电磁感应中导线切割引起的稳定问题分析

(南京市金陵中学，江苏 南京 210005)

1 单个导体棒切割引起的稳定问题

(1)仅单个导体棒切割

图1

例1 如图1所示，U形导体框架宽L=1m，与水平面成α=30°角倾斜放置在匀强磁场中，磁感应强度B=0.2T，垂直框面向上．在框架上垂直框边放一根质量m=0.2kg、有效电阻R=0.1Ω的导体棒ab，从静止起沿框架无摩擦下滑，设框架电阻不计，框边足够长，取g=10m/s2．求：

①ab棒下滑的最大速度vmax；

②在达到最大速度时，ab棒上释放的电功率．

所以，导体棒从静止开始运动，且回路一直闭合，导体棒做加速度逐渐减小的变加速运动，导体稳定状态为匀速运动状态.

(2)直流电源与单个导体棒切割

图2

例2 如图2所示，水平放置的U形金属框架中接有电源，电动势为E，内阻为r0，框架上放置一质量为m、电阻为R的金属杆，它可以在框架上无摩擦地滑动，框架两边相距L，匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向上．当ab杆受到水平向右足够大的恒力F后．求ab棒可以达到的最大速度vmax.

解析:一开始ab棒受到水平向右的力F、水平向左的安培力FB,因为力F足够大，所以ab棒向右加速运动，之后ab棒切割磁感线产生的感应电动势E2与直流电源E顺向连接，故回路中的电流方向为从a流向b．

例3 上题中，若磁场反向，分析ab棒的运动情况.

解析：一开始ab棒受到水平向右的力F、水平向右的安培力FB，所以ab棒向右加速运动，之后ab棒切割磁感线产生的感应电动势E2与直流电源E反向连接.

ab棒的受力方程为:F+BIL=ma,

显然，稳定后ab棒切割磁感线产生的感应电动势E2比直流电源E大，安培力已反向.

2 两个导体棒切割引起的稳定问题

(1)两个导体棒反向切割

图3

例4 两金属杆ab和cd长均为L，电阻均为R，质量分别为M和m，且M>m.用两根质量和电阻均可忽略不计的柔软金属丝把它们连成回路，并悬挂在水平、光滑绝缘棒上(如图3)，两金属杆水平，整个装置处在一与回路平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B.若金属杆ab从静止开始下落，分析金属杆ab的运动情况.

ab棒的受力：竖直向下的重力，竖直向上的安培力，竖直向上的绳的拉力，加速度向下.

cd棒的受力：竖直向下的重力，竖直向下的安培力，竖直向上的绳的拉力，加速度向上.

设运动的加速度大小为a，ab棒受力方程为：Mg-BIL-T=Ma，cd棒受力方程为：

所以，当导体棒反向切割时，分别产生的电源为顺接，稳定后棒所受的合力为零，两棒均做匀速运动.

(2)两个导体棒同向切割

例5 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图4所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0.若两导体棒在运动中始终不接触，分析金属杆ab的运动情况，并求在运动中产生的焦耳热是多少？

图4

解析：棒ab棒向右运动，切割磁感线产生由b到a的电流，受向左的安培力作用减速，cd棒受向右的安培力作用向右加速运动.同时，两棒会产生反接的电动势.所以稳定时两棒均应做匀速直线运动，回路中应没有电流，此时，回路中的磁通量应不发生变化.两棒所受的安培力任何时刻均为等值反向，所以系统动量守恒.

例6 光滑平行金属导轨如图5所示，轨道的水平部分bcd位于竖直向上的匀强磁场中，bc部分的宽度为cd部分宽度的2倍，bc、cd部分轨道足够长，将质量都为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，P棒位于距水平轨道高为h的地方，放开P棒，使其自由下滑，求P棒和Q棒的最终速度及回路中所产生的电能.

图5

解析：棒P下滑的过程，回路中没有电流，机械能守恒.

其后的运动过程分析与例5相同，只是两棒所受的安培力不同，所以整个过程系统的动量不守恒，还有，稳定后回路中没有感应电流，bc部分的宽度与cd部分宽度不同，所以此时两棒的速度不等.

所以导体棒同向切割，分别产生的电源为反接，若棒所受其他力作用为零，安培力也应为零，所以回路中没有感应电流，两棒均做匀速运动.

图6

例7 在水平面上间距为L的两根平行光滑的金属导轨间有一竖直向下的匀强磁场(如图6)，金属棒ab和cd搁置在导轨上，并始终垂直于导轨，导轨的左端接一电阻R，ab和cd棒电阻也均为R，当ab在外力作用下匀速向右以速度υ运动时，cd棒达到稳定时的速度为多少？此时作用在ab棒上水平向右的外力F为多大？.

导体处于稳定状态，一般是指导体的速度不变的状态，通常根据运动情况判断回路中的电流方向，再分析导体棒的受力情况，讨论其加速度变化的情况，稳定后根据合力为零以及变化过程中遵循的规律求解.

参考文献：

[1] 李全备.电磁感应中"双杆同时 切割磁感线"问题分析高中数理化[J].2014，(2).

[2] 刘明祖.一个电磁感应问题的探讨--切割磁感线的金属棒究竟在做何种运动？[J].物理通报，2011，(11).

[3] 张前军.谈导体棒切割磁感线运动问题的命制[J].物理教学, 2011,(10).

[4] 郑金.对双杆切割磁感线运动过程的分析[J].物理教师, 2011,(7).