矩阵。Φ是所有傅里叶级数展开的未知系数向量。

Φ={A1,mnB1,mnC1,mnA2,mnB2,mnC2,mn}T

(14)

由上述的推导可知，T型耦合板结构系统的模态特性(固有频率及其对应的特征向量)可以通过求解式(13)所示的一个标准特征值问题而简单得到。每个特征向量包含了构成相应结构模态所需要的所有的傅里叶展开系数，将得到的特征向量带入式(1)，(2)和(3)即可绘制出真实的物理模态形状。

2 数值计算结果与分析

2.1 模型验证

表1 矩形板前6阶模态参数(a/b=2)

通过表1和图2、3的对比分析可知，所得的计算结果吻合良好，模态振型保持一致。因此，本文计算方法和计算模型是正确可靠的，收敛性良好。

图2 本文方法计算得到的完全固支矩形板前4阶模态振型

图3 有限元分析软件ABAQUS计算得到的完全固支矩形板前4阶模态振型

2.2 T型耦合板模态特性研究

在验证本文方法正确性和可靠性的基础上，对不同耦合位置及边界条件下耦合板结构模态特性进行分析。为了简化整个计算过程，假定两板具有相同的厚度与宽度，h1=h2=0.005 m和b=1 m。两板的长度分别为a1=1.5 m和a2=1.0 m。两块板的材料参数为：杨氏模量E=71×109N/m2，质量密度ρ=2 700 kg/m3和泊松比μ=0.3。

首先，考虑耦合角度为90°，耦合位置xc=a1/2的T型耦合板结构。板1的所有边的面外振动和面内振动边界条件均为固支。板2中沿边界x2=0，y2=0和y2=b的面外与面内振动边界条件也同样设定为固支边界条件。表2列出了本文方法与ABAQUS计算所得刚性耦合板前6阶固有频率。对于T型板耦合结构的模态振型可以通过将相应的傅里叶展开系数向量代入到其位移函数表达式方程(1)～(3)而方便地得到。从表2中的对比数据分析可知，本文方法的预测结果与有限元软件ABAQUS计算结果吻合良好。刚性耦合T型板结构的前6阶模态振型如图4所示。

表2 刚性耦合条件下T型耦合板结构固有频率(xc=a1/2)

图4 刚性耦合条件下T型板结构前6阶模态振型(xc=a1/2)

表3 不同耦合情况下耦合板结构系统固有频率(Hz)

“a”为有限元分析软件ABAQUS计算结果

在刚性耦合条件下，研究不同耦合情况(耦合位置和耦合角度)下耦合板结构系统的模态特性。对于板1和板2的非耦合公共边的面外与面内振动边界条件分别为简支和固支。不同耦合情况下耦合板结构系统的前6阶固有频率如表3所示。从表3可知，对于在板1上一定位置耦合板2，耦合角度对耦合板结构系统的固有频率影响不大。对于耦合公共边在板1的位置xc对结构系统的固有频率敏感度较大。但耦合边在板1的位置xc=0 m时，T型板结构演变为L型耦合板结构。由此可知，本文所建立的耦合板结构模型可以通过改变相应参数而简便地实现不同类型耦合板结构的振动分析。

当耦合弹簧刚度发生相应改变，即可模拟弹性耦合板结构系统。现考虑耦合位置α=90°和xc=0.75 m时的耦合板结构系统，耦合弹簧的刚度分别取Kc=105Nm/rad，kcu=104N/m，kcv=104N/m和kcw=104N/m。板1中所有的面外和面内振动边界条件分别为简支和固支。板2中x2=0，y2=0和y2=b面外和面内振动边界条件也同样设置为简支和固支。表4列出了该种工况下耦合板结构系统的前6阶固有频率。通过对表4中的数据进行分析可知，本文方法能够较为准确地预测弹性耦合条件下板结构系统的模态特性。

当耦合角度改变为45°时，边界条件不变，将耦合弹簧的刚度修改为Kc=107Nm/rad，kcv=104N/m和kcw= 104N/m。此时耦合板结构系统的前6阶固有频率如表5所示。表5说明两组计算结果吻合良好，验证了本文方法对于耦合结构系统具有良好的预测精度。

表4 耦合弹簧刚度为Kc=105 Nm/rad，kcu =104 N/m，kcv =104 N/m和kcw= 104 N/m下T型耦合板结构固有频率(xc=a1/2)

表5 耦合弹簧刚度为Kc=107 Nm/rad，kcv =104N/m和kcw= 104 N/m下耦合角度为45°T型耦合板结构固有频率(xc=a1/2)

最后，考虑在弹性支撑条件下的弹性耦合板结构系统，为了简化过程，本文假定所有边界弹簧和耦合弹簧刚度值均取为105，耦合位置xc=0.75 m，耦合角度α=90°。表6列出了耦合板结构系统的前6阶固有频率。

表6 所有弹簧刚度值为105,耦合角度为90°下耦合板结构固有频率(xc=a1/2)

3 结 论

本文采用一种改进的傅里叶级数方法，对T型耦合板结构自由振动特性进行求解分析。将T型耦合板结构位移函数不变地表示为一种改进的加速傅里叶级数形式，采用Rayleigh-Ritz方法求解基于能量原理的拉格朗日方程，得到关于未知位移级数傅里叶展开系数的标准特征值问题。采用各个方向均匀分布的弹簧来模拟边界支撑及耦合连接，可以通过改变弹簧刚度值而简单实现各种边界条件及耦合连接的模拟。采用本文方法对T型耦合板结构进行了自由振动特性分析，通过与有限元结果相对比验证本文方法的正确性和适用性。本文方法可以方便地扩展到多板耦合结构系统动态特性分析。

参 考 文 献

[1]Cremer L,Heckl M,Ungar.E E.Structure-borne Sound[M].2nded.Berlin: Springer Verlag,2005.

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