软岩巷道底板极限承载力研究

李和志，陈 辉

（江西科技学院 土木工程学院，江西 南昌 330098）

软岩巷道底板极限承载力研究

李和志，陈 辉

（江西科技学院 土木工程学院，江西 南昌 330098）

软岩巷道底板岩体在边墙两侧松动围岩的作用下产生塑性变形是软岩巷道产生底鼓现象的主要原因之一，底板极限承载力是判断是否发生底鼓的理论依据。借助极限分析上限法，在软岩巷道底板塑性区域建立满足力学边界条件的机动场，推导出底板极限承载力的上限解公式；运用极限分析下限法，以屈服条件和平衡方程为基础，建立静力场推导出底板极限承载力的下限解公式。所推导出的底板极限承载力上限解、下限解相等，且与已有研究成果——底板极限承载力滑移线解的公式一致，进而得到软岩巷道底板极限承载力精确解。

巷道；底板；极限承载力；极限分析法

0 引言

巷道顶底板和两侧岩体变形并向巷道内移动，底板向上隆起的现象称之为底鼓[1]。软岩巷道底板岩体在边墙两侧松动围岩的作用下产生塑性变形是软岩巷道产生底鼓现象的主要原因之一。软岩巷道底板极限承载力是判断软岩巷道是否发生底鼓的理论依据：当作用于底板的荷载大于其极限承载力时，底板岩体进入塑性流动状态进而产生底鼓现象。

钟新谷教授[2～4]利用岩土塑性力学理论中的滑移线法分析了松软围岩巷道产生底鼓机理，推导出底板极限承载力公式，提出底板角锚杆防治底鼓的方法，确定了锚杆的支护参数。从极限分析理论来看，滑移线法所求出的极限荷载解既没有证明符合上限定理，也没有证明符合下限定理，故不能认为是上限解，也不能认为是下限解。所以，滑移法解不一定是精确解。

极限分析方法是以塑性上下限定理为理论依据的稳定性分析方法，由上限定理通过构筑运动许可的速度场界定真实解的上限，由下限定理通过构筑全局静力许可的应力场界定真实解的下限，从而限定真实解的严格范围[5]。

本文借助上限定理极限分析法，在底板塑性区域建立满足力学边界条件的机动场，推导出底板极限承载力的上限解公式；运用下限定理极限分析法，以屈服条件和平衡方程为基础，建立静力场，推导出底板极限承载力的下限解公式。所推导出的底板极限承载力上限解、下限解相等，且与已有研究成果——底板极限承载力滑移线解的公式一致，进而得到软岩巷道底板极限承载力精确解。

1 上限定理极限分析法

为便于分析，认为底板岩体为均质莫尔-库伦材料且不考虑其自重，忽略松动围岩与底板在水平方向的摩擦力。将巷道松动围岩作用于底板的压力简化为条形荷载，则巷道底板相当于承受承受条形荷载的地基。

上限定理就是假定的破坏机构的外荷载所做的功(率)大于其内部能量的损耗(率)，则土(岩)体不能承受所施加的荷载。对于一有效破坏机构，令外力做的功(率)等于内功(率)，则可求出极限荷载的一个不安全上限[6]。运用上限定理求解极限荷载上限的方法是：建立机动场，根据虚功率原理求解上限解。

当巷道底板岩体应力状态达到或超过莫尔-库伦屈服条件，底板岩体进入塑性流动状态。在底板岩层处建立Prandtl机动场，如图1所示。

图1 Prandt l动场

ABC区、DEF区、BDG区为均匀速度场，BCG区、DGF区为非均匀速度场[7]。ACGFE为刚塑性区分界线，故AC、CG、GF、EF均为速度间断线。

先分析DEF区。DEF区为均匀速度场，速度用v′0表示。EF为速度间断线，EF左侧速度为v′0，右侧速度为零，故质点通过EF速度的改变即为v′0。而质点从一个速度区域穿过间断线进入到另一个速度区时，速度改变Δv方向与速度间断线成φ角[8]。由图1可知∠DEF=π/2－φ，而v′0与EF边成φ角，所以v′0垂直于EF边。所以ABC区、DEF区在上部松动围岩作用下分别垂直BC、DF边运动，速度大小为v′0。

图2 变形楔体

再分析变形楔体DGF。将DGF分成n个刚体三角形，则每个刚体三角形的顶角为Δθ=θ/n，其中∠GDF=θ，如图2所示。图中v0、v1、v2…vn表示相对应的刚体三角形的速度。GF为速度间断线，当Δθ足够小时，v0、v1、v2…vn必垂直DF、DJ、DK、DL…DM。故变形楔体DGF、ABC分别绕D点与B点转动。

建立图3的速度图。Δv表示速度在速度间断线处的改变量。δu与δv表示Δv在DJ方向和DJ垂直方向上的分量。当Δθ足够小时，有：

而在δu、δv与Δv组成的三角形内，有：

综合式（2～4），可得：

图3 速度图

同理可得：

依次类推可得：

则第n个刚体三角形的速度可表示为：

当n→∞时，有：

式中：v-角度为θ时的速度。

根据上述结论，可以求出图1中边界DG在其右侧的速度v′1，θ=π/2,即：

最后分析BDG区。BDG区为均匀速度区，其速度为DG边右侧速度与BG边左侧速度的合速度v′2，方向竖直向上，大小为：

DG、BG边均为间断线。在DG、BG边速度的改变与v′2大小相等。

对于Coulomb材料，在长度为l的的速度间断面内的能量消散率为[8]：

式中，Δvcosφ为速度改变在间断面的分量。

在间断线EF上，位移速度为v′0，其长度lEF，根据图1中的几何关系可求出：

则在间断线EF上的能量消散率：

同理可得到间断线DG上的能量消散率：

变形楔体DGF的能量消散率是速度间断面GF上的能量消散率与变形区DGF能量消散率之和。变形楔体DGF上对数螺旋线GF为速度间断线。沿对数螺旋面上的能量消散率公式与楔体变形区能量消散率公式均为[9]：

式中符号所表示的含义，见如图2。则DGF在变形区DGF和速度间断面GF的总能量消散率为：

由于机动场具有对称性，故在间断线AC、BG上的能量消散率WAC、WBG，变形楔体BCG的能量消散率WBG、BCG满足：

外力q做的功率为：

虚功(率)原理表明：对于一个连续的变形体来说，静力容许的应力场在机动容许的位移场上所作外(虚)功(率)等于内(虚)功(率)[6]。所以有：

综合式(13～14)、(16～19)，可求得隧道底板所能承受的极限承载力的上限解：

2 极限分析下限法

下限定理的表述为：当在屈服点以下可以找出符合应力边界条件的应力平衡状态，外荷载可由弹塑(刚塑)性材料构成的稳定的物体来承受而不产生破坏。运用上限定理求解极限荷载下限的方法是：以屈服条件与平衡方程为基础，建立一静力场，再求出相应的荷载，即极限荷载下限解。

在DFG区建立由n条应力杆构成的应力场，相邻应力杆的夹角为Δθ=θ/n，其中∠GDF=θ，如图4所示。则相当于在底板BDEFG区域建立了由一水平杆与n条斜向的应力杆的构成应力场。图中N1、N2、N3、N4……、Nn为相对应的应力杆杆号的轴向压应力。

单根杆N满足屈服条件，可由图5求出：

在应力杆中引入符号：

式中：P——屈服时的平均应力(均匀静水压力)；

S——屈服时的偏应力(平面内的最大剪力)。

P、S的关系可由莫尔-库伦条件求出，见图6。

图4 物理平面

图5 轴向压应力的M ohr-coul om b屈服条件

图6 M ohr-coul om b屈服条件

两应力场叠加原理：静水压力叠加为代数和，剪应力叠加为向量和，且两剪应力的夹角为两应力场主应力夹角的二倍。由两应力场叠加原理可作出n条应力杆的应力矢量图，如图7所示。图中S1、S2、S3、S4、S5……Sn表示相对应的应力杆屈服时未叠加区域的偏应力。S′0表示在BDG区水平应力杆屈服时未叠加区域的偏应力。S′1表示水平杆和1号杆在叠加区域屈服时的偏应力，S′2表示水平杆、1号杆、2号杆叠加区域在屈服时的偏应力，S′3表示水平杆、1号杆、2号杆、3号杆叠加区域屈服时的偏应力，依次类推可知S′4、S′5、S′6……S′n所表示的含义。

图7 应力平面

根据两应力场叠加原理，结合图7，有:

如图8，当Δθ在足够小的情况下，存在：

图8 应力图

综合式（25～27），得：

同理可得：

综合式(28～29)，得：

当n趋向于无穷大时，有

通过取极限，图7所示的应力图逐渐趋近于半对数螺线。

将式(31)代入式(23)可得：

由此可得DEF区的竖向应力σv为：

于是得到底板极限承载力下限解：

3 极限承载力精确解

应用极限分析上限法可得到极限荷载上限解P+，应用下限定理极限分析法可得到极限荷载的下限解P－。精确解记为Pu，则有：

求得的下限解与上限解相等时，可得精确解：

本文求出的软岩巷道底板极限承载力上限解、下限解满足：

钟新谷教授在文献[2]中所推导的软岩巷道底板极限承载力q(滑移线解)为：

综合以上分析，可得软岩巷道底板极限承载力精确解qu为：

qu为判断软岩巷道是否会发生底鼓的理论判断依据，即当传递到底板的松动围岩的静水压力γH(γ为围岩容重，H为松动围岩高度)大于底板极限承载力qu时，则底板岩体将产生塑性变形，进而发生底鼓现象。

4 结论

（1）应用极限分析上限法，在底板塑性区域建立满足力学边界条件的机动场，推导出底板极限承载力的上限解公式；

（2）应用极限分析下限法，以屈服条件和平衡方程为基础，建立静力场，推导出底板极限承载力的下限解公式；

（3）所推导出的底板极限承载力上限解、下限解相等，且与已有研究成果——底板极限承载力滑移线解的公式一致，进而得出软岩巷道底板极限承载力精确解。

[1]姜耀东，赵毅鑫，刘文岗,等.深部开采中巷道底鼓问题的研究[J].岩石力学与工程学报，2004，23(14)：2396-2401.

[2]钟新谷.锚杆防治软岩巷道底臌的分析[J].力学与实践,1994,16(4):37-40.

[3]钟新谷.软岩巷道底臌机理与支护对策分析[C].煤炭工业部科技教育司汇编.煤炭高等院校青年科学基金学术研讨会论文集.徐州:中国矿业大学出版社,1995:206-211.

[4]钟新谷，徐虎.管缝式锚杆防治软岩巷道底臌的试验研究[J].岩土力学,1996,17(1):16-21.

[5]秦会来，黄茂松，马少坤.黏土基坑抗隆起稳定分析的多块体上限解[J].岩石力学与工程学报，2010，29(1):73-81.

[6]陈惠发.极限分析与土体塑性[M].詹世斌,译.北京:人民交通出版社,1995:28-64.

[7]李和志.软岩隧道底鼓机理分析及防治技术研究[硕士学位论文][D].湖南科技大学,2012.

[8]龚晓南.土塑性力学(第二版)[M].杭州:浙江大学出版社,1999.

[9]郑颖人，龚晓南.岩土塑性力学基础[M].北京:中国建筑工业出版社,1989.

（责任编辑：陈 辉）

Research on Ultimate Bearing Capacity of Floor Soft Rock Roadway

LI He-zhi,CHEN Hui
(School of Civil Engineering,Jiangxi University of Technology,Nanchang 330098,China)

One of main reasons which lead to soft rock roadway to produce floor-heave is that floor rock produces plastic deformation under the action of the loosen rock.The limit bearing capacity of the floor is theoretical foundation whether the floor-heave takes place or not.Building the maneuvering field that satisfies all conditions of mechanical boundary and the upper bound solution of ultimate bearing capacity of roadway floor is deduced by means of limit analysis upper bound method.On the basis of the yield condition and equations of equilibrium to build a statically admissible stress field and the lower solution of ultimate bearing capacity of roadway floor is solved by the lower bound limit analysis.The upper bound solution and the lower solution of ultimate bearing capacity of roadway floor which has been deduced are equal,and the results coincide with the existing results——the slip-line solution of ultimate bearing capacity of roadway floor,and then we can get the floor of the exact solution of soft rock roadway limit bearing capacity.

roadway；floor；ultimate bearing capacity；limit analysis method

TU452

A

123（2014）03-0029-05

2014-03-08

李和志（1985-），男，湖南双峰人，江西科技学院土木工程学院，硕士，工程师。研究方向：隧道围岩压力、地基基础及边坡工程。

陈 辉（1980-），男，江西景德镇人，江西科技学院土木工程学院，博士。研究方向：多孔介质理论及其应用研究、边坡的监测与处置。