变刚度隔振系统动力特性及仿真

闫 菲，车驰东

（上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，海洋工程国家重点实验室，上海200240）

变刚度隔振系统动力特性及仿真

闫 菲，车驰东

（上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，海洋工程国家重点实验室，上海200240）

为了研究多级变刚度隔振系统的振动规律，建立变刚度弹簧结构振动分析模型，推导对于变刚度弹簧的理论解析解表达式，计算不同刚度情况下结构强迫振动的时域和频域振动曲线，比较不同频段的变刚度弹簧和定刚度弹簧的振动情况，并对全频段的振幅有效值和力传递率进行计算，根据经济性、减振效果、力传递等方面对变刚度减振结构的特性做出分析。结果表明在保证结构强度的前提下，变刚度结构在低频段的减振效果明显好于定刚度结构，在隔振区的振动效果也明显好于同等强度的定刚度结构，同时二级弹簧还有负向限位的作用。此变刚度结构对于工程中一些刚度变化的减振结构有一定的工程指导意义。

振动与波；变刚度弹簧；频响曲线；减振结构；动力特性

为了使在设计工况下减振器的减振效果较好，通常情况下采用刚度较小的减振器，但是会影响机器启动阶段（超低频段）的减振效果，同时刚度较小时，对于较重的机器也有可能无法保证强度。

现有常用的减振器的刚度是固定的，无法满足在各频段的减振效果，特别是机器启动阶段的短期共振。同时，为了保证结构强度，需增大减振器刚度，因此隔振区的减振效果会降低。若通过采用变刚度结构，在小振幅时，采用原始小刚度来保证隔振区减振效果；随着振幅的增大，变刚度系统发挥作用，此时既保证了静态强度同时启到了负向限位作用。此外，经仿真计算，变刚度结构在超低频段有一定的抗冲击效果。

近年来，各国学者已经对变刚度结构有一定的研究，进行了理论数值计算以及有限元仿真研究，同时也应用到了智能机器人、医学、车辆等相关领域。邹波等曾设计一种变刚度等应变橡胶轴箱弹簧，并对之进行了结构有限元分析及疲劳试验，此结构使得结构的疲劳性增强[1]。周卓亮在研究中也曾提到变刚度结构，并对之进行了低频隔振实验，得出消灭了隔振器在低频的共振现象，提高了隔振器在低频的性能的结论[2]。罗尧等也将汽车底盘减振装置简化为以非线性弹簧、阻尼器为主的被动阻尼式吸振器，并利用Matlab软件对其在简谐力作用下的响应进行定量绘图分析，探讨了非线性结构的振幅特性[3]。Reza Ghorbani在设计机器人采用了偏移位置可调刚度人工腱[4]，其基本模型为一个变刚度结构，主要研究在人工腱运动过程中的应力情况。XIE Xin-wu等在模拟心肺复苏仪器中也采用了变刚度结构，重点研究了结构运动过程中力与位移的关系[5]。

但现行对于变刚度弹簧结构情况的研究主要存在两个问题，其一，对于含阻尼系统的数值计算研究很少；其二，对于振动过程中衰减的自由振动忽略而只选用稳态振动，从而忽略了机器启动时对于系统的减振效果分析。

因此，本文对有阻尼系统的全时域振动情况进行了仿真计算，假定一组数据，通过对变刚度结构以及固定刚度结构的减振效果进行比较，验证变刚度在减振效果上的优势，并提出工程应用上的一些建议。

1 变刚度阻尼－弹簧减振器强迫振动响应及力传递率

1.1 数学模型

建立变刚度隔振系统模型如图1所示，忽略弹簧质量，以a位置为系统平衡位置，向上运动为正方向建立坐标系，质量块接触新弹簧k2’瞬间位移和速度连续，质量块m与k2’弹簧不连接。

1.2 变刚度结构强迫振动响应及力传递率

对于单自由度系统定刚度系统，振动的微分方程为

根据参考文献[6]，位移响应可表示为一个衰减的瞬态响应及一个稳态响应

图1 单自由度变刚度振动模型及刚度说明

对于分段变刚度系统，系统的参数不同，根据位移和速度连续条件，得到振动微分方程解

x0,x′0为初始位移和速度，为第i次经过变刚度弹簧位置的时间，位移和速度，i=1，2，3…。

以首次经过b位置为例，设x0=x˙0=0，在t=tb时，经过xb时速度为x˙b，刚度发生变化，根据变化瞬间的位移和速度作为下一曲线描述的初始位移及速度，即那么微分方程的解可化简为

力传递率在稳态振动时可减化为

1.3 变刚度系统弹簧布置要求

为了保证所加设的弹簧能够起到限位以及变刚度的作用，要求向下运行的负向振幅至少大于Δ，Δ即为增加的弹簧距平衡位置的长度，即

2 数值计算

为了研究参数变化对变刚度及定刚度隔振系统隔振效果的影响，本文对不同情况下的隔振系统进行数值计算。1时间曲线

图2至图4是弹簧—阻尼结构分别在固定刚度k1，固定刚度k2以及变刚度结构情况下，根据式5所

2.得到的时间—振幅曲线，其中参数设置为m=10，f= 10 000，k1=2 000，k2=5 000，ζ=0.02。

图2 w≤wn1变刚度减振器结构振动位移—时间曲线

图3 wn1＜w＜wn2变刚度减振器结构振动位移—时间

图4 w≥wn2变刚度减振器结构振动位移—时间曲线

由图2至图4可见

(1)在振动的初始阶段，调整期（启动期）变刚度结构的负向振幅明显小于固定刚度的情况；

(2)稳态振动时，在wn1＜w＜wn2频段的振动幅度明显大于其他频段的振动幅度；

(3)在低频段，变刚度结构的负向减振效果明显好于定刚度结构，同时有很好的负向限位作用；

(4)在介于两个固有频率之间的频段，由于较接近两个固有频率，因此变刚度结构更易出现共振现象；

(5)在高频段，变刚度结构和定刚度对于外激响应基本一致，变刚度结构的负向位移略小。

由图5可见，在超低频即设备启动阶段时，变刚度结构的减振效果尤为明显，此时系统有很好的负向限位作用，有一定的抗冲击作用。

图5 启动阶段变刚度结构位移－时间曲线

2.2 幅频曲线

为了研究全频域的幅频特性，本文对此系统进行频谱分析。

由图6可见

图6 变刚度和定刚度弹性减振器幅频曲线

（1）在低频段的变刚度结构明显比固定刚度k1的振动峰值降低，并且共振频率后移，使得在低频段的减振效果增强，但是减振效果弱于固定刚度k2的情况；

（2）在隔振区，变刚度情况比固定刚度k2情况的振幅有效值明显减小，但不如固定刚度k1的情况；

（3）全频域变刚度的振动峰值频率较固定刚度k1后移，而且减小了峰值，将低频减振段的区间增大。但变刚度情况在高阶频率处会有小峰值，而固定刚度由于不会有高阶频率，因此不会出现此种情况。

图7是三级隔振系统与二级隔振系统幅频曲线比较。

由图7可知，多级振动系统的振动规律与二级隔振的振动规律基本相似，峰值频率会略向后移，但波动会较二级隔振系统多。

图7 三级隔振系统与二级隔振系统幅频曲线

图8是二级隔振结构在全时域及稳态振动时力传递的最大值和有效值。

由图8可知：

（1）在全时域计算区间中，随着平均刚度的增加，力传递率的最大值幅值增加。但是计算有效值时，与全时域的力传递率均有关，而刚度越低，全时域振动幅值越大，导致整体的力传递率有效值增加，因此三种刚度情况的有效值的幅值大体相同；

（2）在稳态计算区间中，变刚度的情况下的力传递率的峰值包含刚度为k1和k2两种情况下的峰值。因此在力传递率的有效值计算值中，变刚度情况包含两个波峰，且基本等于k1波峰，略小于k2波峰，但在隔振区的力传递率小于同等强度条件下即定刚度k2情况下的力传递率；

（3）虽然变刚度的情况减振效果较好，但是由于刚度突变和复杂的结构而使得力传递率大在全频率的峰值较多，这也是变刚度情况下的一个弱点。

3 结语

本文通过对单自由度有阻尼振动模型的强迫振动的计算分析，提出变刚度弹性减振措施，有效地使全频域振动幅度降低，在隔振区的振动也满足要求，并且通过增加刚度的方法使得超低频段减振效果得到改善。

（1）在振动不稳定阶段，变刚度弹簧结构可以很好的抑制此处的波动，从而很大的减小了在机器启动阶段的事故发生率。

（2）在保证结构强度的前提下，在隔振区的减振效果明显好于同等强度情况下的定刚度结构。同时，由于增加了刚度使得系统结构的固有频率增加，因此可使低频段的减振效果得到改善，对低频激励有很好的负向限位作用。

图8 全时域和稳态情况下力传递率曲线

（3）在全频域下，变刚度较同等强度的定刚度弹性减振器的减振效果更为明显，体现在隔振区振动幅值的降低，但是变刚度弹性减振器的结构更为复杂，因此造成波峰比定刚度情况多，即会在某一频段产生小范围的波动，但基本不会造成较为强烈的共振。同时由于结构刚度突变和复杂结构造成力传递率在全频域的总值较大。

在工程上，有很多弹簧因为疲劳或者是增加限位装置，会使减振机构的刚度发生变化，因此此问题具有实际意义，如通过改变弹簧的刚度以及弹簧的个数使得变刚度减振器达到较好的应用。

[1]邹 波，左国兵，黄自华，唐先贺，刘建勋.变刚度等应变橡胶轴箱弹簧的设计[J].橡胶科技市场，2008，10：18-20.

[2]周卓亮.可变刚度隔振器研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2006.

[3]罗 尧，王 慧.非线性弹簧阻尼减振装置的探究[J].物理与工程，2011，21(5)：13-16.

[4]Reza Ghorbani,QIONG Wu,On improving bipedal walking energetics through adjusting the tiffness of elastic elements at the ankle join[J].International Journal of Humanoid Robotic,Vol.6,No.1(2009):23-48.

[5]XIE Xin-wu,WEI Gao-feng.A novel method to simulate force-chest displacement relationship during cardiopulmonaryresuscitation[J].BiomedicalEngineering: Applications Basis and Communications,Vol.23,No.6 (2011)519-526.

[6]陈端石，赵 玫，周海亭.动力机械振动与噪声学[M].上海：上海交通大学出版社，1996.66.

Analysis and Simulation of dynamic characteristics of Isolator Systems with Variable-Stiffness Springs

YANFei,CHE Chi-dong

（State Key Laboratory of Ocean Engineering,School of NavalArchitecture,Ocean&Civil Engineering, Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China）

A simplified isolator model is put forward to investigate the dynamic characteristic of the variable-stiffness spring isolator system and the analytical solution of the variable-stiffness spring vibration is deduced.The vibration response curves in time-domain and frequency-domain of the variable-stiffness system under forced vibration are calculated.The vibration situations of the variable-stiffness spring and constant-stiffness spring are compared in different frequency ranges.And the efficient amplitude and force transmission rate in the whole frequency range are calculated.The damping characteristics of the variable-stiffness structure are analyzed according to its economy,damping efficiency and force transfer rate.It is shown that the variable-stiffness spring is more effective for vibration reduction than the constant-stiffness one in the low frequency range and in the sound insulation area under the same static mounting condition.The conclusion is useful to improve the dynamic performance of the vibration system in engineering.

vibration and wave;variable-stiffness spring;frequency response curve;damping structure;dynamic characteristic

1006-1355(2014)03-0015-05

TB535.1；O328

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.03.004

目前船用主机减振器主要采用弹性隔振，使振源不向外传递振动，或者使外界的振动不传入振动体或者设置吸振装置如在合适位置处敷设阻尼材料，吸收振动能量，其中船用弹性—阻尼减振器应用广泛。

2013-06-12

闫 菲(1989-)，女，黑龙江黑河人，硕士生，主要研究方向为结构振动与噪声。

E-mail:yan630415@126.com.

车驰东，男，讲师，硕士生导师。

E-mail:churchdoor@sjtu.edu.cn.