解析几何试题解题方法技巧探究

王安园

近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：一是求曲线方程（类型确定、类型未定）；二是直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）；三是与曲线有关的最（极）值问题；四是与曲线有关的几何证明（对称性或求对称曲线、平行、垂直）；五是探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；六是突出能力立意，重视知识联系，强化数学思想和方法.如2011年理科第20题将平面向量，基本不等式，以及解析几何知识巧妙结合，融为一体，有很强的综合性.

依据高考解析几何的命题趋势，在高考复习教学中，笔者做了解题方法和技巧的尝试与研究，现从四个方面谈谈体会，与同行共勉.

一、正确描述转化语言，建立数量关系，形成解答问题的方法

例1：设双曲线 - =1（a>b>0）的半焦距为c，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为 c，则双曲线的离心率为（ ）

A.2 B.2或 C. D

解：易错选B.原因：忽略条件a>b>0对离心率范围的限制.

二、形式优化，运算从简

例2：已知椭圆 + =1与射线y= x（x≥0），交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C，求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值.

解：由题意得A（1， ），设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k，

所以y- =k（x-1）2x +y =4

由直线方程y=k（x-1）+ 代入2x +y =4得

2x +[k（x-1）+ ] =4，化简过程为：

2x +k （x-1） +2 k（x-1）+2=4

2x +k x -2k x+k +2 kx-2 -2=0

整理后，得：（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

事实上，若把直线方程写成优化的形式kx+（ -k）代入2x +y =4得：

2x +[kx+（ -k）] =4，化简后，得（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

x +x =

又∵x =1

∴x =

同理用-k替换上式中的k，得：x =

K = = = 为定值

由此可见，优化的形式y=kx+（ -k）与y=k（x-1）+ 比较，运算量大大减少.

三、设而不算、类比可得

例3：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y= x 的焦点，离心率等于 .（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 =λ ， =λ ，求证：λ +λ 为定值.

解：（1）设椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），则由题意知b=1，

∴ = ，即 = ，∴a =5.

∴椭圆C的方程为 +y =1.

（2）常规方法：设A、B、M点的坐标分别为A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）又已知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）.将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k ）x -20k x+20k -5=0，∴x +x = ，x x = .

又∵ =λ ， =λ ，将各点坐标代入得λ = ，λ = ，

∴λ +λ = + = =…=-10.

类比方法：设A、B、M点的坐标分别为A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）.

易知F（2，0），∵ =λ ，∴（x ，y -y ）=λ （2-x ，-y ），

∴x = ，y = .

将A点坐标代入到椭圆方程中，得 （ ） +（ ）=1.

去分母整理得λ +10λ +5-5y =0.

同理，由 =λ 可得：λ +10λ +5-5y =0，

∴λ ，λ 是方程x +10x+5-5y =0的两个根，

∴λ +λ =-10.

总之，在解析几何练习教学中，教师要教会学生准确把握直线、圆和圆锥曲线的概念、标准方程和几何性质，合理应用数形结合的数学思想，将试题中的文字语言描述转化为图形语言，建立数量关系，形成解答问题的方法，逐步提高运算求解的能力.只要深入研究解题方法，不断归纳总结解题经验，就定能在高考中取得优异的成绩.endprint

近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：一是求曲线方程（类型确定、类型未定）；二是直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）；三是与曲线有关的最（极）值问题；四是与曲线有关的几何证明（对称性或求对称曲线、平行、垂直）；五是探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；六是突出能力立意，重视知识联系，强化数学思想和方法.如2011年理科第20题将平面向量，基本不等式，以及解析几何知识巧妙结合，融为一体，有很强的综合性.

依据高考解析几何的命题趋势，在高考复习教学中，笔者做了解题方法和技巧的尝试与研究，现从四个方面谈谈体会，与同行共勉.

一、正确描述转化语言，建立数量关系，形成解答问题的方法

例1：设双曲线 - =1（a>b>0）的半焦距为c，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为 c，则双曲线的离心率为（ ）

A.2 B.2或 C. D

解：易错选B.原因：忽略条件a>b>0对离心率范围的限制.

二、形式优化，运算从简

例2：已知椭圆 + =1与射线y= x（x≥0），交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C，求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值.

解：由题意得A（1， ），设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k，

所以y- =k（x-1）2x +y =4

由直线方程y=k（x-1）+ 代入2x +y =4得

2x +[k（x-1）+ ] =4，化简过程为：

2x +k （x-1） +2 k（x-1）+2=4

2x +k x -2k x+k +2 kx-2 -2=0

整理后，得：（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

事实上，若把直线方程写成优化的形式kx+（ -k）代入2x +y =4得：

2x +[kx+（ -k）] =4，化简后，得（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

x +x =

又∵x =1

∴x =

同理用-k替换上式中的k，得：x =

K = = = 为定值

由此可见，优化的形式y=kx+（ -k）与y=k（x-1）+ 比较，运算量大大减少.

三、设而不算、类比可得

例3：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y= x 的焦点，离心率等于 .（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 =λ ， =λ ，求证：λ +λ 为定值.

解：（1）设椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），则由题意知b=1，

∴ = ，即 = ，∴a =5.

∴椭圆C的方程为 +y =1.

（2）常规方法：设A、B、M点的坐标分别为A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）又已知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）.将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k ）x -20k x+20k -5=0，∴x +x = ，x x = .

又∵ =λ ， =λ ，将各点坐标代入得λ = ，λ = ，

∴λ +λ = + = =…=-10.

类比方法：设A、B、M点的坐标分别为A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）.

易知F（2，0），∵ =λ ，∴（x ，y -y ）=λ （2-x ，-y ），

∴x = ，y = .

将A点坐标代入到椭圆方程中，得 （ ） +（ ）=1.

去分母整理得λ +10λ +5-5y =0.

同理，由 =λ 可得：λ +10λ +5-5y =0，

∴λ ，λ 是方程x +10x+5-5y =0的两个根，

∴λ +λ =-10.

总之，在解析几何练习教学中，教师要教会学生准确把握直线、圆和圆锥曲线的概念、标准方程和几何性质，合理应用数形结合的数学思想，将试题中的文字语言描述转化为图形语言，建立数量关系，形成解答问题的方法，逐步提高运算求解的能力.只要深入研究解题方法，不断归纳总结解题经验，就定能在高考中取得优异的成绩.endprint

近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：一是求曲线方程（类型确定、类型未定）；二是直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）；三是与曲线有关的最（极）值问题；四是与曲线有关的几何证明（对称性或求对称曲线、平行、垂直）；五是探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；六是突出能力立意，重视知识联系，强化数学思想和方法.如2011年理科第20题将平面向量，基本不等式，以及解析几何知识巧妙结合，融为一体，有很强的综合性.

依据高考解析几何的命题趋势，在高考复习教学中，笔者做了解题方法和技巧的尝试与研究，现从四个方面谈谈体会，与同行共勉.

一、正确描述转化语言，建立数量关系，形成解答问题的方法

例1：设双曲线 - =1（a>b>0）的半焦距为c，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为 c，则双曲线的离心率为（ ）

A.2 B.2或 C. D

解：易错选B.原因：忽略条件a>b>0对离心率范围的限制.

二、形式优化，运算从简

例2：已知椭圆 + =1与射线y= x（x≥0），交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C，求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值.

解：由题意得A（1， ），设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k，

所以y- =k（x-1）2x +y =4

由直线方程y=k（x-1）+ 代入2x +y =4得

2x +[k（x-1）+ ] =4，化简过程为：

2x +k （x-1） +2 k（x-1）+2=4

2x +k x -2k x+k +2 kx-2 -2=0

整理后，得：（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

事实上，若把直线方程写成优化的形式kx+（ -k）代入2x +y =4得：

2x +[kx+（ -k）] =4，化简后，得（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

x +x =

又∵x =1

∴x =

同理用-k替换上式中的k，得：x =

K = = = 为定值

由此可见，优化的形式y=kx+（ -k）与y=k（x-1）+ 比较，运算量大大减少.

三、设而不算、类比可得

例3：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y= x 的焦点，离心率等于 .（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 =λ ， =λ ，求证：λ +λ 为定值.

解：（1）设椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），则由题意知b=1，

∴ = ，即 = ，∴a =5.

∴椭圆C的方程为 +y =1.

（2）常规方法：设A、B、M点的坐标分别为A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）又已知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）.将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k ）x -20k x+20k -5=0，∴x +x = ，x x = .

又∵ =λ ， =λ ，将各点坐标代入得λ = ，λ = ，

∴λ +λ = + = =…=-10.

类比方法：设A、B、M点的坐标分别为A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）.

易知F（2，0），∵ =λ ，∴（x ，y -y ）=λ （2-x ，-y ），

∴x = ，y = .

将A点坐标代入到椭圆方程中，得 （ ） +（ ）=1.

去分母整理得λ +10λ +5-5y =0.

同理，由 =λ 可得：λ +10λ +5-5y =0，

∴λ ，λ 是方程x +10x+5-5y =0的两个根，

∴λ +λ =-10.

总之，在解析几何练习教学中，教师要教会学生准确把握直线、圆和圆锥曲线的概念、标准方程和几何性质，合理应用数形结合的数学思想，将试题中的文字语言描述转化为图形语言，建立数量关系，形成解答问题的方法，逐步提高运算求解的能力.只要深入研究解题方法，不断归纳总结解题经验，就定能在高考中取得优异的成绩.endprint