泰勒公式在极限和等式不等式中的地位与作用

摘要：从求极限、证明等式、证明不等式三个方面说明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

关键词：泰勒公式；极限；等式；不等式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）23-0113-02

近年来关于泰勒公式的研究很多，文[1]说明了泰勒公式的不足并给出了建议，文[2]推广了泰勒公式，文[1-5]用例题说明了泰勒公式在求极限、求近似值、求幂级数的展开、式行列式计算以及等式不等式的证明中的应用.但有些例题不能充分说明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面从求极限、证明不等式、证明等式方面通过典型例题说明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求极限中的地位与作用

常用的求极限的方法是等价无穷小替换与罗比达法则的混合使用，和式的极限还可以考虑夹逼原理和定积分的定义.在极限的运算中泰勒公式不是首选的工具，因为它比其他工具在书写和表达上要复杂.因此一般不选用泰勒公式求极限.但是有的极限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出来.

例1[6] 求.

解 x→0时，sin43x：（3x4）=81x4，应用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

该题只能用泰勒公式解决，读者可以验证其他工具和方法，是求不出结果的.泰勒公式是可以展开到任意次的，在题目中展开到4次是因为分母的等价无穷小是4次.也就是说，使用泰勒公式求极限时函数泰勒展开的次数取决于题目中其他部分的次数.

二、泰勒公式在证明等式中的应用

在各级各类考试中经常会有关于中值公式的证明，拉格朗日中值公式是零阶的泰勒公式，使用范围较大，但如果碰到的是高阶的微分中值定理题目，处理工具最好采用泰勒公式，不仅问题的解决过简洁，而且有时候泰勒公式是必须选用的工具.

例2[7] 设f（t）三阶可导，且f‴（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

证明λ=.

证明 将f（t）在t=b处展开为三阶带有皮亚诺型余项的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

对f（t）求二阶导数得

f″（t）=f″（b）+f‴（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中将t变为b+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f‴（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

联立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求极限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法来证明例2，不仅过程复杂，而且求解不得结果.

三、泰勒公式在证明不等式中的应用

如同高阶的微分中值定理等式证明一样，如果要证明的不等式中出现一阶、高阶导数，在拉格朗日中值定理解决不了的情况下，就要考虑运用泰勒公式证明.还有一种不含有微分、积分的普通不等式，证明方法较多，但有时候泰勒公式是最简便的方法.

例3[8] 证明：xln=+cosx≥1+（-1

证明 因为-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

将ln（1+x），ln（1-x），cosx展开为二阶的带有皮亚诺型余项的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

将⑧代入⑦左侧，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）⇔x2+o（x2）≥0

恒成立.

该题的证明可以采用构造辅助函数利用单调性证明，也可以采用拉格朗日中定理结合单调性证明，但证明均不如采用泰勒公式简便.

泰勒公式一直是高等数学教学中的重点和难点，重在泰勒公式的应用，难在公式大、系数多、导数阶数高，还有一余项.教材中主要说明了泰勒公式的形成、证明，应用涉及较少.学生对推导证明有畏惧心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，这就降低了学习泰勒公式的积极性和主动性，减弱了学习效果.好多学生对泰勒公式的反应时只知其名，不知何物，尽量不用.因此在泰勒公式的教学中，淡化理论推导，侧重公式应用，突出重点，降低难度，在应用中掌握公式，激发学习兴趣很有必要.

参考文献：

[1]王国强，胡法领，盛大征.泰勒公式及其应用[J].德州学院学报，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其应用[J].科学之友，2012，（6）.

[3]鲁翠仙.泰勒公式及其应用[J].西昌学院学报，2013，（3）.

[4]王国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报，2012，（8）.

[5]熊学辉，柯璇，张凯.物理类课程中泰勒公式近似的教学方法探讨[J].江汉大学学报，2011，（4）.

[6]尹逊波，杨国俅.全国大学生数学竞赛辅导教程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012：63-64.

[7]张天德，蒋晓芸.高等数学习题精选精解[M].济南：山东科学技术出版社，2007：90.

[8]张天德，李仁所，李擂.考研数学试题精选精解高等数学600题[M].济南：山东科学技术出版社，2013：62.

基金项目：本论文得到山东省高等学校青年骨干教师国内访问学者项目经费资助，滨州学院优秀教学团队-BZXYJXTD201302.

作者简介：窦慧（1974-），女，山东惠民人，硕士，讲师，研究方向：高等数学教学。

摘要：从求极限、证明等式、证明不等式三个方面说明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

关键词：泰勒公式；极限；等式；不等式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）23-0113-02

近年来关于泰勒公式的研究很多，文[1]说明了泰勒公式的不足并给出了建议，文[2]推广了泰勒公式，文[1-5]用例题说明了泰勒公式在求极限、求近似值、求幂级数的展开、式行列式计算以及等式不等式的证明中的应用.但有些例题不能充分说明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面从求极限、证明不等式、证明等式方面通过典型例题说明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求极限中的地位与作用

常用的求极限的方法是等价无穷小替换与罗比达法则的混合使用，和式的极限还可以考虑夹逼原理和定积分的定义.在极限的运算中泰勒公式不是首选的工具，因为它比其他工具在书写和表达上要复杂.因此一般不选用泰勒公式求极限.但是有的极限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出来.

例1[6] 求.

解 x→0时，sin43x：（3x4）=81x4，应用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

该题只能用泰勒公式解决，读者可以验证其他工具和方法，是求不出结果的.泰勒公式是可以展开到任意次的，在题目中展开到4次是因为分母的等价无穷小是4次.也就是说，使用泰勒公式求极限时函数泰勒展开的次数取决于题目中其他部分的次数.

二、泰勒公式在证明等式中的应用

在各级各类考试中经常会有关于中值公式的证明，拉格朗日中值公式是零阶的泰勒公式，使用范围较大，但如果碰到的是高阶的微分中值定理题目，处理工具最好采用泰勒公式，不仅问题的解决过简洁，而且有时候泰勒公式是必须选用的工具.

例2[7] 设f（t）三阶可导，且f‴（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

证明λ=.

证明 将f（t）在t=b处展开为三阶带有皮亚诺型余项的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

对f（t）求二阶导数得

f″（t）=f″（b）+f‴（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中将t变为b+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f‴（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

联立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求极限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法来证明例2，不仅过程复杂，而且求解不得结果.

三、泰勒公式在证明不等式中的应用

如同高阶的微分中值定理等式证明一样，如果要证明的不等式中出现一阶、高阶导数，在拉格朗日中值定理解决不了的情况下，就要考虑运用泰勒公式证明.还有一种不含有微分、积分的普通不等式，证明方法较多，但有时候泰勒公式是最简便的方法.

例3[8] 证明：xln=+cosx≥1+（-1

证明 因为-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

将ln（1+x），ln（1-x），cosx展开为二阶的带有皮亚诺型余项的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

将⑧代入⑦左侧，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）⇔x2+o（x2）≥0

恒成立.

该题的证明可以采用构造辅助函数利用单调性证明，也可以采用拉格朗日中定理结合单调性证明，但证明均不如采用泰勒公式简便.

泰勒公式一直是高等数学教学中的重点和难点，重在泰勒公式的应用，难在公式大、系数多、导数阶数高，还有一余项.教材中主要说明了泰勒公式的形成、证明，应用涉及较少.学生对推导证明有畏惧心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，这就降低了学习泰勒公式的积极性和主动性，减弱了学习效果.好多学生对泰勒公式的反应时只知其名，不知何物，尽量不用.因此在泰勒公式的教学中，淡化理论推导，侧重公式应用，突出重点，降低难度，在应用中掌握公式，激发学习兴趣很有必要.

参考文献：

[1]王国强，胡法领，盛大征.泰勒公式及其应用[J].德州学院学报，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其应用[J].科学之友，2012，（6）.

[3]鲁翠仙.泰勒公式及其应用[J].西昌学院学报，2013，（3）.

[4]王国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报，2012，（8）.

[5]熊学辉，柯璇，张凯.物理类课程中泰勒公式近似的教学方法探讨[J].江汉大学学报，2011，（4）.

[6]尹逊波，杨国俅.全国大学生数学竞赛辅导教程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012：63-64.

[7]张天德，蒋晓芸.高等数学习题精选精解[M].济南：山东科学技术出版社，2007：90.

[8]张天德，李仁所，李擂.考研数学试题精选精解高等数学600题[M].济南：山东科学技术出版社，2013：62.

基金项目：本论文得到山东省高等学校青年骨干教师国内访问学者项目经费资助，滨州学院优秀教学团队-BZXYJXTD201302.

作者简介：窦慧（1974-），女，山东惠民人，硕士，讲师，研究方向：高等数学教学。

摘要：从求极限、证明等式、证明不等式三个方面说明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

关键词：泰勒公式；极限；等式；不等式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）23-0113-02

近年来关于泰勒公式的研究很多，文[1]说明了泰勒公式的不足并给出了建议，文[2]推广了泰勒公式，文[1-5]用例题说明了泰勒公式在求极限、求近似值、求幂级数的展开、式行列式计算以及等式不等式的证明中的应用.但有些例题不能充分说明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面从求极限、证明不等式、证明等式方面通过典型例题说明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求极限中的地位与作用

常用的求极限的方法是等价无穷小替换与罗比达法则的混合使用，和式的极限还可以考虑夹逼原理和定积分的定义.在极限的运算中泰勒公式不是首选的工具，因为它比其他工具在书写和表达上要复杂.因此一般不选用泰勒公式求极限.但是有的极限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出来.

例1[6] 求.

解 x→0时，sin43x：（3x4）=81x4，应用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

该题只能用泰勒公式解决，读者可以验证其他工具和方法，是求不出结果的.泰勒公式是可以展开到任意次的，在题目中展开到4次是因为分母的等价无穷小是4次.也就是说，使用泰勒公式求极限时函数泰勒展开的次数取决于题目中其他部分的次数.

二、泰勒公式在证明等式中的应用

在各级各类考试中经常会有关于中值公式的证明，拉格朗日中值公式是零阶的泰勒公式，使用范围较大，但如果碰到的是高阶的微分中值定理题目，处理工具最好采用泰勒公式，不仅问题的解决过简洁，而且有时候泰勒公式是必须选用的工具.

例2[7] 设f（t）三阶可导，且f‴（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

证明λ=.

证明 将f（t）在t=b处展开为三阶带有皮亚诺型余项的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

对f（t）求二阶导数得

f″（t）=f″（b）+f‴（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中将t变为b+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f‴（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

联立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求极限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法来证明例2，不仅过程复杂，而且求解不得结果.

三、泰勒公式在证明不等式中的应用

如同高阶的微分中值定理等式证明一样，如果要证明的不等式中出现一阶、高阶导数，在拉格朗日中值定理解决不了的情况下，就要考虑运用泰勒公式证明.还有一种不含有微分、积分的普通不等式，证明方法较多，但有时候泰勒公式是最简便的方法.

例3[8] 证明：xln=+cosx≥1+（-1

证明 因为-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

将ln（1+x），ln（1-x），cosx展开为二阶的带有皮亚诺型余项的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

将⑧代入⑦左侧，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）⇔x2+o（x2）≥0

恒成立.

该题的证明可以采用构造辅助函数利用单调性证明，也可以采用拉格朗日中定理结合单调性证明，但证明均不如采用泰勒公式简便.

泰勒公式一直是高等数学教学中的重点和难点，重在泰勒公式的应用，难在公式大、系数多、导数阶数高，还有一余项.教材中主要说明了泰勒公式的形成、证明，应用涉及较少.学生对推导证明有畏惧心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，这就降低了学习泰勒公式的积极性和主动性，减弱了学习效果.好多学生对泰勒公式的反应时只知其名，不知何物，尽量不用.因此在泰勒公式的教学中，淡化理论推导，侧重公式应用，突出重点，降低难度，在应用中掌握公式，激发学习兴趣很有必要.

参考文献：

[1]王国强，胡法领，盛大征.泰勒公式及其应用[J].德州学院学报，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其应用[J].科学之友，2012，（6）.

[3]鲁翠仙.泰勒公式及其应用[J].西昌学院学报，2013，（3）.

[4]王国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报，2012，（8）.

[5]熊学辉，柯璇，张凯.物理类课程中泰勒公式近似的教学方法探讨[J].江汉大学学报，2011，（4）.

[6]尹逊波，杨国俅.全国大学生数学竞赛辅导教程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012：63-64.

[7]张天德，蒋晓芸.高等数学习题精选精解[M].济南：山东科学技术出版社，2007：90.

[8]张天德，李仁所，李擂.考研数学试题精选精解高等数学600题[M].济南：山东科学技术出版社，2013：62.

基金项目：本论文得到山东省高等学校青年骨干教师国内访问学者项目经费资助，滨州学院优秀教学团队-BZXYJXTD201302.

作者简介：窦慧（1974-），女，山东惠民人，硕士，讲师，研究方向：高等数学教学。