基于Prony算法的发电机组间功率低频振荡在线辨识新方法

刘 森，于赞梅，桑天松

(1.河北省电力勘测设计研究院，石家庄 050031；2.国网河北省电力公司石家庄供电分公司，石家庄 050051；3.国网冀北电力有限公司，北京 100053)

基于Prony算法的发电机组间功率低频振荡在线辨识新方法

刘 森1，于赞梅2，桑天松3

(1.河北省电力勘测设计研究院，石家庄 050031；2.国网河北省电力公司石家庄供电分公司，石家庄 050051；3.国网冀北电力有限公司，北京 100053)

针对Prony算法抑噪能力差、计算效率低的问题，分析Prony算法的原理和主要参数的选择策略，提出一种基于Prony算法的发电机组间功率低频振荡在线辨识新方法，从模型有效阶数确定、AR参数估计、数据预处理等方面说明该方法的计算步骤，通过算例仿真及结果分析，认为该方法能够满足电力系统低频振荡在线辨识的需要。

Prony算法；发电机组；低频振荡；在线辨识

电力系统在动态过程中有时会出现发电机组间功率的动态振荡，其振荡频率一般为0.1～2.5 Hz，称为低频振荡。随着电网互联及电力电子等非线性元件的大量使用，区域间的低频振荡成为威胁系统稳定的关键因素之一，快速而有效地对低频振荡特性进行监视，对实现有效阻尼控制，进而提高电网稳定性具有重要的现实意义[1]。常用的实测信号的分析方法主要有Fourier变换、小波分析(或结合人工神经网络)等。Fourier分析方法与各种改进的FFT和DFT已成为现代频谱分析和谐波分析的基础，但其并不适用于突变信号和非稳定信号的分析；小波变换具有时域局部化和频域局部化性质，其对突变信号非常敏感，可以准确检测扰动的发生时刻，有良好的消噪能力等，但小波变换也存在着不足，如小波基函数选取的不同，对结果会产生很大的影响，同时小波变换尺度的选择也是重要的影响因素；神经网络(ANN)方法具有不必对被研究对象建立明确的数学模型，能进行自学习等特点，但ANN存在理想的训练样本提取困难，网络结构不易优化，扩展性差等缺点。近年来，Prony算法在大规模动态系统辨识中的应用研究得到了广泛的重视[2]。在最小方差意义下，Prony算法可以获得对系统动态特性曲线的最佳拟合；通过分析系统响应信号，可以直接估计出系统的频率、相位和振幅。Prony算法的优点之一是在线应用，可以及时辨识系统低频振荡的频率和幅值等。但用于Prony在线分析的数据不可避免要受到噪声的污染，传统的Prony算法对噪声敏感，抑噪能力弱，计算效率低，不适于在线应用[3]。同时，现场信号直流分量和高频谐波分量的影响，会使Prony算法辨识精度下降。以下提出一种基于Prony算法的发电机组间功率低频振荡在线辨识新方法，其具有良好的抗噪性、精确度和计算速度。

1 Prony 算法分析

Prony算法是采用指数函数的线性组合来描述等间距采样数据的数学模型，其是在自回归模型(AR)或自回归滑动(ARMA)模型的基础上，利用最小二乘法估算给定信号的频率、幅值和相位。利用Prony算法能直接提取信号的特征量，同时可对结果进行特征分析。

1.1 Prony算法的原理

Prony算法的实质是用一组复指数项的线性组合来拟合等间距采样数据，形如

(1)

式中：zi=eλiΔt。Prony算法证明式(1)规定的信号过程服从N阶自回归过程，即有

(2)

可以用来确定信号的自回归系数{ak}。zi是下列代数方程的根

(3)

zi求出后，根据最小二乘法即可求解Bi。至此，Prony算法所要辨识的参数λi、Bi均已得到。

1.2 Prony算法主要参数的选择策略

抽样频率：要获得正确的估计，信号抽样应满足Nyquist抽样定理，即抽样频率应大于信号最高频率的2倍，以避免频谱发生混叠。但抽样频率也不能过大，否则，在数据长度N已确定的情况下，信号长度将很短，势必使参数估计精度下降。在实际应用中，抽样频率大于2倍最高频率一般不够，还应留有一定裕度。在低频振荡分析中，振荡频率一般为0.1～2.5 Hz，按4倍最高频率采样，采样周期为0.1 s即可。

时间长度：在噪声水平和抽样频率确定的情况下，一般信号长度越大，参数估计精度越高，时间长度至少应该包括2个周期最低频率的振荡。在低频振荡分析中， 一般取10～20 s的时间长度数据进行分析，而过长的时间长度可能无法辨识出衰减快的分量。同时，在时间间隔一定的情况下，时间长度过长将增加计算的复杂度，降低计算效率。

模型阶数：由于电力系统动态过程中系统阶数很高，不可能建立系统的全阶模型，拟合模型都只是降阶的近似模型。通常情况下，模型的阶数是未知的。Prony方法最常用的定阶描述为：选取初始阶数pe，使其远大于信号中实际包含的指数项个数，然后从pe个分量中选取p个分量的最优子集，使这p个分量在最小平方意义上逼近观察到的数据。

2 发电机组间功率低频振荡在线辨识新方法

基于Prony算法的发电机组间功率低频振荡在线辨识新方法在对现场抽样数据进行降噪处理的基础上，对Prony模型进行降价，而降价模型仍能满足数据高拟合精度的特点，该方法关键步骤为“模型有效阶数确定”、“AR参数估计”和“数据预处理”三方面。

2.1 模型有效阶数确定

奇异值分解(SVD)主要用于求解线性方程组。与该方程组相关联的矩阵不仅表征所期望的解的特征，而且还常常传达动态性能的信息。定义观测数据的二阶矩样本函数

(4)

并构造扩展阶的样本矩阵

为使样本矩阵包含全部的信号特征，取计算阶数pe为[N/2]([·]表示取整)，N为采样点数。AR参数{ak}的估计就是求解线性方程组

Re*[1a1…ape]T=[εp0…0]T

(6)

在低频振荡在线分析中，能够辨识出系统的主导振荡模式即可。若观测信号是实数，则Prony分析得到的振荡特征λi、Bi必以共轭形式成对出现。对样本矩阵进行奇异值分解Re=U∑VH，对于阶数为p的理想信号，存在如下的奇异值分布

σ1≥σ2≥…≥σp≥σp+1=…=σpe=0

(7)

即无噪声扰动时样本矩阵的值等于信号的实际阶数p。称由奇异值矩阵∑的前p个奇异值组成的矩阵∑p为信号子空间。由于噪声的存在，奇异值矩阵∑的后pe-p维零空间将被噪声子空间取代。通过划分信号子空间和噪声子空间的方法，可以获得样本矩阵Re的有效值估计值。定义归一化比值

(8)

为单调递增函数，比值随k的增大而逼近1。预先确定一个非常接近1的阈值，当p是C(k)大于或等于该阈值的最小整数时，将p确定为样本矩阵Re的有效秩。在低频振荡分析中，观测信号子空间对应的奇异值远大于噪声空间对应的奇异值，可以快速有效确定模型有效阶数。

2.2 AR参数估计

确定模型有效秩后，将奇异值矩阵∑的噪声子空间以零空间取代，得到样本矩阵在秩p下的最佳逼近Rp。样本矩阵的有效秩意味着未知参数相量中只有p个待定参数是独立的，于是，预测方程等价为

R(p)A=0

(9)

R(p)=[Rp(1:P+1),Rp(2:P+2),…,]

Rp(Pe+1-p:p+1)

(10)

(11)

式中：uj是酉矩阵U的第j列；vjk是酉矩阵V第j列的一个加窗段，定义为

(12)

根据最小二乘原理，方程式的最小二乘解等价于代价函数

S(p)a=αe

(13)

式中：e=[1,0,…,0]T，归一化常数的选择应使AR参数向量a的第一个元素为1。易知，S(p)必然存在逆矩阵S-(p)，则待求AR参数可由下式估计

ai=S-(p)(i+1,1)/S-(p)(1,1)

i=1,…,p

(14)

2.3 数据预处理

现场的抽样数据包含有大量的噪声，而且电力系统的低频振荡一般不是严格的平稳过程，特别是当发生故障而引发低频振荡时，采集的信号还会包括剧烈的突变过程。为了降低信号中高频杂散分量的影响，在对数据进行Prony分析前应首先对其进行降噪预处理[4]。降噪的基本目的是减小噪声部分的值，使降噪后信号尽可能逼近原始信号。

用各种方法采集的空间数据往往是按用户自己的要求获取的采样观测值，但有时用户却需要获取未观测点上的数据，同时，采样的时间间隔对于Prony算法的分析精度有较大影响，如果实际应用中采样频率较低，可以通过一定的插值方法来弥补分析精度的不足。以下采用线性插值，其能够保持较快速度，又有足够精度；考虑一个随时间变化的电信号，在数学上它是一个随时间变化的函数，直流分量就是这个函数中不随时间变化的部分，也就是该函数的平均值。去直流处理，这相当于放大了信号的振荡部分；为了降低高频杂散信号的影响，需要增加低通滤波环节。

3 算例仿真

为对仿真数据进行Prony分析，以下采用IEEE四机系统建立仿真模型，四机系统的电气接线示意见图1。

在系统正常运行条件下，模拟系统受到小扰动，1号发电机组机端输入机械功率pm在0.5 s由0.7795(p.u.)跃变到1.0(p.u.)，仿真时间为15 s。对机端输出的有功功率pi(i=1,2,3,4)数据预处理后进行Prony分析。对1、2号机组分析时，选择采样间隔为0.1 s，分析1～10 s间数据，91点。对3号、4号机组分析时，选择采样间隔为0.1 s，分析1～6 s间数据，51点。四机系统Prony分析结果见表1。

图1 IEEE四机系统

表1 四机系统Prony分析结果

由表1可知，所有发电机组有功功率输出都包含0.58 Hz频率分量，振荡模式频率较低，属于区域间振荡模式。1、2号机组都包含1.10 Hz频率分量，3号、4号机组都包含1.16 Hz频率分量，符合就地机组振荡模式的振荡频率。结果还显示，对1号机组分析时，数据预处理阶段耗时约81 ms，Prony分析阶段耗时约165 ms，计算效率较高，效果也比较好，拟合后信噪比为42.93 db。

以1号机组为例，给出有功功率曲线拟合的对比结果。实线为仿真输出曲线，虚线为采用Prony算法提取的特征参数进行拟合的结果。0.58 Hz振荡模式在整个10 s分析时间都占有较大比重，见图2。而1.10 Hz的振荡模式主要存在于前6 s，如图3所示。究其原因，由表1可看出1号机组1.10 Hz振荡模式阻尼较好，明显高于0.58 Hz振荡模式阻尼，所以比0.58 Hz模式衰减的快，这2种振荡模式的综合与仿真曲线基本一致。

图2 1号机组0.58 Hz分量与仿真值比较

在对1号机组有功功率分析中看出，虽然Prony算法不能完全辨识出所有的机电模式，但能够辨识出系统的主导模式，并且拟合效果相当好，如图4所示。

图3 1号机组1.10 Hz分量与仿真值比较

图4 1号机组主导分量与仿真值比较

算例仿真结果表明该方法本身具有良好的抑噪性，能够正确估计出符合系统机电模式数目的模型有效阶数，提高了计算速度，能够满足电力系统低频振荡在线辨识的需要。

4 结论

发电机组间功率低频振荡在线辨识新方法的拟合结果与其参数选择有很大关系，如果参数选择不当，该方法可能无法拟合，或者得到错误的结果，同时可能还会严重影响该方法的分析速度。主要参数的选择不是完全独立的，需要注意以下几个方面：

a. 采样频率的选取。要获得正确的估计，信号采样应满足Nyquist采样定理，以避免频谱发生混叠。但采样频率也不能过大，否则，在数据长度N已确定的情况下，信号长度将很短，势必使参数估计精度下降。

b. 时间长度选取。在噪声水平和采样频率确定的情况下，一般信号长度越大，参数估计精度越高，时间长度至少应该包括2个周期最低频率的振荡。时间长度应选择合适，过小丢失数据信息，致使分析结果有重大误差，甚至失败。过长的时间长度可能无法辨识出衰减快的分量。

c. 数据预处理。采样的时间间隔对分析精度有较大影响，如果实际应用中采样频率较低，可以通过一定的插值方法来弥补分析精度的不足。

[1] 倪以信，陈寿孙，张宝霖，等．动态电力系统的理论与分析[M].北京：清华大学出版社，2002．

[2] 郭权利.电力系统低频振荡[J]．电力系统保护与控制，2008，36(22)：114-116,119.

[3] 刘国平.基于Prony法的电力系统低频振荡分析与控制[D]．杭州：浙江大学，2004．

[4] 张贤达.现代信号处理[M]．北京：清华大学出版社，2002．

本文责任编辑：杨秀敏

New Method of Low-frequency Oscillation Online Identification of Power Generators Based on Prony Algorithm

As the traditional algorithm is sensitive to noise and has ineffective calculation，the basic principle of Prony algorithm is introduced in this paper，a new Prony method for online analysis of low-frequency oscillations between power generators is discussed in this paper．The calculation steps of the method are described by way of the identification of the practical order of the model,estimation of the parameters and the preprocess of the signal．The simulation results show that this method can meet the needs of low-frequency oscillations online identification.

prony algorithm；power generators；low frequency oscillation；online identification

2013-12-04

刘 森(1982-)，男，工程师，主要从事电力系统规划与电气设计研究工作。

TM743

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1001-9898(2014)01-0021-04