抽象函数在高中数学中的应用

熊双九

【摘 要】抽象函数，顾名思义就是比较抽象的函数，其实就是不需要有具体的函数表达式，满足某些性质的一类函数，抽象函数问题与函数方程有类似之处，关键是函数性质的应用。

【关键词】抽象函数 变量代换 赋值法 递归法 待定系数法 柯西法

抽象函数是一种特殊类型的函数，具有一定的抽象性，是高中数学的常考点和难点，求解这类型问题要对函数的本质特征有较为深刻的理解，同时需要一些灵活多样的解题技巧，既要具有扎实的基础知识，还要具备较强的抽象思维和逻辑推理能力，现对它进行系统的研究。

抽象函数的定义：一般的，抽象函数是相对于具体函数而言的，是指没有给出函数解析式或对应法测，只是给出函数所满足的一些性质的一类函数。抽象函数的典型解法和技巧主要有：变量代换、赋值法、递归法、待定系数法，柯西法等，下面具体地举一些例子进行研究。

评析：本题采用柯西法解抽象函数的典型例子，其一般步骤是：先求出对于自变量取所有自然数值时函数方程的解的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值及其实数值是函数方程的解仍具有这种形式。