Spar平台垂荡-纵摇内共振特性研究

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(中国船舶工业集团公司第七O八研究所， 上海 200011)

0 引言

图1 Spar平台垂荡-纵摇耦合示意图

Spar平台的垂荡运动和纵摇运动具有强烈的耦合性(如图1所示)。典型Spar平台的垂荡与纵摇的固有运动频率比接近于。在某些特殊海况下，会产生一个线性激励的垂荡共振运动[1]，从而使一阶波浪力比二阶差频波浪漂移力变得更为重要。在发生共振的情况下，首先垂荡响应幅值会急剧增大，并会向纵摇运动产生能量传递，从而产生不稳定的纵摇运动。

由于多自由度系统在使用摄动法求解时比较困难[2，3]，采用单自由度参数激励方程来研究平台纵摇运动的稳定性，这样虽然能够建立更为精确的非线性运动方程，但仅考虑了垂荡运动对于纵摇运动的影响，而忽略了纵摇运动对于垂荡运动的影响，其实质还是单自由度的问题，不能很好地反映两者之间的耦合关系。因此，应用多尺度法导出了垂荡运动发生主共振，即入射波波浪频率接近垂荡固有频率时响应方程的一阶摄动解，然后对方程解的稳定性进行了研究，提出预报平台出现内共振的方法。

1 运动方程的简化及求解

Spar平台垂荡-纵摇经简化后的耦合运动方程[4，5]如下：

(1)

(2)

其中：

在采用多尺度法[6,7]求解多自由度非线性方程之前，首先对方程的变量进行线性变换[8]，

(3)

对方程变量进行适当形式上的替换，得到如下一个考虑二自由度系统的强迫振动方程[9]：

(4)

其中：

设

(5)

其中：ε是与振幅同阶的小量，Tn=εnt。

把式(5)代入式(4)，比较ε同幂次项的系数，得

(6)

(7)

式(6)的解可表示为

(8)

把式(8)代入(7)，得

(9)

当垂荡运动发生主共振时，波浪激励频率是接近或等于垂荡运动固有频率的，故令：ω=p1+εσ1。根据Spar平台的实际结构特征，平台的垂荡和纵摇运动频率之比约为2∶1，因此使p1=2p2-εσ2。

此时式(9)消除永年项，得到

(10)

式(14)中不含有纵摇激励力矩f2，可以表明在发生垂荡主共振时耦合内共振运动主要是由垂荡激励力引起的，而与纵摇激励力矩f2关系不是很大。

引入极坐标变量：

(11)

代入式(14)并分离实虚部得

(12)

其中：γ1=β1-2β2-σ2T1,γ2=σ1T1-β1+θ1

2 解的稳定性分析

对于定常响应，D1α1=D1α2=D1γ1=D1γ2=0,则

(13)

其中：

直接受到力幅为F1的激励的坐标x1的振幅α1的表达式中完全看不到F1或f1的影响。由式(8)、式(13)可得最终平台发生垂荡主共振时垂荡-纵摇耦合运动响应的一阶近似表达式：

(14)

由式(14)可以看出解有多值现象，这时初始条件将决定哪个解是真实的响应。

图2 响应幅值随波浪激励幅值变化曲线 (σ1=σ2=0) 图3 响应幅值随波浪激励幅值变化曲线(σ2=0)

σ1=σ2=0时,垂荡、纵摇一阶定常幅值曲线如图2所示。从图2可以看出，当波浪激励在小于0.085×10-4变化时，垂荡运动幅值一直是线性增大的，而此时纵摇运动未被激起，幅值为0；当波浪激励继续增大时，处于较高模态的垂荡能量首先达到饱和，饱和之后垂荡运动幅值保持不变，但由于垂荡自由度的激励依然存在，使得整个平台运动系统的能量仍然不断增加，于是能量便向纵摇自由度传递，又由于垂荡、纵摇两自由度的耦合原因，此时纵摇运动幅值从零开始逐渐非线性增长。

σ2=0时，垂荡、纵摇定常响应及稳定性分析如图3所示，此时G1<0。由图3可知，当波浪激励小于0.87×10-4时，纵摇运动的振幅没有被激发，垂荡运动的振幅随着波浪激励的增加而承线性增加，f1=0.87×10-4，是一个分岔点，在该点处的一个实根发生符号的改变，解的数目也发生变化。当f1>0.87×10-4时，随着波浪激励f1的增加，垂荡运动的振幅保持为一个常数，即达到饱和；纵摇运动的振幅从零开始增加，表明垂荡运动的能量传递到了纵摇运动进而发生的渗透现象。由此可见，即使纵摇运动不是被直接激发，仍可能达到一个很大的幅值。从图3中也可以看出非线性运动所特有的跳跃现象。

令σ1=0，σ2取0.01,0.012,0.015，垂荡、纵摇响应随激励的变化如图4、图5所示。

图4 Spar平台垂荡-纵摇耦合示意图 图5 Spar平台垂荡-纵摇耦合示意图

此种情况下，随着调谐参数σ2逐渐增大，垂荡运动响应达到饱和时的幅值也随之增大σ2，而且垂荡响应达到饱和之后的稳定幅值也越大；对于纵摇运动响应，增大，激起纵摇运动所需的波浪激励也随着增大，而纵摇运动的幅值响应相对减小。

令σ2=0，σ1取0.01,0.011,0.012，垂荡、纵摇响应随激励的变化如图6、图7所示。

图6 Spar平台垂荡-纵摇耦合示意图 图7 Spar平台垂荡-纵摇耦合示意图

此种情况下，增大调谐参数σ1，不但会使引起垂荡运动达到饱和所需的波浪激励随着增大，同时也使得垂荡运动幅值达到稳定之前的幅值增长速度有所减缓；对于纵摇运动，当增大σ1时，需要更大的波浪激励才能激起纵摇运动，并且在相同波浪激励的情况下，σ1越大，纵摇运动幅值越小。

3 数值验证

初始纵摇角为0.02 rad，波浪激励幅值逐渐增大时，垂荡、纵摇响应随时间的变化如图8～图11所示。

图8 波浪激励为0.01时的垂荡、纵摇响应时间历程

图9 波浪激励为0.03时的垂荡、纵摇响应时间历程

图10 波浪激励为0.07时的垂荡、纵摇响应时间历程

图11 波浪激励为0.08时的垂荡、纵摇响应时间历程

4 结论

在考虑变化的排水体积和初稳心高的基础上，建立了Spar平台垂荡-纵摇两自由度的非线性耦合方程，采用多尺度法分析了波浪频率接近垂荡固有运动频率时运动方程的一阶定常响应解，并对解的稳定性进行了分析，得到如下结论：

(1)当波浪频率接近Spar平台垂荡固有运动频率，而且一阶波浪激励力达到一定幅值时，Spar平台将出现垂荡-纵摇耦合内共振运动，引起这种共振运动现象的主要原因是垂荡、纵摇两自由度固有运动频率之比接近于2∶1和其耦合非线性因素。

(2)当Spar平台出现内共振时，垂荡运动发生幅值锁定，即垂荡运动响应幅值随着波浪激励力的增加基本保持不变；纵摇运动会随着波浪激励力的增加，从最开始的未被激活状态开始出现非线性的增长。引起这种现象的主要原因是此时平台垂荡运动存在能量饱和现象，当波浪激励力继续增大时，多余的垂荡共振能量将通过方程中的耦合项向纵摇模态渗透，导致纵摇运动加剧。

(3)较大幅值的垂荡激励力会使得耦合运动方程的解出现多值现象，初始条件将决定哪个解是真实响应，从而导致了跳跃现象的产生，这是Spar平台出现耦合内共振运动的内在原因，而纵摇激励力矩对于其耦合内共振运动的影响不大。

(4)当Spar平台出现内共振运动后，此时垂荡的运动幅值取决于纵摇阻尼以及垂荡固有运动频率与2倍纵摇固有运动频率之间的差距，而与垂荡激励力无关。改变纵摇阻尼或两自由度固有运动频率之差可控制垂荡共振能量向纵摇模态渗透的程度。所以建议在平台的建造阶段安装可伸缩或其它能够调整垂荡板位置和间距的装置，这样当波浪频率接近垂荡固有运动频率时，可根据实际作业要求对垂荡板进行适当调整，也可安装螺旋列板等装置，增加纵摇阻尼，从而避免发生共振。

[1] Kamel M M. Effects of internal resonances in non-linear system under parametric and external excitations [J].Appl. Sci. 50 (2003) 1-19.

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[3] Nayfeh A H. Non-Linear Interactions[M]. Wiley/Interscience. New York. 2000.

[4] 张海燕. Spar平台垂荡-纵摇耦合运动特性研究[D]. 天津：天津大学. 2008.

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