浅谈高中数学常用逻辑用语的应用

郑会英

摘要：一是理解联结词的意义，二是理解四种命题及其关系，三是掌握充分条件、必要条件及充分条件的意义。本节是高考必考内容之一。

关键词：逻辑联结词；充分条件；必要条件

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0260-02

本节内容是高考考查热点，常以小题形式出现，但学生得分情况并不太好，主要原因是对基本知识掌握不够透彻，有些知识点模糊不清，针对这一情况，下面我浅谈几例。

一、类一：命题及关系

例1.命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（）。

A.若a2+b2≠0，且a≠b且b≠0.

B.若a2+b2≠0，且a≠0且b≠0.

C.若a=0且b=0，则a2+b2≠0.

D.若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0.

解析：先求其逆命题为“若a=0且b=0，则a2+b2=0”，再将逆命题否定“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”，选D。

考点：逆否命题。

练习1：下列有关命题的说法正确的是（ ）。

A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”.

B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件.

C.命题“∃x∈R，使得x2+x=1<0”的否定是：“对∀x∈R均有x2+x=1<0”.

D.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题.

解析：A中，否命题应为若x2≠1，则x≠1；B中，x=-1⇒x2-5x-6=0，应为充分不必要条件；C中，命题的否定应为：对∀x∈R，均有x2+x=1≥0；D中，原命题为真，则逆否命题也为真。

考点：命题的否定；四种命题。

二、类二：充分条件与必要条件

例2.已知命题p：<1，命题q：（x+a）（x-3）>0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）。

A.（-3，-1] B.[-3，-1] C.（-∞，-1] D.（-∞，-3]

解析：p：<1⇔<0⇔-1

q：（x+a）（x-3）>0.当a=-3时，（x+a）（x-3）>0⇔（x-3）2>0⇔x≠-3.p是q的充分不必要条件.

当a>-3时（x+a）（x-3）>0⇔x>3或x<-a

p⇒q且q≠⇒p，得1≤-a即a≤-1

当a<-3时（x+a）（x-3）>0⇔x>-a或x<3.符合题意

综上所述得a≤-1。

练习2.条件p:（x-2）2≤1，条件q:≥1，则q是p的（）。

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析：本题考查充要条件的判断。

由（x-2）2≤1得1≤x≤3，则p:-1≤x≤1，记p={x|-1≤x≤3}；由≥1得≥0，即1

则Q⊂P，即Q是P的真子集，故q是p的充分不必要条件。

三、类三：全称量词与存在量词

例3：

1.已知命题P:∀x>2，x3-8>0，那么¬P是（）。

A.∀x≤2，x3-8≤0B.∃x>2，x3-8≤0

C.∀x>2，x3-8≤0D.∃x≤2，x3-8≤0

解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题P:∀x>2，x3-8>0的否定是∃x>2，x3-8≤0，故选B。

考点：全称命题与特称命题的定义。

练习3.命题p:∀x∈R，x2+1≥1，则¬P是（）。

A.∀x∈R，x2+1<1.B.∃x∈R，x2+1≤1.

C.∃x∈R，x2+1<1.D.∃x∈R，x2+1≥1.

解析：因为全称命题“∀x∈Q，q（x）”的否定形式是“∃x∈Q，¬p（x）”，所以一方面需要把原命题p中的全称量词改为存在量词，另一方面把x2+1≥1全盘否定为x2+1<1。